第17章 函数及其图象（90分钟 100分）
一、选择题(每题3分,共24分)
1.下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1,其中一次函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,-1),则k的值是( )
A.2 B.-2 C. D.-
3.(2023·益阳中考)关于一次函数y=x+1,下列说法正确的是( )
A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与y轴交于点(0,1)
C.函数值y随自变量x的增大而减小 D.当x>-1时,y<0
4.(2023·济南中考)已知点A(-4,y1),B(-2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y35.在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示,则下列结论错误的是( )
A.y1随x的增大而增大 B.bC.当x<2时,y1>y2 D.关于x,y的方程组的解为
6.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+k与反比例函数y=的图象可能是( )
7.(2023·温州中考)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.
【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟.小温游玩路线为①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游玩路线为①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示,在2 100米处,他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为( )
A.4 200米 B.4 800米 C.5 200米 D.5 400米
8.已知在平面直角坐标系中,正比例函数y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数y=(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点A(t,p)和点B(t+2,q)在函数y=k1x的图象上(t≠0且t≠-2),点C(t,m)和点D(t+2,n)在函数y=的图象上.当p-m与q-n的积为负数时,t的取值范围是( )
A.-C.-3二、填空题(每题4分,共24分)
9.(2024·泉州期中)已知点A(2,-3)关于y轴的对称点为(m,n),则m+n= .
10.已知y+1与x-1成正比例,且当x=3时,y=-5,则y与x的函数关系式是 .
11.如图,把直线y=-2x向右平移后得到直线AB,直线AB经过点B(1,0),则直线AB的表达式是 .
12.(2024·湖南中考)在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为 .
13.(2024·重庆期中)如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC,OA分别在x轴,y轴的正半轴上,反比例函数y=(k>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若点D为线段AB的中点,且△ODE的面积是15,则k值是 .
14.一次函数y1=kx+b(k≠0,k,b是常数)与y2=mx+3(m≠0,m是常数)的图象交于点D(1,2),下列结论正确的序号是 .
①关于x的方程kx+b=mx+3的解为x=1;
②一次函数y2=mx+3(m≠0)图象上任意不同两点A(xa,ya)和B(xb,yb)满足:(xa-xb)(ya-yb)<0;
③若|y1-y2|=b-3(b>3),则x=0;
④若b<3,且b≠2,则当x>1时,y1>y2.
三、解答题(共52分)
15.(6分)红红一家人自驾从昆明到丽江游玩,途径一段高速公路,假设汽车在该高速公路上匀速行驶,记行驶时间为t小时,行驶速度为v千米/时.若红红爸爸驾车速度为90千米/时,则6小时可以行驶完该高速公路.
(1)求v与t的函数关系式.
(2)他们是早上7:00驶入该高速公路,中午12:00驶离该高速公路,求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度.
16.(8分)(2024·佛山质检)如图,一次函数l1:y=2x-2的图象与x轴交于点D,一次函数l2:y=kx+b的图象与x轴交于点A,且经过点B(3,1),两条函数图象交于点C(2,2).
(1)求一次函数l2:y=kx+b的表达式;
(2)根据图象,直接写出kx+b>2x-2的解集.
17.(8分)(2024·北京期中)已知:直线m:y=kx+b与y=-x平行,且经过点A(5,0).
(1)求直线m的表达式;
(2)若直线n:y=2x-4与直线m:y=kx+b相交于点C,求点C的坐标;
(3)求直线m,直线n与x轴围成的三角形的面积.
18.(8分)如图,一次函数y1=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y2=(m>0)的图象交于点C(1,2),D(2,n).
(1)分别求出两个函数的表达式;
(2)连结OD,求△BOD的面积.
19.(10分)河南是中华文明和黄河文化的发源地之一,其地域广阔,景色奇特.为了充分挖掘旅游资源,某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包.已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要42元,购进5个太阳帽和3个旅行包需要65元.
(1)求太阳帽、旅行包每个的进价;
(2)该景区的太阳帽售价为6元,旅行包售价为20元.景区计划购进太阳帽和旅行包共500个,且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍,景区该如何设计进货方案,才能使销售完后获得的利润最大 最大利润为多少
20.(12分)如图,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x轴,垂足为A.反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,交AB于点D.已知AB=8,BC=5.
(1)若OA=8,求k的值:
(2)连结OC,若BD=BC,求OC的长.
