4.4.2 对数函数的图象和性质 课件(共23张PPT)人教A版（2019）数学必修 第一册

(共23张PPT)
4.4.2对数函数的图象和性质
你记得吗？溶液酸碱度是通过pH计量的, pH值越小，溶液的酸性越强。
pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
例如，我国规定只要纯净水pH值在6.5-8.5之间即是合格产品。如果水的pH值过低则会有腐蚀作用，而pH值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的pH值都是控制在6.5-8.5之间。
（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？又如，人体胃酸中氢离子的浓度大约为[H+]=2.5×10-2摩尔/升，它的pH又是多少（可用计算器）？
纯净水pH= -lg 10-7=7（摩尔/升）
胃酸pH= -lg 2.5×10-2≈1.60（摩尔/升）
你记得吗？溶液酸碱度是通过pH计量的, pH值越小，溶液的酸性越强。
pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
例如，我国规定只要纯净水pH值在6.5-8.5之间即是合格产品。如果水的pH值过低则会有腐蚀作用，而pH值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的pH值都是控制在6.5-8.5之间。
（2）猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液pH值与[H+]之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？
对数函数y= lg x 的单调性
y
=
-lg x
思考：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？
指数函数的图像及其性质
学习函数的一般模式(方法)：
解析式（定义）
图象
性质
应用
数形结合
分类讨论
活动1：作出函数y=log2x的图象
o
x
y
-
1
【探究】对数函数的图像及其性质
2
3
4
log26
log212
.
.
.
.
y=log2x
描点法
P132
【探究】对数函数的图像及其性质
活动2：在同一坐标系中作出函数y=log x的图象.你有什么发现？
1
-1
……
o
x
y
-
1
描点法
对称性： 将y=log2x关于x轴对称翻折
=
= -log2x
log2 x
-1
y=-log2x
y=log2x
【探究】对数函数的图像及其性质
活动3：类似地，你还能作出哪些对数函数的图象？
提示：四人小组合作，多次改变对数函数中底数a的取值，
将图象画在同一坐标系中。
思考：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
描点法
对称性
借助信息技术工具
【探究】对数函数的图像及其性质
思考：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
x
1
2
3
4
5
6
O
y
1
2
3
－1
－2
－3
对数函数的图象特征 底数 a＞1 0＜a＜1
相 同 点 不 同 点
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
图象都过定点（1, 0）
x=1的右边图象
都在x轴上方
x=1的左边图象
都在x轴上方
x=1的左边图象
都在x轴下方
x=1的右边图象
都在x轴下方
【探究】对数函数的图像及其性质
思考：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
对数函数的图象特征 对数函数的相关性质 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
图象都过定点（1, 0）
函数定义域为(0,+∞)
非奇非偶函数
函数的值域为R，渐近线为y轴
loga1=0
增函数
减函数
x=1的右边图象
都在x轴上方
x=1的左边图象
都在x轴上方
x=1的左边图象
都在x轴下方
x=1的右边图象
都在x轴下方
当x>1时，y>0
当00
当0当x>1时，y<0
……
定义域
奇偶性
值域
特殊点
单调性
取值
范围
【反函数】
例：利用碳14同位素法推断出恐龙蛋化石的年代
将指数式改写
为对数式：
同一函数
将x、y交换位置
反函数
对数函数 与指数函数y=ax互为反函数(a>0, a 1)
y = logax
(这两个函数的定义域
和值域正好互换)
练习：写出y=log2x的反函数，说明理由. 你能举出更多的例子吗？
与之同底的指数函数y=2x是它的反函数.
