平面直角坐标系
【A层 基础夯实】
知识点1 用有序实数对表示位置
1.(2024·大同期中)如图是一个教室的平面示意图,把小强的座位“第2列第4排”记为(2,4).若小华的座位为(5,3),则下列四个座位中,与小华的座位相邻的是(B)
A.(6,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(3,3)
2.如图,若点A(2,1)表示放置2根胡萝卜,1棵青菜;点B(4,2)表示放置4根胡萝卜,2棵青菜.
(1)请写出点C,D,E,F所表示的意义;
【解析】(1)点C(2,2)表示放置2根胡萝卜,2棵青菜;点D(3,2)表示放置3根胡萝卜,2棵青菜;点E(3,1)表示放置3根胡萝卜,1棵青菜;点F(4,1)表示放置4根胡萝卜,1棵青菜;
(2)若一只小兔子从点A到达点B(顺着方格线走)有以下几种路径可选择:
①A→C→D→B;②A→E→D→B;③A→E→F→B.
问:走哪条路径吃到的胡萝卜最多 走哪条路径吃到的青菜最多
【解析】(2)走①A→C→D→B可以吃到2+2+3+4=11根胡萝卜,1+2+2+2=7棵青菜;
走②A→E→D→B可以吃到2+3+3+4=12根胡萝卜,1+1+2+2=6棵青菜;
走③A→E→F→B吃到2+3+4+4=13根胡萝卜,1+1+1+2=5棵青菜;
因此走③吃到的胡萝卜最多,走①吃到的青菜最多.
知识点2 平面直角坐标系及点的坐标特征
3.在平面直角坐标系中,点A(3,-2)到y轴的距离为(A)
A.3 B.-2 C.-3 D.2
4.(易错警示题·概念不清)下列说法错误的是(D)
A.在平面直角坐标系内所有的点与全体有序实数对一一对应
B.y轴上的点的横坐标为0
C.x轴上的点的纵坐标为0
D.如果xy=0,那么点P(x,y)在坐标原点处
知识点3 关于坐标轴或原点对称的点的坐标特征
5.已知点P的坐标是(3,-1),则点P关于x轴的对称点在(A)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.在平面直角坐标系中,点A(3,4)关于原点O的对称点是点A',则OA'=(C)
A.3 B.4 C.5 D.
7.已知点A(a,2)与点B(-1,b)关于原点O对称,则点C(a,b)在第 四 象限.
8.如图,在平面直角坐标系中,△AOB是直角三角形,∠OAB=90°,OA=3,AB=4,则点A关于x轴的对称点的坐标为 (,-) .
【B层 能力进阶】
9.(2024·绵阳质检)在平面直角坐标系中,点A(1,3-a)到x轴的距离是3,则a的值是(D)
A.6 B.0 C.±6 D.0或6
10.(2024·重庆期中)已知线段MN=6,MN∥y轴,若点M坐标为(-4,2),则N点坐标为 (-4,8)或(-4,-4) .
11.若点A(-2m+3,-m+2)关于y轴的对称点在第一象限,则m的取值范围是 12.如图,在平面直角坐标系中,△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,点C的坐标为(4,1),则点B的坐标为 (-2,1) .
13.结合平面直角坐标系,探讨:
(1)点(3,4)和点(4,3)是否关于第一、三象限两坐标轴夹角的平分线对称
(2)点(3,4)和点(-4,-3)是否关于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线对称
(3)将(1)(2)题的结论推广,点(a,b)关于第一、三象限两坐标轴夹角的平分线的对称点的坐标和关于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线的对称点的坐标分别是什么
【解析】(1)如图,点(3,4)和点(4,3)关于第一、三象限两坐标轴夹角的平分线对称,
(2)点(3,4)和点(-4,-3)关于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线对称;
(3)点(a,b)关于第一、三象限两坐标轴夹角的平分线的对称点的坐标是(b,a);关于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线的对称点的坐标是(-b,-a).
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、运算能力)对于平面直角坐标系中任一点(a,b),规定以下三种变换:
①A(a,b)=(-a,b).如:A(7,3)=(-7,3);
②B(a,b)=(b,a).如:B(7,3)=(3,7);
③C(a,b)=(-a,-b).如:C(7,3)=(-7,-3);
例如:A(B(2,-3))=A(-3,2)=(3,2).
