一次函数
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数
1.(2024·哈尔滨期中)下列式子中,能表示两个变量y与x是正比例函数关系的是( )
A.y=-2x B.y=
C.y=2x2 D.y2=2x
2.(2024·北京期中)若关于x的函数y=tx+t+2为正比例函数,则t的值为 .
知识点2 一次函数
3.(易错警示题·概念不清)给出下列函数:①x+y=0;②y=x+2;③y+3=3(x+1);
④y=x2+1;⑤y=+2;⑥y=kx+3.其中y一定是x的一次函数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.(2024·常州质检)若关于x的函数y=(m+1)x-3是一次函数,则m的取值范围是
.
5.(2024·咸阳质检)已知函数y=(m+2)x3-|m|+m-5是关于x的一次函数,则x为何值时,y的值为2
知识点3 一次函数的应用
6.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是( )
A.路程一定时,时间y(h)和速度x(km/h)的关系
B.斜边长为5 cm的直角三角形的直角边y(cm)和x(cm)
C.圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)
D.等腰三角形的周长是20 cm,底边长y(cm)与腰长x(cm)的关系
7.甲、乙两车分别从A,B两地沿直路同向匀速行驶,两车距离y(单位:m)与行驶时间x(单位:s)(0≤x≤60)的部分对应值如表,则y与x的函数关系可表示为 .
时间x/s 0 5 10 15 20
两车距离y/m 300 275 250 225 200
8.某市出租车收费标准如下:3千米以内(含3千米)收费8元;超过3千米的部分每千米收费1.6元,当出租车行驶路程为x千米时,收费为y元.
(1)请写出当x>3时,y与x之间的函数关系式;
(2)小亮乘出租车行驶4千米,应付多少元
【B层 能力进阶】
9.下列函数:①y=;②y=-;③y=3-x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.其中,是一次函数的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
10.(2023·山西中考)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg的物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式为( )
A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x
C.y=10+0.5x D.y=0.5x
11.(2024·南通质检)已知y=(m+2)+3是一次函数,则m= .
12.(2024·崇左期中)为了鼓励节能降耗,某市规定如下用电收费标准:每户每月的用电量不超过200千瓦时时,电价为0.6元/千瓦时;超过200千瓦时时,不超过部分仍为0.6元/千瓦时,超过部分为1.1元/千瓦时.设该用户每月用电量为x(千瓦时),应付电费为y(元),则y与x之间的函数关系式为 .
13.“五一”假期,小明一家将随团到某风景区旅游,集体门票的收费标准是:25人以内(含25人),每人30元;超过25人时,超过部分每人20元.
(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的关系式;
(2)若小明一家所在的旅游团购买门票花了1 250元,则该旅游团共有多少人.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、几何直观、应用能力)如图,在长方形ABCD中,BC=8,CD=5,点E为边AD上一动点,连结CE,随着点E的运动,四边形ABCE的面积也发生变化.
(1)写出四边形ABCE的面积y与AE的长x(0(2)当x=3时,求y的值;
(3)当四边形ABCE的面积为35时,求DE的长.一次函数
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数
1.(2024·哈尔滨期中)下列式子中,能表示两个变量y与x是正比例函数关系的是(A)
A.y=-2x B.y=
C.y=2x2 D.y2=2x
2.(2024·北京期中)若关于x的函数y=tx+t+2为正比例函数,则t的值为 -2 .
知识点2 一次函数
3.(易错警示题·概念不清)给出下列函数:①x+y=0;②y=x+2;③y+3=3(x+1);
④y=x2+1;⑤y=+2;⑥y=kx+3.其中y一定是x的一次函数的有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.(2024·常州质检)若关于x的函数y=(m+1)x-3是一次函数,则m的取值范围是
m≠-1 .
