可化为一元一次方程的分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的概念及解法
1.(易错警示题·概念不清)下列关于x的方程是分式方程的是( )
A.=1- B.=2+x
C.+=1 D.=1
2.(2024·沈阳模拟)解分式方程1-=,去分母后得到的方程正确的是( )
A.1-(2-x)=-2x B.(2-x)+1=2x
C.(x-2)-1=2x D.(x-2)+1=2x
3.(2024·北京模拟)方程=的解为 .
4.(2023·山西中考)解方程:+1=.
知识点2 根据分式方程根的情况求参数
5.(2024·宿迁模拟)关于x的方程+2=的解是正数,则a的取值范围是( )
A.a>-11 B.a>-5
C.a>-5且a≠-1 D.a>-11且a≠1
6.已知关于x的方程+=3会产生增根,则a的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.关于x的方程-3=的解为非负数,则m的取值范围是 .
8.已知关于x的方程-m-4=无解,求m的值.
【B层 能力进阶】
9.(2024·益阳模拟)对于实数a,b,定义一种新运算“ ”为:a b=,这里等式右边是通常的实数运算.例如:1 3==-,则方程x (-1)=-1的解是( )
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=7
10.(2024·衡阳模拟)若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解,且使关于x的分式方程+=2有整数解,则满足条件的实数m有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
11.用换元法解方程-=3时,设=y,则原方程可化为 .
12.已知关于x的分式方程-=1有增根,则增根x= ,k= .
13.(2024·赣州模拟)小丁和小迪分别解方程-=1的过程如下:
小丁: 小迪:
去分母,得x-(x-3)=x-2, 去括号,得x-x+3=x-2, 合并同类项,得3=x-2, 解得x=5, ∴原方程的解是x=5 去分母,得x+(x-3)=1, 去括号得,x+x-3=1, 合并同类项得,2x-3=1, 解得x=2, 经检验,x=2是方程的增根,原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识)关于x+=3+这类方程,我们可以用对应法来求解.
解:原方程变为或;
解得x=3或x=.
(1)请用对应法解方程:x+=-.
(2)能否用对应法解方程:x+=5+ 如果能,请用对应法求解;如果不能,请说明理由.
(3)如果方程x+=b+能用对应法求解,求a,b的值.可化为一元一次方程的分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 列分式方程解决工程问题
1.师父和徒弟两人每小时一共做40个零件,在相同的时间内,师父做了300个零件,徒弟做了100个零件.若设师父每小时做x个零件,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
2.(2024·青岛模拟)小明和小兰利用寒假练习写字,小明要写8 000字,小兰要写
6 000字,小明每天比小兰多写100字,小明和小兰完成各自任务的天数相同,则小明和小兰每天各写多少字 若设小明每天写x字,则可列方程为 .
3.某漆器厂计划制作3 000个“漆器”摆件进行网上销售,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务.问原计划平均每天制作多少个“漆器”摆件.
知识点2 列分式方程解决行程问题
4.(2024·深圳模拟)A,B两地相距60千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟,已知船在静水中航行的速度为20千米/时.若设水流速度为x千米/时(x<20),则可列方程为( )
A.-=
B.-=
C.-=45
D.-=45
5.(2024·青岛模拟)甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资,已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍,乙救援队出发40分钟后,甲救援队才出发,结果甲救援队比乙救援队早到20分钟.若设乙救援队的平均速度为x千米/时,则可列方程为 .
6.(2023·扬州中考)甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车速度是甲同学步行速度的4倍,甲出发30 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求乙同学骑自行车的速度.
知识点3 列分式方程解决其他问题
7.(2023·达州中考)某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品,首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售,面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件,根据题意可列方程为( )
A.=-40
B.-40=
C.+40=
D.+40=
8.现有由甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克,两种糖的千克数和单价如表所示.
项目 甲种糖 乙种糖
千克数 20 30
单价(元/千克) 25 15
商店以糖的平均价格作为什锦糖的单价,要使什锦糖的单价每千克提高1元,需加入甲种糖 千克.
【B层 能力进阶】
9.某市为“加快推进污水管网建设,着力提升居民生活品质”,需要铺设一段全长为3 000米的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成这一任务.设原计划每天铺设x米管道,则根据题意,下列方程中,正确的是( )
A.+30=
B.+30=
C.=+30
D.=+30
10.(2024·毕节模拟)为了丰富学生社会实践活动经历,某中学组织学生乘车去距学校43 km的古城参观学习,回程的平均速度比去程的平均速度快10 km/h,回程路上所花时间比去程节省了,设去程的平均速度为x km/h,下列方程中,正确的是( )
A.=(1-)·
B.=(1-)·
C.+=
D.=-
11.(2024·北京质检)在读书活动中,某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计:甲班学生人数比乙班学生人数多2人,甲班学生读书256本,乙班学生读书180本,乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的,求甲、乙两班各有多少人 设乙班有x人,依题意,可列方程为 .