请回答下列问题:
(1)化简:A(C(5,-3))= (5,3) (填写坐标);
【解析】(1)C(5,-3)=(-5,3),A(-5,3)=(5,3),所以A(C(5,-3))=(5,3);
(2)通过以上“对称”变换得到的坐标叫做“对称”坐标,规定坐标可以进行如下运算:
(a,c)+(b,d)=(a+b,c+d),(a,c)-(b,d)=(a-b,c-d)
①计算:C(A(-3,-2))+B(C(-1,-2));(结果用坐标表示);
②“对称”坐标P(x,y)在第四象限,满足:
A(B(2x,-kx))-C(A(1+y,-2))=C(B(ky-1,-1))+A(C(y,x)),当(a,c)=(b,d)时,a=b且c=d.求满足条件的正整数k的值.
【解析】(2)①C(A(-3,-2))+B(C(-1,-2))=C(3,-2)+B(1,2)=(-3,2)+(2,1)=(-1,3);
②由题左边=A(-kx,2x)-C(-1-y,-2)=(kx,2x)-(1+y,2)=(kx-1-y,2x-2),
右边=C(-1,ky-1)+A(-y,-x)=(1,-ky+1)+(y,-x)=(1+y,1-ky-x),
则(kx-1-y,2x-2)=(1+y,1-ky-x),所以kx-1-y=1+y且2x-2=1-ky-x,
得,
因为P(x,y)在第四象限,所以x>0,y<0,所以得-3因为k为正整数,所以k为1.函数的图象
【A层 基础夯实】
知识点1 函数图象的识别
1.周日上午,小丽从家步行去图书馆,学习一段时间后慢跑回家.下面能反映小丽离图书馆的距离与时间的关系的大致图象是( )
2.(2024·深圳期中)某水吧购买了以下四款奶茶杯,小茗使用饮水机用恒定不变的水速往奶茶杯子里注水,该杯子里的水位高度h(dm)与注水时间t(min)的关系如图,则该奶茶杯的形状可能是( )
知识点2 函数图象的分析
3.甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,以下信息一定正确的有( )
①甲队挖掘20 m时,用了2 h;
②开挖6 h时,甲队比乙队多挖掘10 m;
③乙队从开挖2 h后到6 h之间,每小时挖掘5 m;
④开挖后4 h,甲、乙两队所挖河渠长度相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(2024·武汉模拟)一个有进水管与出水管的容器,已知进水速度为每分钟5升,出水速度为每分钟4升,某个时间段内容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)之间的关系如图所示,则图中t的值为 .
知识点3 函数图象的绘制
5.在某火车站托运物品时,不超过3 kg的物品需付1.5元,以后每增加1 kg(不足1 kg按1 kg计)需增加托运费0.5元,则下列图象能表示出托运费y(元)与物品质量x(kg)之间的函数关系式的是( )
【B层 能力进阶】
6.周末,婷婷到莲花山森林公园爬山,她在爬山的途中休息了一段时间.设她从山脚出发后所用时间为t(分),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是( )
A.婷婷中途休息了20分
B.婷婷在上述过程中所走的路程为3 800米
C.婷婷在休息前爬山的平均速度为每分70米
D.婷婷在休息前爬山的平均速度小于休息后爬山的平均速度
7.(2024·西安模拟)刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼,匀速走了60 min后回到家(中间不休息).如图表示她出发后离家的距离s(km)与行走时间t(min)之间的函数关系图象.则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是( )
8.(2024·福州期中)荡秋千不仅可以增进健康,而且可以培养勇敢精神,为人们特别是儿童所喜爱.已知小明某次荡秋千,秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示.结合图象,下列结论正确的有( )
①变量h是变量t的函数;
②秋千静止时,最低点离地面的高度是0.5 m;
③秋千摆第二个来回需2.6 s;
④秋千离地面的高度h(m)随着摆动时间t(s)的增大而减小.