【附加题】(10分)
综合与实践:
《函数》复习课后,为加深对函数的认识,张老师引导同学们对函数y=的图象与性质进行探究.过程如下,请完成探究过程:
(1)初步感知
函数y=的自变量取值范围是 ;
(2)作出图象
①列表:
x … -6 -5 -4 -3 -2 - - - n - 0 1 2 3 4 …
y … 2 3 4 m 6 -3 -2 -1 0 …
填空:表中m= ,n= ;
②描点,连线:
在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(3)研究性质
小刚观察图象,发现这个图象为双曲线,进一步研究中,小刚将函数y=转化为y=1-,他判断该函数图象就是反比例函数y=-通过某种平移转化而来,反比例函数y=-的图象是中心对称图形,对称中心为(0,0),则函数y=的图象的对称中心为 ;反比例函数y=-的图象是轴对称图形,对称轴为直线y=x和y=-x,则函数y=的图象的对称轴为直线 . 第17章 函数及其图象（90分钟 100分）
一、选择题(每题3分,共24分)
1.下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1,其中一次函数的个数是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,-1),则k的值是(B)
A.2 B.-2 C. D.-
3.(2023·益阳中考)关于一次函数y=x+1,下列说法正确的是(B)
A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与y轴交于点(0,1)
C.函数值y随自变量x的增大而减小 D.当x>-1时,y<0
4.(2023·济南中考)已知点A(-4,y1),B(-2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(C)
A.y35.在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示,则下列结论错误的是(C)
A.y1随x的增大而增大 B.bC.当x<2时,y1>y2 D.关于x,y的方程组的解为
6.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+k与反比例函数y=的图象可能是(A)
7.(2023·温州中考)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.
【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟.小温游玩路线为①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游玩路线为①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示,在2 100米处,他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为(B)
A.4 200米 B.4 800米 C.5 200米 D.5 400米
8.已知在平面直角坐标系中,正比例函数y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数y=(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点A(t,p)和点B(t+2,q)在函数y=k1x的图象上(t≠0且t≠-2),点C(t,m)和点D(t+2,n)在函数y=的图象上.当p-m与q-n的积为负数时,t的取值范围是(D)
A.-C.-3二、填空题(每题4分,共24分)
9.(2024·泉州期中)已知点A(2,-3)关于y轴的对称点为(m,n),则m+n= -5 .
10.已知y+1与x-1成正比例,且当x=3时,y=-5,则y与x的函数关系式是 y=-2x+1 .
11.如图,把直线y=-2x向右平移后得到直线AB,直线AB经过点B(1,0),则直线AB的表达式是 y=-2x+2 .
12.(2024·湖南中考)在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为 180 .
13.(2024·重庆期中)如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC,OA分别在x轴,y轴的正半轴上,反比例函数y=(k>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若点D为线段AB的中点,且△ODE的面积是15,则k值是 20 .
14.一次函数y1=kx+b(k≠0,k,b是常数)与y2=mx+3(m≠0,m是常数)的图象交于点D(1,2),下列结论正确的序号是 ①②④ .
①关于x的方程kx+b=mx+3的解为x=1;
②一次函数y2=mx+3(m≠0)图象上任意不同两点A(xa,ya)和B(xb,yb)满足:(xa-xb)(ya-yb)<0;
③若|y1-y2|=b-3(b>3),则x=0;
④若b<3,且b≠2,则当x>1时,y1>y2.
三、解答题(共52分)
15.(6分)红红一家人自驾从昆明到丽江游玩,途径一段高速公路,假设汽车在该高速公路上匀速行驶,记行驶时间为t小时,行驶速度为v千米/时.若红红爸爸驾车速度为90千米/时,则6小时可以行驶完该高速公路.
(1)求v与t的函数关系式.
【解析】(1)由题意,得:vt=90×6=540,∴v=;
(2)他们是早上7:00驶入该高速公路,中午12:00驶离该高速公路,求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度.
【解析】(2)12:00-7:00=5(小时),∴当t=5时,v==108(千米/时);
答:红红爸爸在该高速公路上的行驶速度为108千米/时.
16.(8分)(2024·佛山质检)如图,一次函数l1:y=2x-2的图象与x轴交于点D,一次函数l2:y=kx+b的图象与x轴交于点A,且经过点B(3,1),两条函数图象交于点C(2,2).
(1)求一次函数l2:y=kx+b的表达式;
【解析】(1)∵一次函数l2:y=kx+b图象经过点B(3,1),C(2,2)
∴,解得.
∴一次函数l2:y=kx+b的表达式是y=-x+4;
(2)根据图象,直接写出kx+b>2x-2的解集.
【解析】(2)由题中图象得一次函数l2:y=kx+b的图象在一次函数l1:y=2x-2的图象上方时,自变量x的取值范围为x<2,
∴不等式kx+b>2x-2的解集是x<2.
17.(8分)(2024·北京期中)已知:直线m:y=kx+b与y=-x平行,且经过点A(5,0).
