第16章 分式（90分钟 100分）
一、选择题(每题3分,共24分)
1.(2024·青岛质检)下列计算正确的是( )
A.(-2)0=-1 B.-23=-8 C.3-1=- D.3-2=-6
2.(2024·杭州模拟)若实数a,b满足=0,则( )
A.a+b>0 B.a-b>0 C.a+b2>0 D.a-b2<0
3.宋·苏轼《赤壁赋》:“寄蜉蝣于天地,渺沧海之一粟.”比喻非常渺小.据测量,200粒粟的重量大约为1克,用科学记数法表示一粒粟的重量约为( )
A.2×102克 B.2×10-2克 C.5×10-2克 D.5×10-3克
4.(2024·西安模拟)计算:3a2b·(-)2=( )
A.-b3 B.ab2 C.b3 D.b3
5.已知x2-x-6=0,则的值是( )
A. B. C. D.1
6.2023年12月8日,济郑高铁山东段开通运营,标志着聊城进入高铁时代.寒假期间,小明和爸爸从聊城出发去某地旅游,已知两地相距约500 km,乘高铁比开小轿车少用3.8 h(假设两种出行方式的总路程相同),高铁的平均速度是小轿车的3倍,设小轿车的平均速度是x km/h,则下列方程中正确的是( )
A.-3=3.8 B.-=3.8 C.-=3.8 D.=3.8-
7.若关于x的分式方程-=2的解为正数,则k的取值范围是( )
A.-2-2且k≠-1 C.k>-2 D.k<2且k≠1
8.(2024·岳阳质检)已知a1=,a2=,a3=,…,an=(n为正整数,且t≠0,1),则用含t的式子表示a1·a2·a3…·a2 021的结果为( )
A.t B.-t C.t+1 D.-(1+t)
二、填空题(每题4分,共24分)
9.(2024·南京模拟)在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
10.已知实数a,b满足(a-2)2+|b+1|=0,则ab= .
11.(2024·扬州质检)如果(x+2)x-5=1,则x的值为 .
12.若关于x的分式方程-=1无解,则m的值为 .
13.定义新运算:a b=+,若a (-b)=2,则的值是 .
14.(2023·娄底中考)若干个同学参加课后社团——舞蹈活动,一次排练中,先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心,r为半径的圆圈(每个同学对应圆周上一个点),又来了两个同学,先到的同学都沿各自所在半径往后移a米,再左右调整位置,使这(n+2)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.这(n+2)个同学排成圆圈后,又有一个同学要加入队伍,重复前面的操作,则每人应往后移 米(请用关于a的代数式表示),才能使得这(n+3)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等.
三、解答题(共52分)
15.(6分)(1)计算:(x-1-y-1)÷(x-2-y-2)(结果用不含负整数指数幂的形式表示).
(2)解方程:-1=.
16.(8分)(2024·乐山中考)先化简,再求值:-,其中x=3.小乐同学的计算过程如下:
解:-=-…①
=-…②
=…③
=…④
=…⑤
当x=3时,原式=1.
(1)小乐同学的解答过程中,第 步开始出现了错误;
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
17.(8分)(2023·盐城中考)课堂上,老师提出了下面的问题:
已知3a>b>0,M=,N=,试比较M与N的大小.
小华:整式的大小比较可采用“作差法”.
老师:比较x2+1与2x-1的大小.
小华:∵(x2+1)-(2x-1)=x2+1-2x+1=(x-1)2+1>0,
∴x2+1>2x-1.
老师:分式的大小比较能用“作差法”吗
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.
(2)比较大小: .(填“>”“=”或“<”)
18.(8分)先化简,再求值: (+a-3)÷-,其中a为不等式组的整数解.
19.(10分)(2024·重庆模拟)某工厂制作甲、乙两种窗户边框,已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个,且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料.
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米,要求制作乙种边框的数量等于制作甲种边框数量的2倍,求应安排多少米材料制作甲种边框.(不计材料损耗)
20.(12分)阅读下面材料,解答后面的问题.
解方程:-=0.
