反比例函数的图象和性质
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的图象
1.反比例函数y=的大致图象是(B)
2.(易错警示题·忽略自变量的取值范围)(2024·台州模拟)一辆出租车从甲地到乙地,当平均速度为v(km/h)时,所用时间为t(h),则t关于v的函数图象大致是(D)
知识点2 反比例函数的性质
3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上.若x1<0A.y1<0C.y14.(2024·武汉模拟)关于反比例函数y=(k<0),下列结论正确的是(C)
A.图象位于第一、三象限
B.图象与坐标轴有交点
C.若图象经过点(1,-2),则必经过点(2,-1)
D.图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1知识点3 求反比例函数的表达式
5.(2023·重庆模拟)下列各点中,在反比例函数y=-的图象上的是(D)
A.(3,4) B.(-1,-12)
C.(-2,-6) D.(4,-3)
6.(2024·合肥质检)若反比例函数y=的图象经过点(3,-5),则它的图象一定还经过点(D)
A.(3,5) B.(-1,16)
C.(-3,-5) D.(-15,1)
知识点4 反比例函数中k的几何意义
7.如图,点A是反比例函数y=(x<0)的图象上的一点,过点A作 ABCD,使点B,C在x轴上,点D在y轴上.已知 ABCD的面积为6,则k的值为(B)
A.6 B.-6 C.3 D.-3
8.如图,正比例函数y=kx与函数y=的图象交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则S△ABC= 10 .
【B层 能力进阶】
9.(2024·长春质检)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1(k≠0)和y=-(k≠0)的图象可能是(C)
10.如图,反比例函数y=的图象经过点A(-1,-2),则以下说法不正确的是(D)
A.若图中矩形的面积为2,则k=2
B.当x>0时,y随x的增大而减小
C.图象也经过点B(2,1)
D.当x<-1时,y<-2
11.(2024·汕头模拟)如图,点A在函数y=(x>0)的图象上,点B在函数y=(x>0)的图象上,且AB∥x轴,BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO的面积为(C)
A.1 B.2 C. D.
12.如图,点A在反比例函数y=(x>0)上,过点A作AB∥x轴,交y轴于点C,交反比例函数y=(x<0)于点B,若BC=2AC.则k的值是 -6 .
13.(2024·贵州中考)已知点(1,3)在反比例函数y=的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
【解析】(1)把(1,3)代入y=,得3=,∴k=3,
∴反比例函数的表达式为y=;
(2)点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说明理由.
【解析】(2)∵k=3>0,∴函数图象位于第一、三象限,
∵点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,-3<0<1<3,
∴a<0【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、模型观念、运算能力)项目化学习
项目主题:探究杠杆平衡条件
项目步骤:实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:自制了一个类似天平的仪器如图①,在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体,在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得天平平衡.改变活动托盘B与点O的距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.
试验数据:
x(cm) 10 15 20 25 30
y(g) 30 20 15 12 10
问题解决:请根据此项目实施的相关材料完成下列任务:
(1)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标,如(10,30),(15,20)…在图②的坐标系中描出相应的点,并用平滑的曲线顺次连接这些点;
【解析】(1)如图所示:
(2)观察所画的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
【解析】(2)由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数,
∴设y=(k≠0),把x=10,y=30代入得:k=300.
∴y与x的函数关系式为y=.
(3)当活动托盘B与点O的距离为12.5 cm时,求砝码的质量;
【解析】(3)把x=12.5代入y=,得y=24.
∴当活动托盘B与点O的距离是12.5 cm时,砝码的质量为24 g.
(4)当活动托盘B往左移动(不能移动到点O)时,应往托盘B中添加还是减少砝码
添加 .(填写“添加”或“减少”)
【解析】(4)根据反比例函数的增减性,即可得出,随着活动托盘B与O点的距离不断减小,砝码的示数会不断增大;
∴应添加砝码.反比例函数
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的概念
1.下列函数中,y是关于x的反比例函数的是( )
A.y=2x B.y=
C.y= D.y=-1
2.(2024·平顶山质检)若y=(m-1)x|m|-2是反比例函数,则m的值为 .
3.下列函数(其中x是自变量)中,哪些是反比例函数 哪些不是 为什么
(1)y=;(2)y=x-1;(3)y=;(4)y=;(5)y=;(6)y=+7.
