实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.如图是一次函数y=ax+b的图象,则关于x的方程ax+b=1的解为( )
A.x=0 B.x=2 C.x=4 D.x=6
2.如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点(-1,3),则方程kx+b=3的解为( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=3 D.x=-3
3.已知直线y=-3x与y=kx+2相交于点P(m,3),则关于x的方程kx+2=-3x的解是( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=2 D.x=3
4.(2024·福州期中)若关于x的方程4x-b=5的解为x=2,则直线y=4x-b的图象一定经过点(2, ).
知识点2 一次函数与一元一次不等式
5.(2024·咸阳期中)如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象与x轴,y轴分别交于A(2,0),B(0,1)两点,则关于x的不等式kx+b>1的解集是( )
A.x<1 B.x<0 C.x<2 D.x>2
6.(2024·梅州期中)如图,已知一次函数y=kx+b,则关于x的不等式kx+b<0的解集是 .
7.(2024·郑州质检)根据一次函数y=kx+b的图象,写出下列问题的答案:
(1)关于x的方程kx+b=0的解是 ;
(2)关于x的方程kx+b=-3的解是 ;
(3)当x≥0时,y的取值范围是 .
【B层 能力进阶】
8.如图,直线y=x+4和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,关于x的方程x+4=ax+b的解是( )
A.x=16或x=20 B.x=20
C.x=16 D.x=-16
9.如图,一次函数y1=ax+b与一次函数y2=kx+4的图象交于P(1,3),则下列说法正确的个数是( )
①方程ax+b=3的解是x=1
②方程组的解是
③不等式ax+b>kx+4的解集是x>1
④不等式4>kx+4>ax+b的解集是0A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,直线y=kx+b交坐标轴于A(-,0),B(0,1)两点,则不等式-kx-b<0的解集为 .
11.(2024·无锡质检)如图,一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx的图象交于点P(-2,-1),则= .
12.如图所示,在同一个坐标系中一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象,分别与x轴交于点A,B,两直线交于点C,已知点A坐标为(-1,0),点B坐标为(2,0),观察图象并回答下列问题:
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是 ;关于x的不等式kx+b<0的解集是
;
(2)直接写出关于x的不等式组的解集是 ;
(3)若点C坐标为(1,3),关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集是 .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·深圳期中)深圳某学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时,对函数y=-|x-1|+3的图象和性质做了探究.下面是该学习小组的探究过程,请补充完整:
(1)列表:表格是y与x的几组对应值,请将表格补充完整:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y a -1 0 1 2 b 2 1 0 …
表格中a的值为 ,b的值为 .
(2)如图,在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象.
(3)请观察函数的图象,回答下列问题:
①不等式-|x-1|+3<0的解集为 ;
②若A(m,n),B(6,n)为该函数图象上不同的两点,则m= ;
③定义min(x,y)=,例如min(1,6)=1,min(a2,a2-1)=a2-1,则函数y=min(-|x-1|+3,x)的最大值为 . 实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)
1.(2024·昆明期中)已知一次函数y=3x与y=-x+图象的交点坐标是(1,3),则方程组的解是( )
A. B. C. D.
2.用图象法解二元一次方程组时,小英所画图象如图所示,则方程组的解为( )
A. B. C. D.
3.(2024·济南期中)如图,直线y=2x+2与直线y=kx+6交于点P(3,n),则方程组的解是 .
4.在平面直角坐标系中,直线y=-x+4的图象如图所示.
(1)在同一坐标系中,作出一次函数y=2x-5的图象;
(2)用作图象的方法解方程组.
知识点2 实际问题中的一次函数与二元一次方程(组)
5.(2024·重庆质检)甲、乙两车从A城出发匀速驶向B城,在整个行驶过程中,两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图,下列结论正确的有几个.( )
①A,B两城相距300千米;
②甲车比乙车早出发1小时,却晚到1小时;
③相遇时乙车行驶了2.5小时.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2024·深圳期末)如图,已知A地在B地正南方向3千米处,甲乙两人同时分别从A,B两地向正北方向匀速直行,他们与A地的距离s(千米)与所行的时间t(小时)之间的函数关系图象用如图所示的AC和BD表示,当他们行走3小时后,他们之间的距离为 千米.
7.某公园翻修后,推出了游船项目,为大众提供了一个可以玩桌游、开展商业活动的场合.这个项目有甲、乙两种消费卡,已知甲、乙两种消费卡的费用y(元)与消费次数x(次)的函数关系如图所示.根据图中信息,解答下列问题:
(1)分别求出选择甲、乙两种消费卡y关于x的函数表达式;
(2)点B的坐标为 ,点B表示的实际意义为 .