解:设y=,则原方程化为:y-=0,方程两边同时乘y得:y2-4=0,解得:y=±2,
经检验:y=±2都是方程y-=0的解,
∴当y=2时,=2,解得:x=-1,
当y=-2时,=-2,解得:x=,经检验:x=-1和x=都是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程-=0中,设y=,则原方程可化为: ;
(2)利用上述方法解方程:-=0;
(3)模仿上述换元法解方程组:.
【附加题】(10分)
用数学的眼光观察:
同学们,在学习中,你会发现“x+”与“x-”有着紧密的联系,请你认真观察等式:=x2+2+,=x2-2+.
用数学的思维思考并解决如下问题:
(1)填空: (a+)2-(a-)2= ;
(2)计算:
①若=20,求a-的值;
②若a2+a-1=0,求a+的值;
③已知||-a=1,求||+a的值.第16章 分式（90分钟 100分）
一、选择题(每题3分,共24分)
1.(2024·青岛质检)下列计算正确的是(B)
A.(-2)0=-1 B.-23=-8 C.3-1=- D.3-2=-6
2.(2024·杭州模拟)若实数a,b满足=0,则(C)
A.a+b>0 B.a-b>0 C.a+b2>0 D.a-b2<0
3.宋·苏轼《赤壁赋》:“寄蜉蝣于天地,渺沧海之一粟.”比喻非常渺小.据测量,200粒粟的重量大约为1克,用科学记数法表示一粒粟的重量约为(D)
A.2×102克 B.2×10-2克 C.5×10-2克 D.5×10-3克
4.(2024·西安模拟)计算:3a2b·(-)2=(C)
A.-b3 B.ab2 C.b3 D.b3
5.已知x2-x-6=0,则的值是(B)
A. B. C. D.1
6.2023年12月8日,济郑高铁山东段开通运营,标志着聊城进入高铁时代.寒假期间,小明和爸爸从聊城出发去某地旅游,已知两地相距约500 km,乘高铁比开小轿车少用3.8 h(假设两种出行方式的总路程相同),高铁的平均速度是小轿车的3倍,设小轿车的平均速度是x km/h,则下列方程中正确的是(C)
A.-3=3.8 B.-=3.8 C.-=3.8 D.=3.8-
7.若关于x的分式方程-=2的解为正数,则k的取值范围是(B)
A.-2-2且k≠-1 C.k>-2 D.k<2且k≠1
8.(2024·岳阳质检)已知a1=,a2=,a3=,…,an=(n为正整数,且t≠0,1),则用含t的式子表示a1·a2·a3…·a2 021的结果为(B)
A.t B.-t C.t+1 D.-(1+t)
二、填空题(每题4分,共24分)
9.(2024·南京模拟)在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≠ .
10.已知实数a,b满足(a-2)2+|b+1|=0,则ab= .
11.(2024·扬州质检)如果(x+2)x-5=1,则x的值为 -1或-3或5 .
12.若关于x的分式方程-=1无解,则m的值为 1或-2 .
13.定义新运算:a b=+,若a (-b)=2,则的值是 - .
14.(2023·娄底中考)若干个同学参加课后社团——舞蹈活动,一次排练中,先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心,r为半径的圆圈(每个同学对应圆周上一个点),又来了两个同学,先到的同学都沿各自所在半径往后移a米,再左右调整位置,使这(n+2)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.这(n+2)个同学排成圆圈后,又有一个同学要加入队伍,重复前面的操作,则每人应往后移 米(请用关于a的代数式表示),才能使得这(n+3)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等.
三、解答题(共52分)
15.(6分)(1)计算:(x-1-y-1)÷(x-2-y-2)(结果用不含负整数指数幂的形式表示).
【解析】(1)(x-1-y-1)÷(x-2-y-2)
=(-)÷(-)=÷
=·=.
(2)解方程:-1=.
【解析】(2)去分母得,x-3-(4-x)=-1,
去括号得,x-3-4+x=-1,
解得x=3,
检验:当x=3时,4-x≠0,
∴x=3是原分式方程的解.
16.(8分)(2024·乐山中考)先化简,再求值:-,其中x=3.小乐同学的计算过程如下:
解:-=-…①
=-…②
=…③
=…④
=…⑤
当x=3时,原式=1.
