10.3 第3课时 行程问题和其他问题 导学案 （含答案）2024-2025学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组
10.3 第3课时 行程问题和其他问题
【学习目标】
1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
2.利用路程、速度、时间之间的关系解决实际问题感知数学在实际生活中的应用.
【学习重点】认识行程问题中的数量关系,列方程解决问题
【学习难点】用方程组刻画和解决实际问题.
【自主学习】
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 11 min，从学校到家里需 14 min. 问小华家离学校多远
【合作探究】
探究点一、行程问题
问题1：路程、时间、速度三者之间有什么关系
问题2：怎么表示上坡所用时间，平路所用时间，下坡所用时间 它们和总用时有什么关系
填一填：设未知数 x，y 并填写下表：
上坡路程 平路路程 下坡路程 总用时
家里到学校 x y 11min
学校到家里 14min
追问：你能列出二元一次方程组并解决问题吗
【典型例题】
例1 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少
要点归纳
行程问题 基本数量关系 路程=速度×时间
运动方向 相向而行、同向而行、背向而行
相遇问题 总路程=快车的路程+慢车的路程
追及问题 追及距离=快车的路程-慢车的路程
【典型例题】
例2 两地相距 280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用 14 h，逆流用 20 h.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
要点归纳
流水行船类问题 顺水速度=静水船速+水速 逆水速度=静水船速-水速
静水船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
探究点二、其他问题
例3 如下图 ，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连，这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地，已知长绒棉的进价为 3.08 万元/t，纺织面料的出厂价为 4.25 万元/t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5200 元，铁路运费 16640 元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元
分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买 x t 长绒制成 y t 纺织面料.
根据题中数量关系填写下表：
x t长绒棉 y t纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
题目所求的数值是________________________________.
为此需先解出_____________与_______________.
由上表 ，列得方程组：
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多___________元.
归纳总结：对于复杂的实际问题，可以通过_____的方法将所有的数量关系进行整理，发现等量关系，列出方程组.
【典型例题】
例4 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
课堂检测
1. 甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇.已知小轿车比大客车每小时多行驶20千米，设大客车每小时行驶x千米，小轿车每小时行驶y千米，则可列方程组为(　　)
A. B. C. D.
2. A，B两码头之间的距离为120千米，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，则水流速度是______千米/时.
3. 甲、乙两人匀速骑车从相距60千米的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，则甲在出发后6小时追上乙，则甲的速度为_______千米/时.
4.一个两位数，两个数位上的数字一个是另一个的2倍.若把此两位数的两个数字对调，所得新数比原数大27，则此两位数是_______.
5. 某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘出租车走了10千米，付车费21.2元.”
乙说：“我乘出租车走了14千米，付车费27.6元.”
(1)出租车起步价是多少元？超过3千米的部分每千米收费多少元？
(2)小张乘出租车走了5.5千米，应付车费多少元？
6. 如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 (单位 cm)
参考答案
【合作探究】
探究点一、行程问题
问题1 路程 = 速度×时间 问题2 所用时间=对应的路程÷对应的速度；
上坡、平路、下坡所用时间加起来就是总用时.填一填 0m y m x m 0 m
追问
答：小华家离学校有 720 m.
【典型例题】例1 解：设甲的速度是每小时 x km，乙的速度是每小时 y km.
答：甲的速度是每小时 5 km，乙的速度是每小时 3 km.
例2 解：设这艘轮船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h.
答：这艘轮船在静水中的速度为 17 km/h，水流速度为 3 km/h.
探究点二、其他问题
例3 分析 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x+20y) 0.2×120x 0.2×110y
0.2(120x+110y） 30800x 42500y
纺织面料的销售额-(原料费+运输费) x(原料数量) y(纺织面料数量)
42500×320-(400×30800+5200+16640)=1258160(元) 1258160
例4 解：设安排生产螺钉的工人 x 名，生产螺母的 y 名.
答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.
课堂检测
1.D 2. 3 3. 20 4. 36
5.解：(1)设出租车起步价是x元，超过3千米的部分每千米收费y元，
答：出租车起步价是10元，超过3千米的部分每千米收费1.6元.
(2) 解：10＋(5.5－3)×1.6＝14(元)
答：小张乘出租车走了5.5千米，应付车费14元.
6.解：设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm，
答：每块小长方形地砖的长和宽分别是 45 cm，15 cm.