【B层 能力进阶】
8.如图中的两条直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组 的解.( )
A. B.
C. D.
9.(2024·锦州模拟)如图是一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象,则下列结论:①k<0;②a>0;③b>0;④方程kx+b=x+a的解是x=3,错误的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2024·黄山模拟)如图,一次函数y=x+的图象与y=kx+b的图象相交于点P(-2,n),则关于x,y的方程组的解是( )
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中,有直线l1:y=x+和直线l2:y=-x+6,它们的交点为P,l1与x轴交于点A,l2与x轴交于点B.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)用图象法解方程组;
(3)求△ABP的面积.
12.(2024·平顶山期末)如图,直线l1:y=-x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线l2:y=kx+b与y轴相交于点C(0,1),与直线l1相交于点D.
(1)填空:
①线段AB的长度为 ;
②方程组的解为 ;
(2)求直线l2的函数表达式;
(3)已知点M为直线l1上一动点,过点M作MN∥y轴交直线l2于点N.设点M的横坐标为m,当MN=4时,求出点N的坐标.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、应用意识)阅读下列材料,并完成任务.
以方程x-y=-2的解为坐标的点的全体叫做方程x-y=-2的图象.我们知道,二元一次方程x-y=-2有无数组解,我们把每一组解用有序数对(x,y)表示,就可以描出无数个以方程x-y=-2的解为坐标的点,这无数个点组成一条直线,反过来,这条直线上任意一点的坐标是方程x-y=-2的解.
任务一:填空
(1)如图1,在平面直角坐标系中,点M是方程x-y=-2的图象上一点,点M的坐标为(-3.5,-1.5),则 方程x-y=-2的解.(填“是”或“不是”)
(2)①在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-0.5,1.5),则点P 方程x-y=-2的图象上.(填“在”或“不在”)
②点Q的坐标为(1,2),则点Q 方程x-y=-2的图象上.(填“在”或“不在”)
任务二:如图2,在平面直角坐标系中,方程x-y=-2的图象与方程3x-y=0的图象交于点N(1,3),则二元一次方程组的解为 .
任务三:上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程,主要体现的数学思想是 .(填下列选项的字母代号即可)
A.转化思想 B.数形结合思想 C.方程思想实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.如图是一次函数y=ax+b的图象,则关于x的方程ax+b=1的解为(C)
A.x=0 B.x=2 C.x=4 D.x=6
2.如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点(-1,3),则方程kx+b=3的解为(A)
A.x=-1 B.x=1
C.x=3 D.x=-3
3.已知直线y=-3x与y=kx+2相交于点P(m,3),则关于x的方程kx+2=-3x的解是(A)
A.x=-1 B.x=1
C.x=2 D.x=3
4.(2024·福州期中)若关于x的方程4x-b=5的解为x=2,则直线y=4x-b的图象一定经过点(2, 5 ).
知识点2 一次函数与一元一次不等式
5.(2024·咸阳期中)如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象与x轴,y轴分别交于A(2,0),B(0,1)两点,则关于x的不等式kx+b>1的解集是(B)
A.x<1 B.x<0 C.x<2 D.x>2
6.(2024·梅州期中)如图,已知一次函数y=kx+b,则关于x的不等式kx+b<0的解集是 x<2.5 .
7.(2024·郑州质检)根据一次函数y=kx+b的图象,写出下列问题的答案:
(1)关于x的方程kx+b=0的解是 x=2 ;
(2)关于x的方程kx+b=-3的解是 x=-1 ;
(3)当x≥0时,y的取值范围是 y≥-2 .
【B层 能力进阶】
8.如图,直线y=x+4和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,关于x的方程x+4=ax+b的解是(C)
A.x=16或x=20 B.x=20
C.x=16 D.x=-16
9.如图,一次函数y1=ax+b与一次函数y2=kx+4的图象交于P(1,3),则下列说法正确的个数是(C)
①方程ax+b=3的解是x=1
②方程组的解是
③不等式ax+b>kx+4的解集是x>1
④不等式4>kx+4>ax+b的解集是0A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,直线y=kx+b交坐标轴于A(-,0),B(0,1)两点,则不等式-kx-b<0的解集为 x>- .
11.(2024·无锡质检)如图,一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx的图象交于点P(-2,-1),则= -2 .
