正方形
【A层 基础夯实】
知识点1 正方形的性质
1.下列说法中,正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直
C.四个角都为直角 D.对角线互相平分
2.(2024·泸州模拟)如图,在正方形ABCD中,点E为边BA延长线上一点,点F在边BC上,且AE=CF,连结DF,EF.若∠FDC=α.则∠AEF=( )
A.90°-2α B.45°-α
C.45°+α D.α
3.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连结DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是( )
A.2 B.2+
C.4-2 D.
4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)若AF=1,求四边形BEDF的面积.
知识点2 正方形的判定
5.(2024·龙东中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使得菱形ABCD为正方形.
6.如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
【B层 能力进阶】
8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连结AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值是( )
A.20 B.25 C.30 D.35
10.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 .
11.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
【C层 创新挑战(选做)】
12.(2024·乐山模拟)如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交线段BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)当点E从A点运动到C点时,∠DCG的大小是否会改变 请说明理由. 正方形
【A层 基础夯实】
知识点1 正方形的性质
1.下列说法中,正方形具有而矩形不具有的性质是(B)
A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直
C.四个角都为直角 D.对角线互相平分
2.(2024·泸州模拟)如图,在正方形ABCD中,点E为边BA延长线上一点,点F在边BC上,且AE=CF,连结DF,EF.若∠FDC=α.则∠AEF=(B)
A.90°-2α B.45°-α
C.45°+α D.α
3.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连结DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是(A)
A.2 B.2+
C.4-2 D.
4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)若AF=1,求四边形BEDF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠A=∠C=90°,
∵AF=CE,∴△ABF≌△CBE(S.A.S.);
(2)∵正方形ABCD的边长为4,AF=1,∴AB=BC=4,CE=AF=1,
∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE=42-×4×1-×4×1=16-2-2=12.
知识点2 正方形的判定
5.(2024·龙东中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 AC=BD(答案不唯一) ,使得菱形ABCD为正方形.
6.如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN的形状是(D)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,
∴EF=AC,∴菱形AECF是正方形.
【B层 能力进阶】
8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连结AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值是(B)
A.20 B.25 C.30 D.35
10.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 (3,10) .
11.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
【解析】(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OC=OA=AC,OB=OD=BD,
∵以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形BPCO为平行四边形;
(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,
∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,∴OB=OC,∵四边形BPCO为平行四边形,
∴四边形BPCO为正方形.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(2024·乐山模拟)如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交线段BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)当点E从A点运动到C点时,∠DCG的大小是否会改变 请说明理由.
【解析】(1)过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,如图,
则∠EPC=∠EQC=90°,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠DCA=∠BCA,∴EQ=EP,四边形CPEQ是正方形,
∴∠PEQ=90°,∵DE⊥EF,∴∠DEF=∠PEQ=90°,
∴∠PEQ-∠PEF=∠DEF-∠PEF,即∠QEF=∠PED,
∴△EQF≌△EPD(A.S.A.),∴EF=ED,∴矩形DEFG是正方形.
(2)∵四边形ABCD,四边形DEFG都是正方形,∴DA=DC,DE=DG,∠ADC=
∠EDG=90°,∠DAC=45°,∴∠ADC-∠CDE=∠EDG-∠CDE,即∠ADE=∠CDG,
∴△ADE≌△CDG(S.A.S.),∴∠DCG=∠DAE=45°,∴∠DCG的大小始终不变.