活动4： 画出两组反函数的图象，并观察寻找它们之间的关系：
(1) y=2x，y=log2x； (2)
y = 2x
y = log2x
y = x
y = x
据此你能说说如何画出y=lgx的图象吗？画y = logax(a>0, a 1)的图象呢？
你对对数函数的图象与性质有什么更深的认识？
类比指数函数研究对数函数
a >1
0结论：
互为反函数的两个函数
图象关于直线y=x对称
对称性
指数函数的性质 对数函数的性质 底数 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1
图 象
同 异
【探究】指数函数与对数函数的图像及性质(自主完成)
思考：你还能用指数函数与对数函数的对称关系来研究什么？
例1.猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？
【学以致用】
pH= -lg[H+]
解：对数函数y= lg x 底数为10>1, 所以y是x∈ (0,+∞)上的增函数；
则函数y= - lg x 是x∈(0,+∞)上的减函数，
所以随着氢离子浓度越大，
溶液的pH值越小，溶液的酸性就越强。
y
=
-lg x
用数学知识来解释化学原理
例2. 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) lg3.4 与 lg8.5 (2) log0.31.8 与 log0.32.7
【小结】
1. 将两个同底数对数视为同一函数的两个函数值，
用其单调性来比较大小;
2. 必须要明确两个值是哪个对数函数的两个函数值；
【学以致用】
lg
x
lg
lg
y=
(1)解:∵ 是(0,+∞)上的增函数，
且3.4＜8.5，
∴ lg3.4＜lg8.5
y=log0.3x
(2)解:∵ 是(0,+∞)上的减函数，
且1.8＜2.7，
∴ log0.31.8 ＞ log0.32.7
例2. 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) lg3.4 与 lg8.5 (2) log0.31.8 与 log0.32.7
(3) log0.40.5 与 1 (4) ln0.5 与 0
(5) log45 与 log63 (6) log0.20.5 与 log40.3
【小结】
1. 将两个同底数对数视为同一函数的两个函数值，
用其单调性来比较大小;
2. 必须要明确两个值是哪个对数函数的两个函数值；
3. 对不同底数对数的大小比较: 与中间值0,1进行比较.
【学以致用】
log0.40.4
ln1
(5) log45＞log44=1
=log66＞ log63
(6) log0.20.5＞log0.21=0=log41＞log40.3
例2. 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) lg3.4 与 lg8.5 (2) log0.31.8 与 log0.32.7
(3) log0.40.5 与 1 (4) ln0.5 与 0
(5) log45 与 log63 (6) log0.20.5 与 log40.3
(7) loga5 与 loga3(a>0, a 1)
【小结】
1. 将两个同底数对数视为同一函数的两个函数值，
用其单调性来比较大小;
2. 必须要明确两个值是哪个对数函数的两个函数值；
3. 对不同底数对数的大小比较: 与中间值0,1进行比较.
分类讨论
【学以致用】
log0.40.4
ln1
当a＞1时，……
当0＜a＜1时，……
【课堂小结】
（1）对数函数有哪些性质？结合图象说明。
（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？
（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？你还想探究关于对数函数的哪些问题？
关键：熟记对数函数的图象 (分a＞1和0＜a＜1)
【课堂小结】
（1）对数函数有哪些性质？结合图象说明。
（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？
（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？你还想探究关于对数函数的哪些问题？
知识
描点法
对称性
借助信息技术工具
图象
性质
【课堂小结】
（1）对数函数有哪些性质？结合图象说明。
（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？
（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，
我们应用了哪些数学思想与方法？
你还想探究关于对数函数的哪些问题？
知识
思想方法
核心素养
拓展？
图象
性质
数形结合
分类讨论
【拓展探究】
结论：
互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称
指数函数：
无论a＞1或0＜a＜1时，
随着底数a增大，图象在第一象限
的部分越来越接近y轴(靠上方)；
“底大图高”
思考：
对数函数的图象随着底数a
大小的变化规律是什么？
类比指数函数研究对数函数
【拓展探究】
思考：对数函数的图象随着底数a大小的变化规律是什么？
1
o
x
-
1
y = log a x
y = log b x
y = log c x
y = log d x
b a d c
增大
0增大
a>1
练习：如图，a, b, c, d与1的大小关系是__________.
b < a < 1 < d < c
在 x 轴上方, 底数a越大,y=logax的图象越在右方.
增大
0【作业】
1、课本P135，练习2、3
2、拓展探究：阅读课本P135的探究与发现，并思考其中的问题。类比指数函数，你能研究一下对数函数的图象随底数大小的变化规律吗？跟同学分享你的研究方法和结论，并利用信息技术验证你的结论。
3、查阅资料，了解更多关于对数函数图象及性质的实际应用。
再会！