12.如图所示,在同一个坐标系中一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象,分别与x轴交于点A,B,两直线交于点C,已知点A坐标为(-1,0),点B坐标为(2,0),观察图象并回答下列问题:
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是 x=-1 ;关于x的不等式kx+b<0的解集是
x>2 ;
【解析】(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象,分别与x轴交于点A(-1,0)、点B(2,0),∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=-1,
关于x的不等式kx+b<0的解集是x>2;
(2)直接写出关于x的不等式组的解集是 -1【解析】(2)根据图象可得关于x的不等式组
的解集为-1(3)若点C坐标为(1,3),关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集是 x>1 .
【解析】(3)∵点C(1,3),
∴结合图象可知,不等式k1x+b1>kx+b的解集是x>1.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·深圳期中)深圳某学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时,对函数y=-|x-1|+3的图象和性质做了探究.下面是该学习小组的探究过程,请补充完整:
(1)列表:表格是y与x的几组对应值,请将表格补充完整:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y a -1 0 1 2 b 2 1 0 …
表格中a的值为 -2 ,b的值为 3 .
【解析】(1)a=-|-4-1|+3=-2,b=-|1-1|+3=3;
(2)如图,在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象.
【解析】(2)函数图象如图:
(3)请观察函数的图象,回答下列问题:
①不等式-|x-1|+3<0的解集为 x>4或x<-2 ;
②若A(m,n),B(6,n)为该函数图象上不同的两点,则m= -4 ;
③定义min(x,y)=,例如min(1,6)=1,min(a2,a2-1)=a2-1,则函数y=min(-|x-1|+3,x)的最大值为 1 .
【解析】(3)①观察图象可得,当x>4或x<-2时,y<0,即-|x-1|+3<0,
∴不等式-|x-1|+3<0的解集为:x>4或x<-2;
②把x=6,y=n代入,得n=-|6-1|+3=-2,当y=n=-2时,有-|x-1|+3=-2,
解得:x=6或-4,∴m=-4;
③设y1=-|x-1|+3,y2=x,
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下:
当y1=y2时,有-|x-1|+3=x,解得:x=-3或3,
当x≤-3时,y1≤y2,∴y=min(-|x-1|+3,x)=-|x-1|+3=y1,
此时,y1的最大值是-1,∴y的最大值是-1.
当-3此时,y2的最大值是1,∴y的最大值是1.
当x≥3时,y1≤y2,∴y=min(-|x-1|+3,x)=-|x-1|+3=y1,
此时,y1的最大值是1,∴y的最大值是1,
综上可得,y的最大值是1.实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)
1.(2024·昆明期中)已知一次函数y=3x与y=-x+图象的交点坐标是(1,3),则方程组的解是(A)
A. B. C. D.
2.用图象法解二元一次方程组时,小英所画图象如图所示,则方程组的解为(D)
A. B. C. D.
3.(2024·济南期中)如图,直线y=2x+2与直线y=kx+6交于点P(3,n),则方程组的解是 .
4.在平面直角坐标系中,直线y=-x+4的图象如图所示.
(1)在同一坐标系中,作出一次函数y=2x-5的图象;
【解析】(1)列出表格如下:
x …… -1 0 1 2 3 ……
y …… -7 -5 -3 -1 1 ……
画出函数图象如下:
(2)用作图象的方法解方程组.
【解析】(2)∵y=-x+4可整理为x+y=4,y=2x-5可整理为2x-y=5,
∴由图可知,的解为.
知识点2 实际问题中的一次函数与二元一次方程(组)
5.(2024·重庆质检)甲、乙两车从A城出发匀速驶向B城,在整个行驶过程中,两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图,下列结论正确的有几个.(C)
①A,B两城相距300千米;
②甲车比乙车早出发1小时,却晚到1小时;
③相遇时乙车行驶了2.5小时.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2024·深圳期末)如图,已知A地在B地正南方向3千米处,甲乙两人同时分别从A,B两地向正北方向匀速直行,他们与A地的距离s(千米)与所行的时间t(小时)之间的函数关系图象用如图所示的AC和BD表示,当他们行走3小时后,他们之间的距离为 千米.
7.某公园翻修后,推出了游船项目,为大众提供了一个可以玩桌游、开展商业活动的场合.这个项目有甲、乙两种消费卡,已知甲、乙两种消费卡的费用y(元)与消费次数x(次)的函数关系如图所示.根据图中信息,解答下列问题:
(1)分别求出选择甲、乙两种消费卡y关于x的函数表达式;
【解析】(1)设甲种消费的函数表达式为y甲=kx,
把(5,100)代入得:100=5k,解得:k=20,∴y甲=20x;
设乙种消费的函数表达式为y乙=mx+n,
将(0,100),(20,300)代入得:,
解得:,∴y乙=10x+100.