5.(2024·咸阳质检)已知函数y=(m+2)x3-|m|+m-5是关于x的一次函数,则x为何值时,y的值为2
【解析】由题意,得m+2≠0,3-|m|=1,解得:m=2,
把m=2代入y=(m+2)x3-|m|+m-5,所以该一次函数是y=4x-3,
当y=2时,2=4x-3,解得:x=,
答:当x=时,y的值为2.
知识点3 一次函数的应用
6.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是(D)
A.路程一定时,时间y(h)和速度x(km/h)的关系
B.斜边长为5 cm的直角三角形的直角边y(cm)和x(cm)
C.圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)
D.等腰三角形的周长是20 cm,底边长y(cm)与腰长x(cm)的关系
7.甲、乙两车分别从A,B两地沿直路同向匀速行驶,两车距离y(单位:m)与行驶时间x(单位:s)(0≤x≤60)的部分对应值如表,则y与x的函数关系可表示为 y=300-5x(0≤x≤60) .
时间x/s 0 5 10 15 20
两车距离y/m 300 275 250 225 200
8.某市出租车收费标准如下:3千米以内(含3千米)收费8元;超过3千米的部分每千米收费1.6元,当出租车行驶路程为x千米时,收费为y元.
(1)请写出当x>3时,y与x之间的函数关系式;
【解析】(1)由题意得,当x≤3时,y=8;
当x>3时,y=8+1.6(x-3)=1.6x+3.2.
(2)小亮乘出租车行驶4千米,应付多少元
【解析】(2)当x=4时,y=1.6×4+3.2=9.6(元).
答:小亮乘出租车行驶4千米,应付9.6元.
【B层 能力进阶】
9.下列函数:①y=;②y=-;③y=3-x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.其中,是一次函数的有(C)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
10.(2023·山西中考)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg的物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式为(B)
A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x
C.y=10+0.5x D.y=0.5x
11.(2024·南通质检)已知y=(m+2)+3是一次函数,则m= 2 .
12.(2024·崇左期中)为了鼓励节能降耗,某市规定如下用电收费标准:每户每月的用电量不超过200千瓦时时,电价为0.6元/千瓦时;超过200千瓦时时,不超过部分仍为0.6元/千瓦时,超过部分为1.1元/千瓦时.设该用户每月用电量为x(千瓦时),应付电费为y(元),则y与x之间的函数关系式为 y= .
13.“五一”假期,小明一家将随团到某风景区旅游,集体门票的收费标准是:25人以内(含25人),每人30元;超过25人时,超过部分每人20元.
(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的关系式;
【解析】(1)由题意得:当0≤x≤25时,票价是每人30元,所以y=30x;
当x>25时,超过部分每人20元,所以y=30×25+(x-25)×20=20x+250,
所以y=(x为整数);
(2)若小明一家所在的旅游团购买门票花了1 250元,则该旅游团共有多少人.
【解析】(2)因为小明一家所在的旅游团购买门票花了1 250元,
所以1 250÷30≈41.7>25,所以旅游团购买门票的张数超过25张,
所以20x+250=1 250,解得x=50,所以该旅游团共有50人.
答:该旅游团共有50人.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、几何直观、应用能力)如图,在长方形ABCD中,BC=8,CD=5,点E为边AD上一动点,连结CE,随着点E的运动,四边形ABCE的面积也发生变化.
(1)写出四边形ABCE的面积y与AE的长x(0【解析】(1)∵S梯形=(上底+下底)×高÷2,
∴y=×5(x+8)=x+20(0∴四边形ABCE的面积y与AE的长x之间的表达式为y=x+20(0(2)当x=3时,求y的值;
【解析】(2)当x=3时,y=×3+20=;
(3)当四边形ABCE的面积为35时,求DE的长.