12.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 秒.
13.(2024·南宁模拟)我国第一届全国学生(青年)运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕,吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具在市场出现热销.已知“壮壮”比“美美”每个便宜40元,某商场用6 400元购买“壮壮”的数量是用4 800元购买“美美”数量的2倍.
(1)求购买一个“美美”和一个“壮壮”各需多少元
(2)为满足顾客需求,商场从厂家一次性购买“壮壮”和“美美”共100个,要求购买的总费用不超过11 020元,求最多可以购买“美美”多少个
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识、运算能力)周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮,亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了”,琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速).
(1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少.
(2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为
a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.可化为一元一次方程的分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 列分式方程解决工程问题
1.师父和徒弟两人每小时一共做40个零件,在相同的时间内,师父做了300个零件,徒弟做了100个零件.若设师父每小时做x个零件,则可列方程为(A)
A.= B.=
C.= D.=
2.(2024·青岛模拟)小明和小兰利用寒假练习写字,小明要写8 000字,小兰要写
6 000字,小明每天比小兰多写100字,小明和小兰完成各自任务的天数相同,则小明和小兰每天各写多少字 若设小明每天写x字,则可列方程为 = .
3.某漆器厂计划制作3 000个“漆器”摆件进行网上销售,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务.问原计划平均每天制作多少个“漆器”摆件.
【解析】设原计划平均每天制作x个“漆器”摆件,
由题意得,-=5,
解得x=200,
经检验x=200是原方程的解,且符合题意.
答:原计划平均每天制作200个“漆器”摆件.
知识点2 列分式方程解决行程问题
4.(2024·深圳模拟)A,B两地相距60千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟,已知船在静水中航行的速度为20千米/时.若设水流速度为x千米/时(x<20),则可列方程为(A)
A.-=
B.-=
C.-=45
D.-=45
5.(2024·青岛模拟)甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资,已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍,乙救援队出发40分钟后,甲救援队才出发,结果甲救援队比乙救援队早到20分钟.若设乙救援队的平均速度为x千米/时,则可列方程为 +1= .
6.(2023·扬州中考)甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车速度是甲同学步行速度的4倍,甲出发30 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求乙同学骑自行车的速度.
【解析】设甲同学步行的速度为x km/h,则乙同学骑自行车的速度为4x km/h,由题意得-=,解得x=3.6,经检验,x=3.6是原分式方程的解,且符合题意,
∴4x=4×3.6=14.4.
答:乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h.
知识点3 列分式方程解决其他问题
7.(2023·达州中考)某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品,首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售,面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件,根据题意可列方程为(A)
A.=-40
B.-40=
C.+40=
D.+40=
8.现有由甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克,两种糖的千克数和单价如表所示.
项目 甲种糖 乙种糖
千克数 20 30
单价(元/千克) 25 15
商店以糖的平均价格作为什锦糖的单价,要使什锦糖的单价每千克提高1元,需加入甲种糖 10 千克.
【B层 能力进阶】
9.某市为“加快推进污水管网建设,着力提升居民生活品质”,需要铺设一段全长为3 000米的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成这一任务.设原计划每天铺设x米管道,则根据题意,下列方程中,正确的是(C)
A.+30=
B.+30=
C.=+30
D.=+30
10.(2024·毕节模拟)为了丰富学生社会实践活动经历,某中学组织学生乘车去距学校43 km的古城参观学习,回程的平均速度比去程的平均速度快10 km/h,回程路上所花时间比去程节省了,设去程的平均速度为x km/h,下列方程中,正确的是(A)
A.=(1-)·
B.=(1-)·
C.+=
D.=-
11.(2024·北京质检)在读书活动中,某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计:甲班学生人数比乙班学生人数多2人,甲班学生读书256本,乙班学生读书180本,乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的,求甲、乙两班各有多少人 设乙班有x人,依题意,可列方程为 ·= .
12.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 7.5 秒.
13.(2024·南宁模拟)我国第一届全国学生(青年)运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕,吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具在市场出现热销.已知“壮壮”比“美美”每个便宜40元,某商场用6 400元购买“壮壮”的数量是用4 800元购买“美美”数量的2倍.
