矩形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形的判定
1.(2024·成都模拟)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是(B)
A.AC⊥BD B.OA=OB
C.AB=BC D.∠ABD=∠DBC
2.下列各图中,是矩形的是(D)
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动,3秒后四边形ABPD是矩形.
4.(2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
【解析】(1)当∠1=∠2时, ABCD为矩形.
答案:①(或②答案不唯一)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,
∴∠A+∠D=180°,
在△ABM和△DCM中,,
∴△ABM≌△DCM(S.A.S.),∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形.
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连结BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
【证明】(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,
又∵E为AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC(A.A.S.),
∴AF=DC,又∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD;
(2)∵AF=BD,AF∥BD,∴四边形ADBF是平行四边形,
∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴四边形ADBF是矩形.
知识点2 矩形的判定和性质的综合应用
6.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于(C)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
7.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)选择①,
∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
选择②,
∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
(2) ∵∠ABC=90°,AB=3,AC=5,∴BC==4,
∴S四边形ABCD=AB·BC=3×4=12.
【B层 能力进阶】
8.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是(C)
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
9.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连结EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是(D)
A.AB=BE B.CE⊥DE
C.∠ADB=90° D.BE⊥AB
10.(2024·攀枝花期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,点D是BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连结MN,则线段MN的最小值为 .
11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,
∠OAD=50°,则∠OAB的度数为 40° .
12.(2023·贵州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连结BE,则可证明BE⊥CD. 小红:由题目的已知条件,若连结CE,则可证明CE=DE.
(1)请你选择一位同学的说法,并进行证明;
(2)连结AD,若AD=5,=,求AC的长.
【解析】(1)小星:
∵AE∥BD,DE∥BA,∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,∵BD=BC,∴AE=BC,∵AE∥BC,
∴四边形AEBC是平行四边形,∵∠C=90°,
∴四边形AEBC是矩形,∴∠EBC=90°,∴BE⊥CD;
小红:
∵AE∥BD,DE∥BA,∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,AB=DE,又∵AE∥BD,∴∠EAC=∠BCA,
在△ABC和△CEA中,∴△ABC≌△CEA(S.A.S.),
∴AB=CE,DE=CE.
(2)∵=,
∴设CB=2k,AC=3k,∴CD=4k,∵AC2+DC2=AD2,
∴(3k)2+(4k)2=(5)2,∴k=,∴AC=3.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 说明理由.
【解析】(1)如图,∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,∴∠2=∠5,∠4=∠6,∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF;
(2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=12,CF=5,∴EF===13,∴OC=EF=;
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,
理由如下:当O为AC的中点时,AO=OC,
∵OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.矩形的性质
【A层 基础夯实】
知识点 矩形的性质
1.(2024·遂宁质检)下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是( )
A.对边相等 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对边平行
2.如图,AC与BD是矩形ABCD的对角线,延长BC至点E,使得BE=AC,连结DE,若∠E=70°,则∠ADB的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
3.(2024·成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
4.(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作矩形AEFG.若∠BAE=40°,
∠CEF=10°,则∠D的度数为 .
6.已知矩形的一边长为6 cm,一条对角线的长为10 cm,则矩形的面积为
cm2.
7.如图所示,在矩形ABCD中,A(-3,1),B(0,1),C(0,2),则点D的坐标是 .
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F.求证:AE=DF.
9.(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
【B层 能力进阶】
10.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,如果BO=BE,那么∠BOE的度数为( )
A.55° B.65° C.75° D.67.5°
11.(2023·宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道( )
A.△ABE的面积 B.△ACD的面积
C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积
12.已知矩形ABCD,AB=5,∠B,∠C的平分线分别交AD于点E,F,且EF=2,则矩形的周长为( )
A.34或26 B.24或34
C.36或26 D.36或24
13.(2024·宜宾质检)如图,在矩形ABCD中,点E,F均在对角线BD上,AE=ED,FG∥AE交边BC于点G.若∠AED=110°,则∠FGC的度数为 .