【解析】(3)由题可知y=35,即x+20=35,解得x=6,即AE=6,
∴DE=AD-AE=8-6=2.一次函数的图象
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数与一次函数的图象
1.(2024·梅州期中)下列各选项是函数y=kx(k<0)的图象的是(C)
2.(2024·深圳期末)已知一次函数y=x-1,则该函数的图象是(A)
3.若b<0,则一次函数y=-x+b的图象大致是(C)
知识点2 一次函数图象的平移
4.(2024·长治期中)一次函数y=5x+3向上平移3个单位长度后,图象与x轴的交点坐标是(A)
A.(-,0) B.(0,-)
C.(0,6) D.(6,0)
5.将一次函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到新的一次函数的表达式为 y=3x-2 .
知识点3 实际问题中的一次函数图象
6.将一根16 cm长的细铁丝折成一个等腰三角形(弯折处长度忽略不计),设腰长为x cm,底边长为y cm,则下列选项中,能正确描述y与x函数关系的是(D)
【B层 能力进阶】
7.下列图象中,可以表示一次函数y=kx-b与正比例函数y=kbx(k,b为常数,且kb≠0)的图象不可能的是(A)
8.(2024·周口期中)将一次函数y=2x-1的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点(1,3),则m的值为(A)
A.2 B.3 C.-2 D.-3
9.将直线y=x+b沿y轴向上平移5个单位长度,若点A(-2,4)关于原点的对称点落在平移后直线的上方,则b的取值范围为 b<-11 .
10.已知函数y=(2m+1)x+m-3,m为常数.
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
【解析】(1)∵y=(2m+1)x+m-3经过原点,∴m-3=0,解得m=3;
(2)若该函数的图象可由直线y=3x-3平移得到,求m的值;
【解析】(2)∵函数y=(2m+1)x+m-3的图象可由直线y=3x-3平移得到,
∴2m+1=3,解得m=1;
(3)若这个函数是一次函数,且函数图象不经过第二象限,求m的取值范围.
【解析】(3)∵这个函数是一次函数,且函数图象不经过第二象限,
∴,解得-11.创新小队在学习一次函数的图象时,发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由正比例函数y=kx的图象通过上下平移或左右平移得到,于是,他们进行了如下的探究活动.
(1)请你完成探究活动中的相关问题:
①将y=2x的图象向上平移4个单位长度,得到的直线l,则直线l的表达式为
y=2x+4 ;
②请在平面直角坐标系中,画出直线l的图象;
③直线l与x轴的交点坐标是 (-2,0) ;
④观察图象,直线l也可以看作由y=2x的图象向 左 (填“左”或“右”)平移 2 个单位长度得到.
【解析】(1)①由函数图象的平移性质得,y=2x+4;
②当x=0时,y=4,当y=0时2x+4=0,x=-2.找到(0,4),(-2,0),过两点画直线即为所求,
③由②得,当y=0时2x+4=0,x=-2,∴直线l与x轴的交点坐标是(-2,0);
④y=2x+4=2(x+2),故向左平移2个单位长度;
(2)将y=-x+1向下平移3个单位长度得到的图象,相当于将y=-x+1向 左 (填“左”或“右”)平移 9 个单位长度得到;
【解析】(2)由题意可得,y=-x+1-3=-x-2=-(x+9)+1,故向左平移9个单位长度;
(3)将y=kx+b(k>0)向下平移m(m>0)个单位长度得到的图象,相当于将y=kx+b(k>0)向 右 (填“左”或“右”)平移 个单位长度得到.
【解析】(3)由题意可得,y=kx+b-m=k(x-)+b,故向右平移个单位长度.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、模型观念、运算能力)(2024·郑州期末)请结合一次函数的学习经验探究函数y=2|x+1|-3的图象与性质.
(1)列表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 3 m -1 -3 -1 n 3 …
表格中m= 1 ,n= 1 .
【解析】(1)当x=-3时,y=2|-3+1|-3=1,当x=1时,y=2|1+1|-3=1,
∴m=1,n=1.