(1)求购买一个“美美”和一个“壮壮”各需多少元
(2)为满足顾客需求,商场从厂家一次性购买“壮壮”和“美美”共100个,要求购买的总费用不超过11 020元,求最多可以购买“美美”多少个
【解析】(1)设购买一个“美美”需要x元,
则购买一个“壮壮”需要(x-40)元,
由题意得,=,
解得x=120,
经检验,x=120是原方程的解,
则x-40=120-40=80(元).
答:购买一个“美美”需要120元,购买一个“壮壮”需要80元;
(2)设购买“美美”a个,
则购买“壮壮”(100-a)个,
则120a+80(100-a)≤11 020,
解得a≤75.5.
答:最多可以购买“美美”75个.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识、运算能力)周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮,亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了”,琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速).
(1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少.
【解析】(1)设风速为x km/h.根据题意,得=×,解得x=2.
经检验x=2是所列方程的解,且符合题意.
答:风速为2 km/h.
(2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为
a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
【解析】(2)有风往返一趟的时间为(+) h,无风往返一趟的时间为 h.
∵+-=,v>a,
∴>0,即+>,
∴有风往返一趟的时间>无风往返一趟的时间,即亮亮说得对.可化为一元一次方程的分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的概念及解法
1.(易错警示题·概念不清)下列关于x的方程是分式方程的是(D)
A.=1- B.=2+x
C.+=1 D.=1
2.(2024·沈阳模拟)解分式方程1-=,去分母后得到的方程正确的是(D)
A.1-(2-x)=-2x B.(2-x)+1=2x
C.(x-2)-1=2x D.(x-2)+1=2x
3.(2024·北京模拟)方程=的解为 x=-1 .
4.(2023·山西中考)解方程:+1=.
【解析】由题意得最简公分母为2(x-1),
∴原方程可化为2+2x-2=3,∴x=.
检验:当x=时,2(x-1)=1≠0,且原方程左边=右边,
∴原方程的解为x=.
知识点2 根据分式方程根的情况求参数
5.(2024·宿迁模拟)关于x的方程+2=的解是正数,则a的取值范围是(D)
A.a>-11 B.a>-5
C.a>-5且a≠-1 D.a>-11且a≠1
6.已知关于x的方程+=3会产生增根,则a的值为(C)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.关于x的方程-3=的解为非负数,则m的取值范围是 m≥-5且m≠-3 .
8.已知关于x的方程-m-4=无解,求m的值.
【解析】原方程可以化为(m+3)x=4m+8,由于方程无解,故有两种情况:
(1)若整式方程无实根,则m+3=0且4m+8≠0,∴m=-3;
(2)若整式方程的根是原方程的增根,则=3,∴m=1,经检验m=1是方程=3的解,综上所述,m=-3或m=1.
【B层 能力进阶】
9.(2024·益阳模拟)对于实数a,b,定义一种新运算“ ”为:a b=,这里等式右边是通常的实数运算.例如:1 3==-,则方程x (-1)=-1的解是(B)
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=7
10.(2024·衡阳模拟)若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解,且使关于x的分式方程+=2有整数解,则满足条件的实数m有(C)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
11.用换元法解方程-=3时,设=y,则原方程可化为 y-=3 .
12.已知关于x的分式方程-=1有增根,则增根x= 2 ,k= -3 .
13.(2024·赣州模拟)小丁和小迪分别解方程-=1的过程如下:
小丁: 小迪:
去分母,得x-(x-3)=x-2, 去括号,得x-x+3=x-2, 合并同类项,得3=x-2, 解得x=5, ∴原方程的解是x=5 去分母,得x+(x-3)=1, 去括号得,x+x-3=1, 合并同类项得,2x-3=1, 解得x=2, 经检验,x=2是方程的增根,原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
【解析】小丁和小迪的解法错误,分别在框内打“×”;
-=1,去分母,得x+(x-3)=x-2,去括号,得2x-3=x-2,解得x=1,
经检验,x=1是方程的解.
所以原方程的解为x=1.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识)关于x+=3+这类方程,我们可以用对应法来求解.
解:原方程变为或;
解得x=3或x=.
(1)请用对应法解方程:x+=-.
【解析】(1)方程整理得,x+=-2-,解得x=-2或x=-.
(2)能否用对应法解方程:x+=5+ 如果能,请用对应法求解;如果不能,请说明理由.
【解析】(2)能,方程整理得,x-1+=4+,可得x-1=4或x-1=,解得x=5或x=;
(3)如果方程x+=b+能用对应法求解,求a,b的值.
【解析】(3)方程整理得,x++=b++,可得=1,b+=5,解得a=2,b=.
