菱形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的判定
1.如图,在△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,DF∥AC.增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是(A)
A.点D在∠BAC的平分线上
B.AB=AC
C.点D为BC的中点
D.∠A=90°
2.(2024·南充期末)在数学活动课上,为探究四边形瓷砖是否为菱形,以下拟定的测量方案,正确的是(D)
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直
D.测量四条边是否相等
3.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: AD∥BC(答案不唯一,还可以添加AB=CD或OB=OD 或∠ADB=∠CBD等) ,使四边形ABCD成为菱形.
4.(2023·永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
【解析】(1)△AOB是直角三角形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=OD=BD=4,
∵OA=3,OB=4,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°;
(2)由(1)可知,∠AOB=90°,∴AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
5.(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF≌△DOE;
(2)连结BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠EDO=∠FBO,
∵点O是BD的中点,∴DO=BO,
又∵∠EOD=∠FOB,
∴△BOF≌△DOE(A.S.A.);
(2)由(1)已证△BOF≌△DOE,∴BF=DE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,即DE∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形.
知识点2 菱形的性质与判定的综合应用
6.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连结MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=(A)
A.40° B.50° C.60° D.140°
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=EH.
(1)求证:四边形EBFC是菱形;
(2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF的度数.
【解析】(1)∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=HC.
∵FH=EH,∴四边形EBFC是平行四边形,
又∵AH⊥BC,∴四边形EBFC是菱形;
(2)∵四边形EBFC是菱形,∴∠ECB=∠FCB=∠ECF.
∵AB=AC,AH⊥CB,∴∠CAH=∠BAC.
∵∠BAC=∠ECF,∴∠CAH=∠FCB,
∵AH⊥CB,∴∠CAH+∠ACH=90°.∴∠FCB+∠ACH=90°.∴∠ACF=90°.
【B层 能力进阶】
8.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长BA到E,使AE=AB,连结AC,DE,AD,CE,AD与CE相交于点O,添加下列条件不能使四边形ACDE成为菱形的是(B)
A.∠B=∠BCA B.∠DEA=60°
C.OD2+OE2=AC2 D.CE⊥BC
9.(2024·内江期末)如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为(C)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
10.如图,四边形ABCD的对角线相交于O,且点O是BD的中点,AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 24 .
11.(2023·随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
【解析】(1)∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AC=BD,OC=AC,OD=BD,
∴OC=OD,∴四边形OCED是菱形;
(2)∵四边形ABCD是矩形,BC=3,DC=2,
∴OA=OB=OC=OD,S矩形ABCD=3×2=6,
∴S△OCD=S矩形ABCD=×6=1.5,
∵四边形OCED是菱形,
∴菱形OCED的面积=2S△OCD=2×1.5=3.
【C层 创新挑战(选做)】
12.已知四边形ABCD中,BC=CD,连结BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连结DE.
(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形;
(2)如图2,连结AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
(i)求∠CED的大小;
(ii)若AF=AE,求证:BE=CF.
【解析】(1)设CE与BD交于点O,∵CB=CD,CE⊥BD,
∴DO=BO,∵DE∥BC,∴∠DEO=∠BCO,
∵∠DOE=∠BOC,∴△DOE≌△BOC(A.A.S.),
∴DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵CD=CB,∴ BCDE是菱形;
(2)(i)∵DE垂直平分AC,∴AE=EC且DE⊥AC,∴∠AED=∠CED,又∵CD=CB且CE⊥BD,∴CE垂直平分DB,∴DE=BE,∴∠DEC=∠BEC,∴∠AED=∠CED=
∠BEC,又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,∴∠CED=×180°=60°;
(ii)由(i)得AE=EC,又∵∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,
∴∠ACE=30°,同理可得,在等腰△DEB中,∠EBD=30°,∴∠ACE=∠ABF=30°,
在△ACE和△ABF中,,∴△ACE≌△ABF(A.A.S.),∴AC=AB,
又∵AE=AF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.菱形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的性质
1.(2023·湘潭中考)如图,在菱形ABCD中,连结AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.20° B.60° C.70° D.80°
2.(2024·无锡模拟)如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则
∠BAE= °.
3.在菱形ABCD中,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠CAD,分别交OD,CD于F,E两点,求∠AFO的度数.
4.(2024·广安中考)如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.
知识点2 菱形性质的实际应用
5.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.
6.如图,重叠在一起的菱形硬纸板ABCD和等边三角形硬纸板AEF的边长相等,且等边三角形硬纸板AEF的顶点E,F恰好落在菱形硬纸板的两边上.你能算出
∠C的度数吗
【B层 能力进阶】
7.(2024·内江期末)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AB,垂足为E.若AB=5,BD=6,则DE的长是( )
A. B. C. D.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,A,B两点的坐标分别是(2,2),(-1,-),点D在第一象限,则点D的坐标是( )
A.(6,2) B.(8,2)
C.(6,) D.(8,)
9.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是( )
A.2 B. C.1.5 D.