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
【解析】(2)根据表格取点A(-1,-3),点B(-3,1),作射线AB,选取点A(-1,-3),点C(1,1),作射线AC,则射线AB,AC为函数y=2|x+1|-3的图象,如图1所示:
(3)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点称为整点,函数y=2|x+1|-3的图象与直线y=1围成的区域内(不包括边界)整点的个数为 5 .
【解析】(3)画出函数y=2|x+1|-3和y=1的图象,如图2所示:
由函数y=2|x+1|-3和y=1的图象得,它们所围成的区域内(不包括边界)整点的个数为5,分别是(-2,0),(-1,0),(0,0),(-1,-1),(-1,-2).
(4)写出关于x的方程2|x+1|-3=x+1的解,并简单说明此方程的解是如何得到的.
【解析】(4)关于x的方程2|x+1|-3=x+1的解为x1=-2,x2=2,
理由:画出函数y=2|x+1|-3和y=x+1的图象,如图3所示:
两个函数图象的交点为点D(-2,-1),点E(2,3),∴2|x+1|-3=x+1的解为x1=-2,x2=2.求一次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 待定系数法求正比例函数表达式
1.已知点(-2,-3)在正比例函数y=kx的图象上,则k的值是(A)
A. B. C.6 D.-
知识点2 待定系数法求一次函数表达式
2.若点A(2,m+1),点B(4,m)是一次函数y=kx+1(k≠0)图象上的两点,则k的值为(D)
A.-2 B.2 C. D.-
3.(2024·眉山期中)若直线y=kx+b经过点(4,1)与直线y=x-5平行,则其表达式为 y=x-4 .
4.已知直线l经过点A(2,3)和点B(-1,6),求直线l的表达式.
【解析】设直线l的表达式为y=kx+b.
把点A(2,3),B(-1,6)代入,
得,解得,
∴直线l的表达式为y=-x+5.
知识点3 实际情况下求一次函数表达式
5.(2024·合肥模拟)小明爬楼回家,他所爬楼梯台阶总数m个是楼层的层数n层(n≥2的整数)的一次函数,其部分对应值如表所示.
层数n/(层) 2 3 4 5
台阶数m/(个) 42 70 98 126
已知每个台阶的高为0.1 m,小明家在20楼,他家距地面的高度是(C)
A.56 m B.57.4 m C.54.6 m D.59.2 m
6.(2024·哈尔滨期中)汽车油箱中有汽油60 L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,耗油量为0.1 L/km.则y与x的函数表达式为 y=-0.1x+60(0≤x≤600) .(要求写出自变量x的取值范围)
【B层 能力进阶】
7.(2024·福州期中)如表是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的信息,则m+n的值为(D)
x … 0 1 2 …
y … m 2 n …
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知一次函数y=kx+b,当0≤x≤2时,函数值y的取值范围是-1≤y≤3,则k+b的值为(B)
A.-1 B.1
C.-1或1 D.1或2
9.(2024·太原期中)把一些相同规格的杯子按如图方式整齐地叠放成一摞,6只杯子叠放的总高度为15 cm,一只杯子的高度为10 cm,这种杯子叠放在一起的总高度y(cm)与杯子数量x(只)之间的表达式为 y=x+9(x≥1) .
10.(2024·武汉模拟)在一次体育课上进行跳绳测试,小明的跳绳平均成绩为每分钟100个,小强的跳绳平均成绩为每分钟150个,小明先跳150个,然后小强再跳,如图是小明、小强跳绳的个数y关于小强的跳绳时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 450 .
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、应用意识)(2024·湘西模拟)根据以下素材,探索完成任务.
杨梅季将至,梅企与某快递公司合作寄送杨梅.
素材1 某快递公司规定:(1)从当地寄送杨梅到A市按重量收费:当杨梅重量不超过10千克时,需要寄送费32元;当重量超过10千克时,超过部分另收m元/千克. (2)寄送杨梅重量均为整数千克.
