3.2.2 函数的奇偶性 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
3.2.2 函数的奇偶性
如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形．这条直线叫做这个图形的对称轴．
轴对称图形
　　在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
中心对称图形
　　平面直角坐标系中任一点A(a,b)关于x轴， y轴，坐标原点的对称点的坐标分别为B (a,-b)， C (-a,b)， D (-a,-b).
坐标点的对称性
函数图象的对称性
　　画出并观察函数和函数g图象,回答下列问题:
1.两个函数图象有什么共同特征？
2.两个函数图象上有没有横纵坐标具有特殊关系的“对应点”？
　 观察两个函数图象及相应函数值的情况如上表，回答下列问题：
1.两个函数自变量的取值和函数值的取值具有什么特点？
2.增函数的图象特征可以用代数式描述为:, 当 时，都有本例两个函数自变量的取值和函数值的取值特点能否也用代数式描述？
提示:先把表中这些点的取值特点枚举出来，再归纳出描述此特点的一般代数式.
函数图象的对称性
　 可以发现，上述两个函数当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.例如，对于函数有：
实际上，对恒成立
　　一般地设函数的定义域为I，若对，都有，且恒成立，则函数叫做偶函数.偶函数的图象关于　　　对称.
偶函数
y轴
偶函数
　 解：因为是偶函数.
用定义判断函数为偶函数：
1.定义域要关于原点对称.
2.恒成立.
例1 用偶函数的定义判断函数是不是偶函数.
正解：因为定义域不关于坐标原点对称，所以不是偶函数.
实际上，若画出此函数图象(如下图)，则图象不关于y轴对称，所以不是偶函数.
奇函数
　　画出并观察函数 和函数g图象,回答下列问题:
1.两个函数图象有什么共同特征？
2.两个函数图象上有没有横纵坐标具有特殊关系的“对应点”？
　 补充完整上表，观察两个函数图象及相应函数值的情况，回答下列问题：
1.两个函数自变量的取值和函数值的取值具有什么特点？
2.偶函数的图象特征可以用代数式描述为：设函数的定义域为I，对，都有，且恒成立.本例两个函数图象的特征用代数式如何描述？
奇函数
　 可以发现，上述两个函数当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反.例如，对于函数 有：
实际上，对恒成立
　　一般地设函数的定义域为I，若对，都有，且恒成立，则函数叫做奇函数.
奇函数的图象关于　　　　对称.
奇函数
根据奇函数的定义或图象特征，若函数为奇函数，等于多少？
若在奇函数的定义域内，则但是不能说奇函数一定有，因为可能不在定义域内.(例如.)
原点
奇函数
例2 用奇函数的定义判断函数是不是奇函数.
　 解：因为是奇函数.
用定义判断函数为奇函数：
1.定义域要关于原点对称.
2.恒成立.
正解：因为定义域不关于坐标原点对称，所以不是奇函数.
实际上，若画出此函数图象(如下图)，则图象不关于原点对称，所以不是奇函数.
例3 判断下列函数的奇偶性:
(1) ;(2) f(x)=|x-2|-|x+2|
解:(1)函数的定义域为,定义域关于原点对称.
因为,所以函数是偶函数.
(2)函数f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
因为f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-f(x),所以函数f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数.
函数奇偶性的判断
(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4);(5) , x∈[-2,2].
解:(3)函数f(x)=x+1的定义域为实数集R,关于原点对称.
因为f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),所以f(-x)≠-f(x),f(-x)≠f(x),所以函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数.
(4)因为函数的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4 [-4,4),所以函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.
(5)函数的定义域关于原点对称.因为f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数..
函数奇偶性的判断
B
A B C D
[解析] 选项A中的图像不关于原点或y轴对称,故排除;
选项C,D中的图像对应的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;
选项B中的图像关于y轴对称,其对应的函数是偶函数.故选B.
例4 下列图像表示的函数中具有奇偶性的是 (　　)
函数奇偶性的判断
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且　　　　　,那么函数f(x)就叫作偶函数. 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且　　　　　, 那么函数f(x)就叫作奇函数.
定义域 关于　　　　　对称 f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
原点
小结
图像特征 关于　　　　　对称 关于　　　　　对称

y轴
原点
小结
小结
思考：给出一个函数的解析式,如何判断函数的奇偶性
【作业1】判断下列函数的奇偶性:
课后作业
【作业2】判断下列函数的奇偶性:
课后作业
(1)f(x)=
【作业3】用函数奇偶性的定义证明奇函数和偶函数的如下运算性质：
设f(x),g(x)的定义域分别是I1,I2,在它们的公共定义域上,一般具有下列结论:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:f[g(x)]中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.
课后作业
【作业4】阅读人教版2019A版必修一课本第85页，思考如下问题：
课后作业
谢谢！