14.(2023·内江中考)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一,如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG= .
15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力)如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连结CG,BG,DG.
(1)求证:△DCG≌△BEG;
(2)你能求出∠BDG的度数吗 若能,请写出计算过程;若不能,请说明理由.矩形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形的判定
1.(2024·成都模拟)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是( )
A.AC⊥BD B.OA=OB
C.AB=BC D.∠ABD=∠DBC
2.下列各图中,是矩形的是( )
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动, 秒后四边形ABPD是矩形.
4.(2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连结BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
知识点2 矩形的判定和性质的综合应用
6.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
7.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
8.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
9.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连结EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BE B.CE⊥DE
C.∠ADB=90° D.BE⊥AB
10.(2024·攀枝花期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,点D是BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连结MN,则线段MN的最小值为 .
11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,
∠OAD=50°,则∠OAB的度数为 .
12.(2023·贵州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连结BE,则可证明BE⊥CD. 小红:由题目的已知条件,若连结CE,则可证明CE=DE.
(1)请你选择一位同学的说法,并进行证明;
(2)连结AD,若AD=5,=,求AC的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 说明理由.矩形的性质
【A层 基础夯实】
知识点 矩形的性质
1.(2024·遂宁质检)下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)
A.对边相等 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对边平行
2.如图,AC与BD是矩形ABCD的对角线,延长BC至点E,使得BE=AC,连结DE,若∠E=70°,则∠ADB的度数为(B)
A.30° B.40° C.50° D.70°
3.(2024·成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
4.(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)
A.6 B.5 C.4 D.3
5.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作矩形AEFG.若∠BAE=40°,
∠CEF=10°,则∠D的度数为 60° .
6.已知矩形的一边长为6 cm,一条对角线的长为10 cm,则矩形的面积为
48 cm2.
7.如图所示,在矩形ABCD中,A(-3,1),B(0,1),C(0,2),则点D的坐标是 (-3,2) .
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F.求证:AE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC=OB=OD,
∵AE⊥BD,DF⊥AC,∴∠AEO=∠DFO=90°,在△AOE和△DOF中,
,∴△AOE≌△DOF(A.A.S.),∴AE=DF.
9.(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
【证明】∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF.即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,,∴△ABF≌△DCE(S.A.S.),∴AF=DE.
【B层 能力进阶】
10.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,如果BO=BE,那么∠BOE的度数为(C)
A.55° B.65° C.75° D.67.5°
11.(2023·宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道(C)
A.△ABE的面积 B.△ACD的面积
C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积
12.已知矩形ABCD,AB=5,∠B,∠C的平分线分别交AD于点E,F,且EF=2,则矩形的周长为(A)
A.34或26 B.24或34
C.36或26 D.36或24
13.(2024·宜宾质检)如图,在矩形ABCD中,点E,F均在对角线BD上,AE=ED,FG∥AE交边BC于点G.若∠AED=110°,则∠FGC的度数为 145° .
14.(2023·内江中考)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一,如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG= .
15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴OC=AC,OD=BD,AC=BD,
∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC,∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,
∴∠CDF=∠DCF,∴DF=CF;
(2)由(1)可知,DF=CF,∵∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,∴CD=DF=6,
∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,∴△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=6,∴BD=2OD=12,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,
∴BC===6,∴S矩形ABCD=BC·CD=6×6=36.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力)如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连结CG,BG,DG.
(1)求证:△DCG≌△BEG;
(2)你能求出∠BDG的度数吗 若能,请写出计算过程;若不能,请说明理由.
【解析】(1)∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE,∠AEB=45°,
∵AB=CD,
∴BE=CD,
∵∠CEF=∠AEB=45°,∠ECF=90°,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∵点G为EF的中点,
∴CG=EG,∠FCG=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°,
在△DCG和△BEG中,
,
∴△DCG≌△BEG(S.A.S.).
(2)∵△DCG≌△BEG,
∴∠DGC=∠BGE,DG=BG,
∴∠BGD=∠EGC=90°,
∴∠BDG=45°.