素材2 电子存单1托寄物:杨梅包装服务 产品类型:某快递公司 计量重量:7千克 件数:1总费用:32元电子存单2托寄物:杨梅包装服务 产品类型:某快递公司 计量重量:12千克 件数:1总费用:44元电子存单3托寄物:杨梅包装服务 产品类型:某快递公司 计量重量:15千克 件数:1总费用:62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息,请确定m的值,并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y(元)关于杨梅重量x(千克)的函数表达式.
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克,请求出最省的寄送费用.
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们,若小聪能用来支配的钱有5 000元,他最多可以购买多少千克的杨梅 并写出最佳寄送方式.
【解析】任务1:由题意得,32+(12-10)m=44,∴m=6,
∴y=32+6(x-10)=6x-28(x>10);
任务2:当x=25时,
若单件寄送,则需寄费6×25-28=122(元),
若分两件寄送,则需寄费32+15×6-28=94(元),
若分三件寄送,则需寄费32×3=96(元),
∵94<96<122,∴寄送25千克杨梅的最省费用为94元;
任务3:设有m千克(m>10)杨梅需要寄送,
设m÷10的余数为n,
当n=5时,32×2=64>6×15-28=62,
当n=6时,32×2=64<6×16-28=68,∴当n≤5时,采用超过10千克的寄送方式最省钱,
当6设小聪购买的杨梅一共分y件不超过10千克的寄送方式,
由题意得,50×10y+32y≤5 000,解得y≤,又∵y是正整数,∴y最大值为9,
∴还剩下5 000-50×10×9-32×9=212(元),
∵(212÷50+10×9)÷10的余数小于5,
∴最省钱的寄送方式应该是8件不超过10千克的寄送,一件超过10千克的寄送,
∵8件不超过10千克的寄送的寄费和杨梅费用的和为10×50×8+32×8=4 256(元), 14×6-28+14×50=756,13×6-28+13×50=700,4 256+756>5 000,4 256+700<5 000,
∴一件超过10千克的寄送的杨梅数量是13千克,
∴小聪最多可以购买10×8+13=93(千克)杨梅,最佳寄送方式为8件10千克,1件13千克.一次函数的性质
【A层 基础夯实】
知识点 一次函数的性质
1.(2024·天津模拟)若直线y=kx+b(k≠0)经过第一、二、四象限,则函数y=bx-k(b≠0)的大致图象是( )
2.一次函数y=8x-3的图象经过点(1,y1),(3,y2),则下列判断中,正确的是( )
A.y1C.y1>y2 D.无法确定
3.(2024·上海期中)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则下列说法中,正确的是( )
A.k>0 B.b=4
C.y随x的增大而增大 D.当x>4时,y<0
4.(2024·昆明期中)对于函数y=-2x+2,下列结论中,正确的是( )
A.它的图象必经过点(-1,2)
B.y的值随x值的增大而增大
C.当x>1时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
5.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第一、三、四象限,则y随x的增大而 .
6.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A(2,0),B(0,-1.5)两点,那么当y<0时,自变量x的取值范围是 .
7.(2024·北京期中)已知点A(-1,y1),B(3,y2),在一次函数y=-x+b的图象上,则y1,y2的大小关系是 .
8.(2024·兰州期中)已知一次函数y=3-2x.
(1)求图象与两条坐标轴的交点坐标,并在如图的直角坐标系中画出它的图象;
(2)从图象看,y随x的增大而增大,还是随x的增大而减小
(3)x取何值时,y>0.