10.(2023·陕西中考)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连结AE,则∠BAE的度数为 .
11.(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AC到E,使CE=CO,连结EB,ED.
(1)求证:EB=ED;
(2)过点A作AF⊥AD,交BC于点G,交EB于点F,若∠AEB=45°,试判断△ABF的形状,并加以证明.菱形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的性质
1.(2023·湘潭中考)如图,在菱形ABCD中,连结AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)
A.20° B.60° C.70° D.80°
2.(2024·无锡模拟)如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则
∠BAE= 115 °.
3.在菱形ABCD中,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠CAD,分别交OD,CD于F,E两点,求∠AFO的度数.
【解析】∵在菱形ABCD中,∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,
∵对角线AC,BD相交于点O,∴∠BAC=∠CAD=30°,∠DOA=90°,
∵AE平分∠CAD,∴∠OAF=15°,∴∠AFO=90°-15°=75°.
4.(2024·广安中考)如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,
∵BE=BF,∴AE=CF,在△DAE和△DCF 中,,
∴△DAE≌△DCF(S.A.S.),∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.
知识点2 菱形性质的实际应用
5.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 60 °.
6.如图,重叠在一起的菱形硬纸板ABCD和等边三角形硬纸板AEF的边长相等,且等边三角形硬纸板AEF的顶点E,F恰好落在菱形硬纸板的两边上.你能算出
∠C的度数吗
【解析】连结AC,设∠BAE=y°,∠B=x°,
∵△AEF是等边三角形,∴∠EAF=60°,
又根据对称性得到AC为∠EAF的平分线,∴∠CAE=30°,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∴∠BCA=∠BAC=(30+y)°,∵AB=AE,∴∠AEB=∠B=x°,
∴在△ABC和△ABE中,根据三角形内角和定理可得方程组
,解得,∴∠B=80°,
∵AB∥CD,∴∠C=180°-∠B=100°.
【B层 能力进阶】
7.(2024·内江期末)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AB,垂足为E.若AB=5,BD=6,则DE的长是(C)
A. B. C. D.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,A,B两点的坐标分别是(2,2),(-1,-),点D在第一象限,则点D的坐标是(B)
A.(6,2) B.(8,2)
C.(6,) D.(8,)
9.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是(A)
A.2 B. C.1.5 D.
10.(2023·陕西中考)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连结AE,则∠BAE的度数为 62° .
11.(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.),∴AE=AF;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=60°,∴∠BAD=120°,∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°,
由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°.
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.∴△AEF是等边三角形.∴∠AEF=60°.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AC到E,使CE=CO,连结EB,ED.
(1)求证:EB=ED;
(2)过点A作AF⊥AD,交BC于点G,交EB于点F,若∠AEB=45°,试判断△ABF的形状,并加以证明.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴EA⊥BD,OB=OD,
∴EA垂直平分线段BD,∴EB=ED;
(2)△ABF是等腰三角形,
理由:
∵∠AEB=45°,EO⊥OB,∴△BOE是等腰直角三角形,
∴∠OBE=∠OEB=45°,∵AF⊥AD,∴AG⊥BC,∴∠AGB=∠BOC=90°,
∴∠GAC+∠ACB=90°,∠ACB+∠OBC=90°,∴∠CAG=∠CBO=∠ABO,
∵∠ABF=∠ABO+∠OBE=∠ABO+45°,∠AFB=∠CAG+∠AEB=∠CAG+45°,
∴∠AFB=∠ABF,∴AB=AF,∴△ABF是等腰三角形.菱形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的判定
1.如图,在△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,DF∥AC.增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是( )
A.点D在∠BAC的平分线上
B.AB=AC
C.点D为BC的中点
D.∠A=90°
2.(2024·南充期末)在数学活动课上,为探究四边形瓷砖是否为菱形,以下拟定的测量方案,正确的是( )
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直
D.测量四条边是否相等
3.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: ,使四边形ABCD成为菱形.
4.(2023·永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
5.(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF≌△DOE;
(2)连结BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
知识点2 菱形的性质与判定的综合应用
6.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连结MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=EH.
(1)求证:四边形EBFC是菱形;
(2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF的度数.
【B层 能力进阶】
8.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长BA到E,使AE=AB,连结AC,DE,AD,CE,AD与CE相交于点O,添加下列条件不能使四边形ACDE成为菱形的是( )
A.∠B=∠BCA B.∠DEA=60°
C.OD2+OE2=AC2 D.CE⊥BC
9.(2024·内江期末)如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
10.如图,四边形ABCD的对角线相交于O,且点O是BD的中点,AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 .
11.(2023·随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
12.已知四边形ABCD中,BC=CD,连结BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连结DE.
(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形;
(2)如图2,连结AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
(i)求∠CED的大小;
(ii)若AF=AE,求证:BE=CF.