(2)点B的坐标为 (10,200) ,点B表示的实际意义为 当消费10次时,两种消费卡消费一样,都是200元 .
【解析】(2)联立得:,解得:,
∴点B的坐标为(10,200),点B表示的实际意义为当消费10次时,两种消费卡消费一样,都是200元.
【B层 能力进阶】
8.如图中的两条直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组 的解.(A)
A. B.
C. D.
9.(2024·锦州模拟)如图是一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象,则下列结论:①k<0;②a>0;③b>0;④方程kx+b=x+a的解是x=3,错误的个数是(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2024·黄山模拟)如图,一次函数y=x+的图象与y=kx+b的图象相交于点P(-2,n),则关于x,y的方程组的解是(B)
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中,有直线l1:y=x+和直线l2:y=-x+6,它们的交点为P,l1与x轴交于点A,l2与x轴交于点B.
(1)求A,B两点的坐标;
【解析】(1)当y=0时,0=x+,解得x=-3,即A(-3,0);
0=-x+6,解得x=4,即B(4,0);
(2)用图象法解方程组;
【解析】(2)可变形为:,
l1:y=x+和l2:y=-x+6的图象如图,
交点P坐标为:(2,3),故方程组的解是;
(3)求△ABP的面积.
【解析】(3)S△PAB=×7×3=.
12.(2024·平顶山期末)如图,直线l1:y=-x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线l2:y=kx+b与y轴相交于点C(0,1),与直线l1相交于点D.
(1)填空:
①线段AB的长度为 4 ;
②方程组的解为 ;
【解析】(1)①对于l1:y=-x+4,令x=0,y=4,令y=0,x=4,
∴点A(4,0),B(0,4),∴OA=OB=4,∴AB==4;
②∵直线l1:y=-x+4与直线l2:y=kx+b相交于点D(1,3),
∴方程组的解为;
(2)求直线l2的函数表达式;
【解析】(2)由题意知,直线l2:y=kx+b经过点C(0,1)和点D(1,3),
∴,解得:,∴直线l2的函数表达式为:y=2x+1.
(3)已知点M为直线l1上一动点,过点M作MN∥y轴交直线l2于点N.设点M的横坐标为m,当MN=4时,求出点N的坐标.
【解析】(3)由题意得M的坐标为(m,-m+4),N的坐标为(m,2m+1),
∵MN=4,MN∥y轴,∴|-m+4-(2m+1)|=4,解得:m1=-,m2=,
∴N的坐标为(-,)或(,).
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、应用意识)阅读下列材料,并完成任务.
以方程x-y=-2的解为坐标的点的全体叫做方程x-y=-2的图象.我们知道,二元一次方程x-y=-2有无数组解,我们把每一组解用有序数对(x,y)表示,就可以描出无数个以方程x-y=-2的解为坐标的点,这无数个点组成一条直线,反过来,这条直线上任意一点的坐标是方程x-y=-2的解.
任务一:填空
(1)如图1,在平面直角坐标系中,点M是方程x-y=-2的图象上一点,点M的坐标为(-3.5,-1.5),则 是 方程x-y=-2的解.(填“是”或“不是”)
(2)①在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-0.5,1.5),则点P 在 方程x-y=-2的图象上.(填“在”或“不在”)
②点Q的坐标为(1,2),则点Q 不在 方程x-y=-2的图象上.(填“在”或“不在”)
任务二:如图2,在平面直角坐标系中,方程x-y=-2的图象与方程3x-y=0的图象交于点N(1,3),则二元一次方程组的解为 .
任务三:上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程,主要体现的数学思想是 B .(填下列选项的字母代号即可)
A.转化思想 B.数形结合思想 C.方程思想
【解析】任务一:(1)在平面直角坐标系中,点M是方程x-y=-2的图象上一点,点M的坐标为(-3.5,-1.5),则方程是方程x-y=-2的解.
(2)①在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-0.5,1.5),-0.5-1.5=-2,则点P在方程x-y=-2的图象上.②点Q的坐标为(1,2),1-2=-1,则点Q不在方程x-y=-2的图象上.
任务二:如题图2,在平面直角坐标系中,方程x-y=-2的图象与方程3x-y=0的图象交于点N(1,3),则二元一次方程组的解为.
任务三:上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程,主要体现的数学思想是数形结合思想.
