平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
(2)连结AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
(3)连结DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
2.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.OA=AC,OB=BD
B.AB=CD,AO=OC
C.AB∥CD,∠DAC=∠BCA
D.AB=CD,BC=AD
3.如图,在 ABCD中,连结BD,取BD中点O,过点O作直线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)连结BE,DF,试说明四边形BFDE是平行四边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4.(2024·泸州期末)下列说法正确的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角互补
C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线平分每一组对角
5.在四边形ABCD中,∠A=65°,若使其为平行四边形,则∠B= , ∠C= , ∠D= .
6.如图,AB∥CD,∠A=∠C,求证:AD=BC.
【B层 能力进阶】
7.(2024·乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
8.如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD所在直线上的点,AC,EF交于点O,请你添加一个条件,使四边形AECF是平行四边形,下列选项中不能推断四边形AECF是平行四边形的是( )
A.AE=CF B.EO=FO
C.AE∥CF D.AF=EC
9.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则此平行四边形的周长为 .
10.已知,如图,四边形ABCD,AC,BD交于点O,请从给定的四个条件:
①AB=CD;
②AD∥BC;
③∠BAD=∠BCD;
④BO=DO中选择两个,使得构成的四边形可判定为平行四边形,你的选择是 .(填序号)
11.(2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连结AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、推理能力)(2024·成都期末)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连结AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形;
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.(2024·泸州期末)小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带的碎玻璃编号是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
2.如图,在平行四边形ABCD中,AE∥CF,求证:BE=DF.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AD=BC,且AB=CD,S△AOB=5,则四边形ABCD的面积为 .
4.如图,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,作△BDC关于BC的对称图形△BEC.求证:四边形ABEC是平行四边形.
知识点3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.(2024·厦门期末)依据所标数据,下列图形一定为平行四边形的是( )
6.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是 .
【B层 能力进阶】
7.(2023·衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BC B.AB∥DC
C.AB=DC D.∠A=∠C
8.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是( )
A.32 B.24 C.16 D.8
9.(2023·宜昌中考)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 .
10.(2023·无锡中考)如图,△ABC 中,点D,E分别为AB,AC的中点,延长DE到点F,使得EF=DE,连结CF.求证:
(1)△CEF≌△AED;
(2)四边形DBCF是平行四边形.
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,AB∥CD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,交AD于E,BC-AB=2,求DE的长.
12. (2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,
.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形.
(1)证明:四边形AEFD是平行四边形;
(2)求∠DFE的度数.平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.(2024·泸州期末)小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带的碎玻璃编号是(B)
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
2.如图,在平行四边形ABCD中,AE∥CF,求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴AF∥CE,
∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,
∴CE=AF,∴BE=DF.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AD=BC,且AB=CD,S△AOB=5,则四边形ABCD的面积为 20 .
4.如图,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,作△BDC关于BC的对称图形△BEC.求证:四边形ABEC是平行四边形.
【证明】∵∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(A.A.S.),∴AB=DC,AC=DB,
∵△BDC与△BEC关于BC对称,∴CE=CD,BE=BD,∴AC=BE,AB=CE,
∴四边形ABEC是平行四边形.
知识点3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.(2024·厦门期末)依据所标数据,下列图形一定为平行四边形的是(C)
6.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是 AE=CF(答案不唯一) .
【B层 能力进阶】
7.(2023·衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.AD=BC B.AB∥DC
C.AB=DC D.∠A=∠C
8.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是(C)
A.32 B.24 C.16 D.8
9.(2023·宜昌中考)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 16 .
10.(2023·无锡中考)如图,△ABC 中,点D,E分别为AB,AC的中点,延长DE到点F,使得EF=DE,连结CF.求证:
(1)△CEF≌△AED;
(2)四边形DBCF是平行四边形.
【证明】(1)∵点D,E分别为AB,AC的中点,
∴AE=CE,DE∥BC,
在△CEF和△AED中,,
∴△CEF≌△AED(S.A.S.);
(2)由(1)证得△CEF≌△AED,
∴∠A=∠FCE,∴BD∥CF,∵DF∥BC,
∴四边形DBCF是平行四边形.