A.①②③ B.①②③④
C.①③④ D.②③
9.周末,小亮骑自行车从家出发去市图书馆借书,已知小亮家与市图书馆相距10千米,行驶一段路程后经过学校,继续行驶一段时间后到达图书馆,借完书之后又骑车原路返回家,整个过程中,小亮与学校的距离y(千米)与离家的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.则当小亮距离学校5千米时,
小亮的行驶时间为 分钟.
【C层 创新挑战(选做)】
10.(几何直观、推理能力、运算能力)如图1,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm,CA与MN在同一条直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后点A与点N重合.
(1)试写出两图形重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)当点A向右移动2 cm时,重叠部分的面积是多少
(4)请在如图2所示的坐标系中画出此函数的图象,并结合图象指出重叠部分面积的最大值.函数的图象
【A层 基础夯实】
知识点1 函数图象的识别
1.周日上午,小丽从家步行去图书馆,学习一段时间后慢跑回家.下面能反映小丽离图书馆的距离与时间的关系的大致图象是(D)
2.(2024·深圳期中)某水吧购买了以下四款奶茶杯,小茗使用饮水机用恒定不变的水速往奶茶杯子里注水,该杯子里的水位高度h(dm)与注水时间t(min)的关系如图,则该奶茶杯的形状可能是(D)
知识点2 函数图象的分析
3.甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,以下信息一定正确的有(D)
①甲队挖掘20 m时,用了2 h;
②开挖6 h时,甲队比乙队多挖掘10 m;
③乙队从开挖2 h后到6 h之间,每小时挖掘5 m;
④开挖后4 h,甲、乙两队所挖河渠长度相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(2024·武汉模拟)一个有进水管与出水管的容器,已知进水速度为每分钟5升,出水速度为每分钟4升,某个时间段内容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)之间的关系如图所示,则图中t的值为 4.5 .
知识点3 函数图象的绘制
5.在某火车站托运物品时,不超过3 kg的物品需付1.5元,以后每增加1 kg(不足1 kg按1 kg计)需增加托运费0.5元,则下列图象能表示出托运费y(元)与物品质量x(kg)之间的函数关系式的是(D)
【B层 能力进阶】
6.周末,婷婷到莲花山森林公园爬山,她在爬山的途中休息了一段时间.设她从山脚出发后所用时间为t(分),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是(D)
A.婷婷中途休息了20分
B.婷婷在上述过程中所走的路程为3 800米
C.婷婷在休息前爬山的平均速度为每分70米
D.婷婷在休息前爬山的平均速度小于休息后爬山的平均速度
7.(2024·西安模拟)刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼,匀速走了60 min后回到家(中间不休息).如图表示她出发后离家的距离s(km)与行走时间t(min)之间的函数关系图象.则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是(C)
8.(2024·福州期中)荡秋千不仅可以增进健康,而且可以培养勇敢精神,为人们特别是儿童所喜爱.已知小明某次荡秋千,秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示.结合图象,下列结论正确的有(A)
①变量h是变量t的函数;
②秋千静止时,最低点离地面的高度是0.5 m;
③秋千摆第二个来回需2.6 s;
④秋千离地面的高度h(m)随着摆动时间t(s)的增大而减小.
A.①②③ B.①②③④
C.①③④ D.②③
9.周末,小亮骑自行车从家出发去市图书馆借书,已知小亮家与市图书馆相距10千米,行驶一段路程后经过学校,继续行驶一段时间后到达图书馆,借完书之后又骑车原路返回家,整个过程中,小亮与学校的距离y(千米)与离家的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.则当小亮距离学校5千米时,小亮的行驶时间为 或75 分钟.
【C层 创新挑战(选做)】
10.(几何直观、推理能力、运算能力)如图1,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm,CA与MN在同一条直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后点A与点N重合.
(1)试写出两图形重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式;
【解析】(1)由题意知,△ABC是等腰直角三角形,∠AMQ=90°,
∴重叠部分是等腰直角三角形,∵线段MA=x cm,∴y=x2;
(2)写出自变量x的取值范围;
【解析】(2)∵开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后让点A与点N重合,∴0≤MA≤4,即0≤x≤4,故自变量x的取值范围是0≤x≤4;
(3)当点A向右移动2 cm时,重叠部分的面积是多少
【解析】(3)点A向右移动2 cm时,即x=2,
∴y=×22=2,∴重叠部分的面积是2 cm2;
(4)请在如图2所示的坐标系中画出此函数的图象,并结合图象指出重叠部分面积的最大值.