(1)求直线m的表达式;
【解析】(1)∵直线m:y=kx+b与y=-x平行,∴k=-1,∴y=-x+b,
将A(5,0)代入y=-x+b得,0=-5+b,解得b=5,
∴直线m的表达式为y=-x+5;
(2)若直线n:y=2x-4与直线m:y=kx+b相交于点C,求点C的坐标;
【解析】(2)根据题意得:,解得,则C的坐标是(3,2);
(3)求直线m,直线n与x轴围成的三角形的面积.
【解析】(3)如图所示,
∵直线n:y=2x-4,令y=0,得0=2x-4,解得x=2,∴E(2,0),
∵A(5,0),∴AE=5-2=3,∴S△ACE=×3×2=3,
∴直线m,直线n与x轴围成的三角形面积为3.
18.(8分)如图,一次函数y1=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y2=(m>0)的图象交于点C(1,2),D(2,n).
(1)分别求出两个函数的表达式;
【解析】(1)由y2=过点C(1,2)和D(2,n)可得:,∴m=1×2=2,n=1,
∴y2=,又由y1=kx+b过点C(1,2)和D(2,1)可得:,解得,∴y1=-x+3.
(2)连结OD,求△BOD的面积.
【解析】(2)由y1=-x+3过点B,可知B(0,3),∴OB=3,而点D到y轴的距离为2,∴S△BOD=×3×2=3.
19.(10分)河南是中华文明和黄河文化的发源地之一,其地域广阔,景色奇特.为了充分挖掘旅游资源,某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包.已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要42元,购进5个太阳帽和3个旅行包需要65元.
(1)求太阳帽、旅行包每个的进价;
【解析】(1)设太阳帽每个的进价x元,旅行包每个的进价y元,根据题意,得,解得,
答:太阳帽每个的进价4元,旅行包每个的进价15元.
(2)该景区的太阳帽售价为6元,旅行包售价为20元.景区计划购进太阳帽和旅行包共500个,且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍,景区该如何设计进货方案,才能使销售完后获得的利润最大 最大利润为多少
【解析】(2)设购进旅行包m个,则购进太阳帽(500-m)个,设销售完后获得的利润为w元,
根据题意,得w=(6-4)(500-m)+(20-15)m=3m+1 000,500-m≥1.5m,解得m≤200,
∵w随m的增大而增大,∴当m=200时,w的最大值为3×200+1 000=1 600(元),
答:购进旅行包200个,则购进太阳帽300个,才能使销售完后获得的利润最大,最大利润为1 600元.
20.(12分)如图,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x轴,垂足为A.反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,交AB于点D.已知AB=8,BC=5.
(1)若OA=8,求k的值:
【解析】(1)过点C作CE⊥AB,垂足为点E,
∵AC=BC,AB=8,∴AE=BE=4.
在Rt△BCE中,BC=5,BE=4,∴CE===3,
∵OA=8,∴C点到y轴距离为OA-CE=5,∴C点的坐标为(5,4),
∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,∴k=5×4=20;
(2)连结OC,若BD=BC,求OC的长.
【解析】(2)设A点的坐标为(m,0),∵BD=BC=5,AB=8,∴AD=3,
∵CE=3,AE=4,∴D,C两点的坐标分别为(m,3),(m-3,4).
∵点C,D都在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴3m=4(m-3),∴m=12,
∴C点的坐标为(9,4),∴OC==.
【附加题】(10分)
综合与实践:
《函数》复习课后,为加深对函数的认识,张老师引导同学们对函数y=的图象与性质进行探究.过程如下,请完成探究过程:
(1)初步感知
函数y=的自变量取值范围是 ;
【解析】(1)∵x+1≠0,
∴x≠-1,
故函数y=的自变量取值范围是x≠-1.
答案:x≠-1
(2)作出图象
①列表:
x … -6 -5 -4 -3 -2 - - - n - 0 1 2 3 4 …
y … 2 3 4 m 6 -3 -2 -1 0 …
填空:表中m= ,n= ;
②描点,连线:
在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
【解析】(2)①x=-时,y==5,
∴m=5.
当y=-3时,则-3=,解得x=-,
∴n=-,
答案:5 -
②函数图象如图所示:
(3)研究性质
小刚观察图象,发现这个图象为双曲线,进一步研究中,小刚将函数y=转化为y=1-,他判断该函数图象就是反比例函数y=-通过某种平移转化而来,反比例函数y=-的图象是中心对称图形,对称中心为(0,0),则函数y=的图象的对称中心为 ;反比例函数y=-的图象是轴对称图形,对称轴为直线y=x和y=-x,则函数y=的图象的对称轴为直线 .
【解析】(3)该函数图象就是反比例函数y=-通过某种平移转化而来,反比例函数y=-是中心对称图形,对称中心为(0,0),则函数y=的对称中心为(-1,1);函数y=的图象的对称轴为直线y=-x或y=x+2.
答案:(-1,1) y=-x或y=x+2