(1)小乐同学的解答过程中,第 步开始出现了错误;
【解析】(1)第③步开始出现了错误,分子应该是2x-x-2.
答案:③
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
【解析】(2)-=-
=-
=
=
=,
当x=3时,原式=.
17.(8分)(2023·盐城中考)课堂上,老师提出了下面的问题:
已知3a>b>0,M=,N=,试比较M与N的大小.
小华:整式的大小比较可采用“作差法”.
老师:比较x2+1与2x-1的大小.
小华:∵(x2+1)-(2x-1)=x2+1-2x+1=(x-1)2+1>0,
∴x2+1>2x-1.
老师:分式的大小比较能用“作差法”吗
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.
【解析】(1)M-N=-===,
∵3a>b>0,∴>0,∴M>N;
(2)比较大小: .(填“>”“=”或“<”)
【解析】(2)∵-=-=-<0,∴<.
答案:<
18.(8分)先化简,再求值: (+a-3)÷-,其中a为不等式组的整数解.
【解析】(+a-3)÷-=÷-
=×-=-=-;
,解a-1≤-2,得,a≤-1,解-2≤-,得,a≥-3.5,
∴-3.5≤a≤-1,∴整数解为-3,-2,-1,
∵a+3≠0且a+1≠0,∴a≠-3且a≠-1,∴a=-2,当a=-2时,原式=-=1.
19.(10分)(2024·重庆模拟)某工厂制作甲、乙两种窗户边框,已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个,且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料.
【解析】(1)设制作每个乙种边框用x米材料,则制作甲种边框用(1+20%)x米材料,
由题意,得-1=,解得x=2,
经检验,x=2是原方程的解,∴(1+20%)x=2.4,
答:制作每个甲种边框用2.4米材料;制作每个乙种边框用2米材料.
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米,要求制作乙种边框的数量等于制作甲种边框数量的2倍,求应安排多少米材料制作甲种边框.(不计材料损耗)
【解析】(2)设应安排制作甲种边框需要a米,则安排制作乙种边框需要(640-a)米,
由题意,得=×2,解得a=240,
答:应安排240米材料制作甲种边框.
20.(12分)阅读下面材料,解答后面的问题.
解方程:-=0.
解:设y=,则原方程化为:y-=0,方程两边同时乘y得:y2-4=0,解得:y=±2,
经检验:y=±2都是方程y-=0的解,
∴当y=2时,=2,解得:x=-1,
当y=-2时,=-2,解得:x=,经检验:x=-1和x=都是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程-=0中,设y=,则原方程可化为: ;
【解析】(1)由题意知,原方程可化为-=0.
答案:-=0
(2)利用上述方法解方程:-=0;
【解析】(2)设y=,则原方程可化为:y-=0,方程两边同时乘y得:y2-1=0,解得:y=±1,
经检验:y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时,=1,该方程无解;当y=-1时,=-1,解得:x=-;
经检验:x=-是原分式方程的解,∴原分式方程的解为x=-.
(3)模仿上述换元法解方程组:.
【解析】(3)设=a,=b,则原方程组可化为,解得,∴.
【附加题】(10分)
用数学的眼光观察:
同学们,在学习中,你会发现“x+”与“x-”有着紧密的联系,请你认真观察等式:=x2+2+,=x2-2+.
用数学的思维思考并解决如下问题:
(1)填空: (a+)2-(a-)2= ;
【解析】(1)-
=a2+2+-(a2-2+)
=a2+2+-a2+2-
=4;
答案:4
(2)计算:
①若=20,求a-的值;
②若a2+a-1=0,求a+的值;
③已知||-a=1,求||+a的值.
【解析】(2)①∵=-4=20-4=16,
∴a-=±4.
②将a2+a-1=0两边都除以a,得a-=-1.
∴=+4=(-1)2+4=5,
∴a+=±.
③当>0时,此时a>0,则||-a=-a=1,得a-=-1,
∵=+4=(-1)2+4=5,
∴a+=±.
∵a>0,
∴a+=;
∴||+a=+a=,
当<0时,此时a<0,则||-a=--a=1,得a+=-1,
∴=-4=(-1)2-4=-3<0,故舍去.
综上, ||+a的值为.
