平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形中有关线段和角的计算
1.如图,在 ABCD中,连结AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=(C)
A.80° B.100° C.120° D.140°
2.(2023·贵州中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交DA,DC于E,F两点;②分别以点E,F为圆心,以大于EF长为半径画弧,两弧交于点P;③连结DP并延长交BC于点G.则BG的长是(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2024·乐山质检)将∠ABC及 EFGH按如图所示摆放,点H、G在边AB上,点F在边BC上,若∠ABC=50°,∠HEF=110°,则∠BFG的度数为(C)
A.80° B.70° C.60° D.50°
知识点2 平行四边形中的有关证明
4.(2024·宜宾期末)如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=AD,AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAF=∠ACE,
∵AE⊥BC,DF⊥AC,∴∠AEC=∠AFD=90°,
在△ADF和△CAE中,,
∴△ADF≌△CAE(A.A.S.),∴DF=AE.
5.(2023·南充中考)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF和△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE(A.S.A.),
∴AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF;
(2)∵△ADF≌△CBE,∴∠AFD=∠CEB,∴BE∥DF.
知识点3 平行线间的距离
6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是(C)
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,DE∥BC,点A到DE的距离是1,求DE与BC的距离.
【解析】∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC===5,
∴点A到BC的距离为=,∵DE∥BC,∴DE与BC的距离是-1=.
【B层 能力进阶】
8.(2023·随州中考)如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是(D)
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
9.(2024·眉山期末)如图,在 ABCD中,AD∶AB=3∶4,AE平分∠DAB交CD于点E,交BD于点F,则的值是(A)
A.3∶4 B.9∶16
C.4∶3 D.16∶9
10.如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= 50 °.
11.如图, ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是 (4,2) .
12.(2024·泸州期末)如图,在 ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3,
EB=5,DE=4.
(1)求证:DE⊥EA;
(2)求CE的长.
【解析】(1)∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠BEC=∠DCE,
∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE=5,∴AD=5,∵EA=3,ED=4,32+42=52,
∴EA2+ED2=AD2,∴△ADE是直角三角形,且∠DEA=90°,即DE⊥EA.
(2)由(1)可知,∠DEA=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠CDE=∠DEA=90°,CD=AB=AE+EB=3+5=8,在Rt△EDC中,由勾股定理得,CE===4,即CE的长为4.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC、∠BCD的平分线交于P,且分别与AD交于E、F,
(1)求证:△BPC为直角三角形;
(2)若BC=16,CD=3,PE=8,求△PEF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵∠ABC、∠BCD的平分线交于P,∴∠PBC=∠ABC,∠BCP=∠BCD,
∴∠PBC+∠BCP=(∠ABC+∠BCD)=90°,∴∠BPC=90°,即△BPC为直角三角形.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥CB,AB=CD,
∴∠CBE=∠BEA,∠BCF=∠CFD,∴∠ABE=∠BEA,∠DCF=∠CFD,
∴AB=AE=3,CD=DF=3,∴EF=10,∴Rt△PEF中,PE=8,EF=10,
∴PF=6,∴S△PEF=PE·PF=24.平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形中有关线段和角的计算
1.如图,在 ABCD中,连结AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
2.(2023·贵州中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交DA,DC于E,F两点;②分别以点E,F为圆心,以大于EF长为半径画弧,两弧交于点P;③连结DP并延长交BC于点G.则BG的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2024·乐山质检)将∠ABC及 EFGH按如图所示摆放,点H、G在边AB上,点F在边BC上,若∠ABC=50°,∠HEF=110°,则∠BFG的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
知识点2 平行四边形中的有关证明
4.(2024·宜宾期末)如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=AD,AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AE=DF.
5.(2023·南充中考)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
知识点3 平行线间的距离
6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是( )
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,DE∥BC,点A到DE的距离是1,求DE与BC的距离.
【B层 能力进阶】
8.(2023·随州中考)如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
9.(2024·眉山期末)如图,在 ABCD中,AD∶AB=3∶4,AE平分∠DAB交CD于点E,交BD于点F,则的值是( )
A.3∶4 B.9∶16
C.4∶3 D.16∶9
10.如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °.
11.如图, ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是 .
12.(2024·泸州期末)如图,在 ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3,
EB=5,DE=4.
(1)求证:DE⊥EA;
(2)求CE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC、∠BCD的平分线交于P,且分别与AD交于E、F,
(1)求证:△BPC为直角三角形;
(2)若BC=16,CD=3,PE=8,求△PEF的面积.平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.(2023·成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.如果平行四边形一边长为10 cm,那么它的两条对角线的长度可以是( )
A.6 cm、8 cm B.6 cm、10 cm
C.8 cm、12 cm D.20 cm、30 cm
3.如图,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.