【B层 能力进阶】
9.一次函数y=kx+2(k≠0)的图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1A.-3 B.-2 C.2 D.3
10.(2024·福州期中)已知关于x的一次函数y=kx+5(k≠0),下列说法中,不正确的是( )
A.函数图象与y轴交于点(0,5)
B.函数图象不经过第三象限或第四象限
C.函数图象向下平移5个单位长度得到正比例函数y=kx(k≠0)的图象
D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)为函数图象上的两个点,则当k<0时,(x1-x2)(y1-y2)>0
11.已知一次函数y=(m-1)x-3m+5图象上两点A(x1,y1)和B(x2,y2),下列结论:
①图象过定点(3,2);②一次函数y=(m-1)x-3m+5的图象可由函数y=4x-1的图象平移而得,则m=5;③若(x1-x2)(y1-y2)<0,则m<1;④函数图象与y轴的交点在正半轴,则m<,正确的是 .(填写正确结论的序号)
12.(2024·泰州模拟)已知一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如表:
x … c c+1 c+2 …
y … n -n2-n-2 m …
则m n.(填“>”“=”或“<”)
13.(2024·宿州期中)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4交x轴于点A,交y轴于点B.
(1)若M(x1,y1),N(x2,y2)两点在该函数图象上,且x1(2)求AB的长;
(3)求点O到直线AB的距离.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验,对函数y=|x-2|的图象和性质进行了研究.探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数.如表是y与x的几组对应值:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中,m= ;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分;
(3)观察函数图象发现,该函数图象的最低点坐标是 ;
当x<2时,y随x的增大而减小;当x≥2时,y随x的增大而 ;
(4)进一步探究,若关于x的方程|x-2|=kx(k≠0)只有一个解,则k的取值范围是
. 求一次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 待定系数法求正比例函数表达式
1.已知点(-2,-3)在正比例函数y=kx的图象上,则k的值是( )
A. B. C.6 D.-
知识点2 待定系数法求一次函数表达式
2.若点A(2,m+1),点B(4,m)是一次函数y=kx+1(k≠0)图象上的两点,则k的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
3.(2024·眉山期中)若直线y=kx+b经过点(4,1)与直线y=x-5平行,则其表达式为 .
4.已知直线l经过点A(2,3)和点B(-1,6),求直线l的表达式.
知识点3 实际情况下求一次函数表达式
5.(2024·合肥模拟)小明爬楼回家,他所爬楼梯台阶总数m个是楼层的层数n层(n≥2的整数)的一次函数,其部分对应值如表所示.
层数n/(层) 2 3 4 5
台阶数m/(个) 42 70 98 126
已知每个台阶的高为0.1 m,小明家在20楼,他家距地面的高度是( )
A.56 m B.57.4 m C.54.6 m D.59.2 m
6.(2024·哈尔滨期中)汽车油箱中有汽油60 L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,耗油量为0.1 L/km.则y与x的函数表达式为 .(要求写出自变量x的取值范围)
【B层 能力进阶】
7.(2024·福州期中)如表是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的信息,则m+n的值为( )
x … 0 1 2 …
y … m 2 n …
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知一次函数y=kx+b,当0≤x≤2时,函数值y的取值范围是-1≤y≤3,则k+b的值为( )
A.-1 B.1
C.-1或1 D.1或2
9.(2024·太原期中)把一些相同规格的杯子按如图方式整齐地叠放成一摞,6只杯子叠放的总高度为15 cm,一只杯子的高度为10 cm,这种杯子叠放在一起的总高度y(cm)与杯子数量x(只)之间的表达式为 .
10.(2024·武汉模拟)在一次体育课上进行跳绳测试,小明的跳绳平均成绩为每分钟100个,小强的跳绳平均成绩为每分钟150个,小明先跳150个,然后小强再跳,如图是小明、小强跳绳的个数y关于小强的跳绳时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、应用意识)(2024·湘西模拟)根据以下素材,探索完成任务.
杨梅季将至,梅企与某快递公司合作寄送杨梅.
素材1 某快递公司规定:(1)从当地寄送杨梅到A市按重量收费:当杨梅重量不超过10千克时,需要寄送费32元;当重量超过10千克时,超过部分另收m元/千克. (2)寄送杨梅重量均为整数千克.