【解析】(4)由y=x2列表得:
x 0 2 4
y 0 2 8
如图:
重叠部分面积的最大值是8.平面直角坐标系
【A层 基础夯实】
知识点1 用有序实数对表示位置
1.(2024·大同期中)如图是一个教室的平面示意图,把小强的座位“第2列第4排”记为(2,4).若小华的座位为(5,3),则下列四个座位中,与小华的座位相邻的是( )
A.(6,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(3,3)
2.如图,若点A(2,1)表示放置2根胡萝卜,1棵青菜;点B(4,2)表示放置4根胡萝卜,2棵青菜.
(1)请写出点C,D,E,F所表示的意义;
(2)若一只小兔子从点A到达点B(顺着方格线走)有以下几种路径可选择:
①A→C→D→B;②A→E→D→B;③A→E→F→B.
问:走哪条路径吃到的胡萝卜最多 走哪条路径吃到的青菜最多
知识点2 平面直角坐标系及点的坐标特征
3.在平面直角坐标系中,点A(3,-2)到y轴的距离为( )
A.3 B.-2 C.-3 D.2
4.(易错警示题·概念不清)下列说法错误的是( )
A.在平面直角坐标系内所有的点与全体有序实数对一一对应
B.y轴上的点的横坐标为0
C.x轴上的点的纵坐标为0
D.如果xy=0,那么点P(x,y)在坐标原点处
知识点3 关于坐标轴或原点对称的点的坐标特征
5.已知点P的坐标是(3,-1),则点P关于x轴的对称点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.在平面直角坐标系中,点A(3,4)关于原点O的对称点是点A',则OA'=( )
A.3 B.4 C.5 D.
7.已知点A(a,2)与点B(-1,b)关于原点O对称,则点C(a,b)在第 象限.
8.如图,在平面直角坐标系中,△AOB是直角三角形,∠OAB=90°,OA=3,AB=4,则点A关于x轴的对称点的坐标为 .
【B层 能力进阶】
9.(2024·绵阳质检)在平面直角坐标系中,点A(1,3-a)到x轴的距离是3,则a的值是( )
A.6 B.0 C.±6 D.0或6
10.(2024·重庆期中)已知线段MN=6,MN∥y轴,若点M坐标为(-4,2),则N点坐标为 .
11.若点A(-2m+3,-m+2)关于y轴的对称点在第一象限,则m的取值范围是 .
12.如图,在平面直角坐标系中,△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,点C的坐标为(4,1),则点B的坐标为 .
13.结合平面直角坐标系,探讨:
(1)点(3,4)和点(4,3)是否关于第一、三象限两坐标轴夹角的平分线对称
(2)点(3,4)和点(-4,-3)是否关于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线对称
(3)将(1)(2)题的结论推广,点(a,b)关于第一、三象限两坐标轴夹角的平分线的对称点的坐标和关于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线的对称点的坐标分别是什么
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、运算能力)对于平面直角坐标系中任一点(a,b),规定以下三种变换:
①A(a,b)=(-a,b).如:A(7,3)=(-7,3);
②B(a,b)=(b,a).如:B(7,3)=(3,7);
③C(a,b)=(-a,-b).如:C(7,3)=(-7,-3);
例如:A(B(2,-3))=A(-3,2)=(3,2).
请回答下列问题:
(1)化简:A(C(5,-3))= (填写坐标);
(2)通过以上“对称”变换得到的坐标叫做“对称”坐标,规定坐标可以进行如下运算:
(a,c)+(b,d)=(a+b,c+d),(a,c)-(b,d)=(a-b,c-d)
①计算:C(A(-3,-2))+B(C(-1,-2));(结果用坐标表示);
②“对称”坐标P(x,y)在第四象限,满足:
A(B(2x,-kx))-C(A(1+y,-2))=C(B(ky-1,-1))+A(C(y,x)),当(a,c)=(b,d)时,a=b且c=d.求满足条件的正整数k的值.