求证:BE=DF.
知识点2 平行四边形的周长和面积
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长为( )
A.12 B.9 C.8 D.6
5.(2024·宜宾期末)平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,若一边上的高为4,则该平行四边形的面积为( )
A.20 B.16 C.15 D.12
6.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AD=12 cm,CD=10 cm,则△AOD的周长比△OCD的周长多 2 cm.
7.如图,在 ABCD中,AB=5,BC=8,∠ABC的平分线交AD于点E,连结CE.若CE⊥AD,则 ABCD的面积为 .
【B层 能力进阶】
8.(2024·河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连结BM并延长交AE于点D,连结CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(② ).
∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为( )
A.∠1=∠3,A.A.S.
B.∠1=∠3,A.S.A.
C.∠2=∠3,A.A.S.
D.∠2=∠3,A.S.A.
9.(2024·广安期末)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,
AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.48
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若AC=2AB,
∠BAO=94°,则∠AOD的度数为( )
A.157° B.147° C.137° D.127°
11.如图,已知 ABCD的周长为18,对角线AC和BD相交于点O,AC⊥BC,若AC=3,S△AOD= .
12.如图,EF过 ABCD对角线交点O,分别交AD,BC于点E,F,若 ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 .
13.(2024·南充质检)如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,已知CD=3,AC=4,BD=2.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)过点A作AE⊥BC于点E,求AE.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、运算能力)如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE∥DG,BE=DG;
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积.平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.(2023·成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.如果平行四边形一边长为10 cm,那么它的两条对角线的长度可以是(D)
A.6 cm、8 cm B.6 cm、10 cm
C.8 cm、12 cm D.20 cm、30 cm
3.如图,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.
求证:BE=DF.
【证明】连结AC交BD于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=DO,∵AM∥CN,∴∠EAC=∠FCA,
在△AEO和△CFO中,,∴△AEO≌△CFO(A.S.A.),
∴OE=OF,∴BO-OE=DO-OF,∴BE=DF.
知识点2 平行四边形的周长和面积
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长为(D)
A.12 B.9 C.8 D.6
5.(2024·宜宾期末)平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,若一边上的高为4,则该平行四边形的面积为(D)
A.20 B.16 C.15 D.12
6.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AD=12 cm,CD=10 cm,则△AOD的周长比△OCD的周长多 2 cm.
7.如图,在 ABCD中,AB=5,BC=8,∠ABC的平分线交AD于点E,连结CE.若CE⊥AD,则 ABCD的面积为 32 .
【B层 能力进阶】
8.(2024·河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连结BM并延长交AE于点D,连结CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(② ).
∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为(D)
A.∠1=∠3,A.A.S.
B.∠1=∠3,A.S.A.
C.∠2=∠3,A.A.S.
D.∠2=∠3,A.S.A.
9.(2024·广安期末)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,
AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为(D)
A.24 B.36 C.40 D.48
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若AC=2AB,
∠BAO=94°,则∠AOD的度数为(C)
A.157° B.147° C.137° D.127°
11.如图,已知 ABCD的周长为18,对角线AC和BD相交于点O,AC⊥BC,若AC=3,S△AOD= 3 .
12.如图,EF过 ABCD对角线交点O,分别交AD,BC于点E,F,若 ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 12 .
13.(2024·南充质检)如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,已知CD=3,AC=4,BD=2.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)过点A作AE⊥BC于点E,求AE.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=AC=2,AB=CD=3,OB=OD=BD=,∴AB2+OA2=OB2,
∴∠BAO=90°,∴AB⊥AC;
(2)∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC==5,∵AE⊥BC于E,
∴S△ABC=BC·AE=AB·AC,∴AE===.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、运算能力)如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE∥DG,BE=DG;
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,AD∥BC,AD=BC,∴∠DAC=∠BCA,
∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,∴∠ADG=∠CBE,
在△ADG和△CBE中,,∴△ADG≌△CBE(A.S.A.),
∴DG=BE,∠AGD=∠CEB,∴∠DGC=∠BEG,∴BE∥DG.
(2)过E点作EH⊥BC于H,
又∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,∴EH=EF=6,
∵ ABCD的周长为56,∴AB+BC=28,
∴S△ABC=AB·EF+BC·EH=EF(AB+BC)=×6×28=84.