知识点2 从实际问题中抽象出反比例函数模型
4.如果一个三角形的面积为10,底边长为x,底边上的高为y,则y与x的函数表达式为( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
5.某电子产品的售价为8 000元,购买该产品时可分期付款:前期付款3 000元,后期每个月分别付相同的数额,则每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( )
A.y=-3 000 B.y=+3 000
C.y= D.y=
6.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据,如表:
y(单位:度) 100 200 400 500 …
x(单位:米) 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是 .
7.某市到杭州的高速公路大约长180 km,一辆轿车从某市出发开往杭州,轿车到达杭州的时间t(h)和行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系 v是t的反比例函数吗
【B层 能力进阶】
8.已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是P=.则下列说法不正确的是( )
A.当压强P为定值时,压力F与受力面积S成正比例函数关系
B.当压强P为定值时,受力面积S越大,压力F也越大
C.当压力F为定值时,压强P与受力面积S成正比例函数关系
D.当压力F为定值时,压强P与受力面积S成反比例函数关系
9.(2024·成都期末)已知y=(1-m)是反比例函数,则m= .
10.已知函数y=(m+1)x|2m|-1.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数
(2)当m为何值时,y是x的反比例函数
11.(2024·亳州质检)某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益.通过测算,开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足:(3-y)与(x+1)成反比例,且当投入改造经费1万元时,年产量是2万只.求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、运算能力)(新概念问题)定义:若一次函数y=ax+b(a≠0)和反比例函数y=-(c≠0)满足a-b=b-c,则称y=ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数.
(1)y=x+b和y=-是否存在“等差”函数 若存在,请写出它们的“等差”函数.
(2)若y=5x+b和y=-存在“等差”函数,且“等差”函数的图象与y=-的图象的一个交点的横坐标为1,求反比例函数的表达式.反比例函数的图象和性质
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的图象
1.反比例函数y=的大致图象是( )
2.(易错警示题·忽略自变量的取值范围)(2024·台州模拟)一辆出租车从甲地到乙地,当平均速度为v(km/h)时,所用时间为t(h),则t关于v的函数图象大致是( )
知识点2 反比例函数的性质
3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上.若x1<0A.y1<0C.y14.(2024·武汉模拟)关于反比例函数y=(k<0),下列结论正确的是( )
A.图象位于第一、三象限
B.图象与坐标轴有交点
C.若图象经过点(1,-2),则必经过点(2,-1)
D.图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1知识点3 求反比例函数的表达式
5.(2023·重庆模拟)下列各点中,在反比例函数y=-的图象上的是( )
A.(3,4) B.(-1,-12)
C.(-2,-6) D.(4,-3)
6.(2024·合肥质检)若反比例函数y=的图象经过点(3,-5),则它的图象一定还经过点( )
A.(3,5) B.(-1,16)
C.(-3,-5) D.(-15,1)
知识点4 反比例函数中k的几何意义
7.如图,点A是反比例函数y=(x<0)的图象上的一点,过点A作 ABCD,使点B,C在x轴上,点D在y轴上.已知 ABCD的面积为6,则k的值为( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
8.如图,正比例函数y=kx与函数y=的图象交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则S△ABC= .
【B层 能力进阶】
9.(2024·长春质检)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1(k≠0)和y=-(k≠0)的图象可能是( )
10.如图,反比例函数y=的图象经过点A(-1,-2),则以下说法不正确的是( )
A.若图中矩形的面积为2,则k=2
B.当x>0时,y随x的增大而减小
C.图象也经过点B(2,1)
D.当x<-1时,y<-2
11.(2024·汕头模拟)如图,点A在函数y=(x>0)的图象上,点B在函数y=(x>0)的图象上,且AB∥x轴,BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO的面积为( )
A.1 B.2 C. D.
12.如图,点A在反比例函数y=(x>0)上,过点A作AB∥x轴,交y轴于点C,交反比例函数y=(x<0)于点B,若BC=2AC.则k的值是 .
13.(2024·贵州中考)已知点(1,3)在反比例函数y=的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、模型观念、运算能力)项目化学习
项目主题:探究杠杆平衡条件
项目步骤:实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:自制了一个类似天平的仪器如图①,在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体,在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得天平平衡.改变活动托盘B与点O的距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.
试验数据:
x(cm) 10 15 20 25 30
y(g) 30 20 15 12 10
问题解决:请根据此项目实施的相关材料完成下列任务:
(1)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标,如(10,30),(15,20)…在图②的坐标系中描出相应的点,并用平滑的曲线顺次连接这些点;
(2)观察所画的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(3)当活动托盘B与点O的距离为12.5 cm时,求砝码的质量;
(4)当活动托盘B往左移动(不能移动到点O)时,应往托盘B中添加还是减少砝码
.(填写“添加”或“减少”) 反比例函数
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的概念
1.下列函数中,y是关于x的反比例函数的是(B)
A.y=2x B.y=
C.y= D.y=-1
2.(2024·平顶山质检)若y=(m-1)x|m|-2是反比例函数,则m的值为 -1 .