素材2 电子存单1托寄物:杨梅包装服务 产品类型:某快递公司 计量重量:7千克 件数:1总费用:32元电子存单2托寄物:杨梅包装服务 产品类型:某快递公司 计量重量:12千克 件数:1总费用:44元电子存单3托寄物:杨梅包装服务 产品类型:某快递公司 计量重量:15千克 件数:1总费用:62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息,请确定m的值,并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y(元)关于杨梅重量x(千克)的函数表达式.
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克,请求出最省的寄送费用.
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们,若小聪能用来支配的钱有5 000元,他最多可以购买多少千克的杨梅 并写出最佳寄送方式.一次函数的性质
【A层 基础夯实】
知识点 一次函数的性质
1.(2024·天津模拟)若直线y=kx+b(k≠0)经过第一、二、四象限,则函数y=bx-k(b≠0)的大致图象是(B)
2.一次函数y=8x-3的图象经过点(1,y1),(3,y2),则下列判断中,正确的是(A)
A.y1C.y1>y2 D.无法确定
3.(2024·上海期中)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则下列说法中,正确的是(D)
A.k>0 B.b=4
C.y随x的增大而增大 D.当x>4时,y<0
4.(2024·昆明期中)对于函数y=-2x+2,下列结论中,正确的是(C)
A.它的图象必经过点(-1,2)
B.y的值随x值的增大而增大
C.当x>1时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
5.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第一、三、四象限,则y随x的增大而 增大 .
6.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A(2,0),B(0,-1.5)两点,那么当y<0时,自变量x的取值范围是 x<2 .
7.(2024·北京期中)已知点A(-1,y1),B(3,y2),在一次函数y=-x+b的图象上,则y1,y2的大小关系是 y1>y2 .
8.(2024·兰州期中)已知一次函数y=3-2x.
(1)求图象与两条坐标轴的交点坐标,并在如图的直角坐标系中画出它的图象;
(2)从图象看,y随x的增大而增大,还是随x的增大而减小
(3)x取何值时,y>0.
【解析】(1)根据一次函数的表达式y=3-2x,得到y=0时,x=;x=0时,y=3.
所以与x轴的交点坐标为(,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
函数图象如图:
(2)由图象可知,y随x的增大而减小;
(3)当y=0时,x=,y随x的增大而减小,所以x<时,y>0.
【B层 能力进阶】
9.一次函数y=kx+2(k≠0)的图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1A.-3 B.-2 C.2 D.3
10.(2024·福州期中)已知关于x的一次函数y=kx+5(k≠0),下列说法中,不正确的是(D)
A.函数图象与y轴交于点(0,5)
B.函数图象不经过第三象限或第四象限
C.函数图象向下平移5个单位长度得到正比例函数y=kx(k≠0)的图象
D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)为函数图象上的两个点,则当k<0时,(x1-x2)(y1-y2)>0
11.已知一次函数y=(m-1)x-3m+5图象上两点A(x1,y1)和B(x2,y2),下列结论:
①图象过定点(3,2);②一次函数y=(m-1)x-3m+5的图象可由函数y=4x-1的图象平移而得,则m=5;③若(x1-x2)(y1-y2)<0,则m<1;④函数图象与y轴的交点在正半轴,则m<,正确的是 ①②③ .(填写正确结论的序号)
12.(2024·泰州模拟)已知一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如表:
x … c c+1 c+2 …
y … n -n2-n-2 m …
则m < n.(填“>”“=”或“<”)
13.(2024·宿州期中)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4交x轴于点A,交y轴于点B.
(1)若M(x1,y1),N(x2,y2)两点在该函数图象上,且x1 y2;
【解析】(1)∵y=-x+4,∴y随x的增大而减小,∵x1y2.
(2)求AB的长;
【解析】(2)当x=0时,y=4,即点B的坐标为(0,4),OB=4;当y=0时,x=6,即点A的坐标为(6,0),OA=6;∴AB==2,∴AB的长为2;
(3)求点O到直线AB的距离.