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,AB∥CD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,交AD于E,BC-AB=2,求DE的长.
【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,
在△ABO和△CDO中,,
∴△ABO≌△CDO(A.S.A.),∴AB=CD,∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,AD=BC,∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∴DE=AD-AE=BC-AB,∵BC-AB=2,∴DE=2.
12. (2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,
.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【解析】(1)选择①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
答案:①或②
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,∴DE=BC=10,∵AD⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE===6,即线段AE的长为6.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形.
(1)证明:四边形AEFD是平行四边形;
(2)求∠DFE的度数.
【解析】(1)如题图,∵△ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形,
∴DB=AB=AD,BF=BC=FC,EC=AC=AE,∠ABD=∠CBF=∠ACE=∠BCF=60°,
∴∠DBF=∠ABC=60°-∠ABF,∠ECF=∠ACB=60°-∠ACF,
在△DBF和△ABC中,,∴△DBF≌△ABC(S.A.S.),
∴DF=AC,∴DF=AE,
在△EFC和△ABC中,,∴△EFC≌△ABC(S.A.S.),
∴EF=AB,∴EF=AD,∴四边形AEFD是平行四边形;
(2)∵AB=3,AC=4,BC=5,∴AB2+AC2=32+42=25,BC2=52=25,
∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°,
∵∠BAD=∠CAE=60°,∴∠DAE=360°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=150°,
∵四边形AEFD是平行四边形,∴∠DFE=∠DAE=150°,∴∠DFE的度数是150°.平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
(2)连结AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
(3)连结DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(C)
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
2.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A.OA=AC,OB=BD
B.AB=CD,AO=OC
C.AB∥CD,∠DAC=∠BCA
D.AB=CD,BC=AD
3.如图,在 ABCD中,连结BD,取BD中点O,过点O作直线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)连结BE,DF,试说明四边形BFDE是平行四边形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB,
∵O为BD的中点,∴OD=OB,
在△OED和△OFB中,,
∴△OED≌△OFB(A.A.S.),∴OE=OF.
(2)由(1)得OE=OF,又∵OD=OB,∴四边形BFDE是平行四边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4.(2024·泸州期末)下列说法正确的是(C)
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角互补
C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线平分每一组对角
5.在四边形ABCD中,∠A=65°,若使其为平行四边形,则∠B= 115° , ∠C= 65° , ∠D= 115° .
6.如图,AB∥CD,∠A=∠C,求证:AD=BC.
【证明】∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°,又∵∠A=∠C,∴∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
【B层 能力进阶】
7.(2024·乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
8.如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD所在直线上的点,AC,EF交于点O,请你添加一个条件,使四边形AECF是平行四边形,下列选项中不能推断四边形AECF是平行四边形的是(A)
A.AE=CF B.EO=FO
C.AE∥CF D.AF=EC
9.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则此平行四边形的周长为 36或32或28 .
10.已知,如图,四边形ABCD,AC,BD交于点O,请从给定的四个条件:
①AB=CD;
②AD∥BC;
③∠BAD=∠BCD;
④BO=DO中选择两个,使得构成的四边形可判定为平行四边形,你的选择是 ②③或②④ .(填序号)
11.(2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连结AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,∴EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形;
(2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2,∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△CEF=S△AEF=2,又∵EO=FO,∴△CFO的面积为1.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、推理能力)(2024·成都期末)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连结AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形;
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=CD;
(2)由(1)知BE=AB,∵BF平分∠ABE,∴AF=EF,
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(A.S.A.),∴DF=CF,又∵AF=EF,
∴四边形ACED是平行四边形;
(3)由(1)知BE=AB,又∵∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形,∴AB=AE=4,∵BF⊥AE,∴AF=EF=AE=2,
在Rt△ABF中,由勾股定理得,BF===2,
∵∠DAE=∠AEB,AF=EF,∠AFD=∠CFE,∴△ADF≌△ECF(A.S.A.),
∴S ABCD=S△ABE=×AE×BF=×4×2=4.