3.下列函数(其中x是自变量)中,哪些是反比例函数 哪些不是 为什么
(1)y=;(2)y=x-1;(3)y=;(4)y=;(5)y=;(6)y=+7.
【解析】(1)y=不是反比例函数;理由如下:
∵y=中自变量x的指数是-2不是-1,不符合反比例函数的定义,∴y=不是反比例函数;
(2)y=x-1是反比例函数;理由如下:
∵y=x-1中自变量x的指数是-1,符合反比例函数的定义,∴y=x-1是反比例函数;
(3)y=不是反比例函数;
∵y=中自变量x的指数是1不是-1,属于正比例函数,不符合反比例函数的定义,
∴y=不是反比例函数;
(4)y=是反比例函数;理由如下:
∵y=中自变量x的指数是-1,符合反比例函数的定义,∴y=是反比例函数;
(5)y=不是反比例函数;理由如下:
y=表示的是y与x+7成反比,表示的不是y与x成反比,不是反比例函数;
(6)y=+7不是反比例函数;理由如下:
y=+7可变为y-7=,因此此表达式表示的是y-7与x成反比,表示的不是y与x成反比,不是反比例函数.
知识点2 从实际问题中抽象出反比例函数模型
4.如果一个三角形的面积为10,底边长为x,底边上的高为y,则y与x的函数表达式为(C)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
5.某电子产品的售价为8 000元,购买该产品时可分期付款:前期付款3 000元,后期每个月分别付相同的数额,则每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是(D)
A.y=-3 000 B.y=+3 000
C.y= D.y=
6.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据,如表:
y(单位:度) 100 200 400 500 …
x(单位:米) 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是 y= .
7.某市到杭州的高速公路大约长180 km,一辆轿车从某市出发开往杭州,轿车到达杭州的时间t(h)和行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系 v是t的反比例函数吗
【解析】根据题意得,这辆汽车行驶完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为v=(t>0),v是t的反比例函数.
【B层 能力进阶】
8.已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是P=.则下列说法不正确的是(C)
A.当压强P为定值时,压力F与受力面积S成正比例函数关系
B.当压强P为定值时,受力面积S越大,压力F也越大
C.当压力F为定值时,压强P与受力面积S成正比例函数关系
D.当压力F为定值时,压强P与受力面积S成反比例函数关系
9.(2024·成都期末)已知y=(1-m)是反比例函数,则m= -1 .
10.已知函数y=(m+1)x|2m|-1.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数
【解析】(1)∵函数y=(m+1)x|2m|-1是正比例函数,∴|2m|-1=1,且m+1≠0,解得m=1.
(2)当m为何值时,y是x的反比例函数
【解析】(2)∵函数y=(m+1)x|2m|-1是反比例函数,
∴|2m|-1=-1,且m+1≠0,解得m=0.
即当m=0时,y是x的反比例函数.
11.(2024·亳州质检)某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益.通过测算,开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足:(3-y)与(x+1)成反比例,且当投入改造经费1万元时,年产量是2万只.求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式.
【解析】由题意得,设3-y=,
∵当投入改造经费1万元时,年产量是2万只,∴3-2=,
解得k=2,∴3-y=,即y=3-=.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、运算能力)(新概念问题)定义:若一次函数y=ax+b(a≠0)和反比例函数y=-(c≠0)满足a-b=b-c,则称y=ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数.
(1)y=x+b和y=-是否存在“等差”函数 若存在,请写出它们的“等差”函数.
【解析】(1)存在,假设y=x+b和y=-存在“等差”函数,
则a=1,c=3,a+c=2b,解得b=2,∴存在“等差”函数,其表达式为y=x2+2x+3;
(2)若y=5x+b和y=-存在“等差”函数,且“等差”函数的图象与y=-的图象的一个交点的横坐标为1,求反比例函数的表达式.
【解析】(2)根据题意知:a=5,5+c=2b,∴c=2b-5,
则“等差”函数的表达式为y=5x2+bx+2b-5,反比例函数的表达式为y=-,
根据题意,将x=1代入
得5+b+2b-5=-2b+5,解得b=1,∴c=2×1-5=-3,
故反比例函数的表达式为y=.