【解析】(3)设点O到直线AB的距离为h,
∵S△AOB=OA·OB=AB·h,∴×6×4=×2·h,解得,h=,
∴点O到直线AB的距离为.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验,对函数y=|x-2|的图象和性质进行了研究.探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数.如表是y与x的几组对应值:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中,m= 3 ;
【解析】(1)当x=-1时,y=|x-2|=3,∴m=3.
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分;
【解析】(2)画出该函数图象的另一部分如图:
(3)观察函数图象发现,该函数图象的最低点坐标是 (2,0) ;
当x<2时,y随x的增大而减小;当x≥2时,y随x的增大而 增大 ;
【解析】(3)观察函数图象发现,该函数图象的最低点坐标是(2,0);当x<2时,y随x的增大而减小;当x≥2时,y随x的增大而增大;
(4)进一步探究,若关于x的方程|x-2|=kx(k≠0)只有一个解,则k的取值范围是
k<-1或k≥1 .
【解析】(4)观察图象,若关于x的方程|x-2|=kx(k≠0)只有一个解,则k的取值范围是k<-1或k≥1.一次函数的图象
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数与一次函数的图象
1.(2024·梅州期中)下列各选项是函数y=kx(k<0)的图象的是( )
2.(2024·深圳期末)已知一次函数y=x-1,则该函数的图象是( )
3.若b<0,则一次函数y=-x+b的图象大致是( )
知识点2 一次函数图象的平移
4.(2024·长治期中)一次函数y=5x+3向上平移3个单位长度后,图象与x轴的交点坐标是( )
A.(-,0) B.(0,-)
C.(0,6) D.(6,0)
5.将一次函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到新的一次函数的表达式为 .
知识点3 实际问题中的一次函数图象
6.将一根16 cm长的细铁丝折成一个等腰三角形(弯折处长度忽略不计),设腰长为x cm,底边长为y cm,则下列选项中,能正确描述y与x函数关系的是( )
【B层 能力进阶】
7.下列图象中,可以表示一次函数y=kx-b与正比例函数y=kbx(k,b为常数,且kb≠0)的图象不可能的是( )
8.(2024·周口期中)将一次函数y=2x-1的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点(1,3),则m的值为( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
9.将直线y=x+b沿y轴向上平移5个单位长度,若点A(-2,4)关于原点的对称点落在平移后直线的上方,则b的取值范围为 .
10.已知函数y=(2m+1)x+m-3,m为常数.
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若该函数的图象可由直线y=3x-3平移得到,求m的值;
(3)若这个函数是一次函数,且函数图象不经过第二象限,求m的取值范围.
11.创新小队在学习一次函数的图象时,发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由正比例函数y=kx的图象通过上下平移或左右平移得到,于是,他们进行了如下的探究活动.
(1)请你完成探究活动中的相关问题:
①将y=2x的图象向上平移4个单位长度,得到的直线l,则直线l的表达式为
;
②请在平面直角坐标系中,画出直线l的图象;
③直线l与x轴的交点坐标是 ;
④观察图象,直线l也可以看作由y=2x的图象向 (填“左”或“右”)
平移 个单位长度得到.
(2)将y=-x+1向下平移3个单位长度得到的图象,相当于将y=-x+1向 左 (填“左”或“右”)平移 个单位长度得到;
(3)将y=kx+b(k>0)向下平移m(m>0)个单位长度得到的图象,相当于将y=kx+b(k>0)向 (填“左”或“右”)平移 个单位长度得到.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、模型观念、运算能力)(2024·郑州期末)请结合一次函数的学习经验探究函数y=2|x+1|-3的图象与性质.
(1)列表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 3 m -1 -3 -1 n 3 …
表格中m= ,n= .
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(3)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点称为整点,函数y=2|x+1|-3的图象与直线y=1围成的区域内(不包括边界)整点的个数为 .
(4)写出关于x的方程2|x+1|-3=x+1的解,并简单说明此方程的解是如何得到的.
