第18章 平行四边形（90分钟 100分）
一、选择题(每题3分,共24分)
1.已知平行四边形的最小角为60°,则该平行四边形的最大角的度数是( )
A.60° B.120° C.135° D.150°
2.如图,在 ABCD中,过点C分别作边AB,AD的垂线CM,CN,垂足分别为M,N,则直线AB与CD的距离是( )
A.CD的长 B.BC的长 C.CM的长 D.CN的长
3.(2024·成都期末)小明是这样画平行四边形的:如图,将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置,这时四边形ABB1A1就是平行四边形.小明这样做的依据是( )
A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.(2024·广元期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列结论不一定成立的是( )
A.AD=BC B.∠DAB=∠BCD C.S△AOB=S△COB D.AC=BD
5.如图,在 ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F,若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为( )
A.20° B.30° C.36° D.40°
6.已知,在 ABCD中,AB=7,AE平分∠DAB交BC所在直线于点E,CE=1,则AD的长为( )
A.6或7或8 B.7或8 C.6或7 D.6或8
7.如图,E,F在平行四边形ABCD的对角线AC上,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=66°,则∠ADE的大小为( )
A.33° B.23° C.22° D.18°
8.(2024·浙江中考)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
二、填空题(每题4分,共24分)
9.如图,E为 ABCD外一点,且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=65°,则∠A的度数为 .
10.平行四边形相邻的两边长为x,y,周长是30,则y与x的函数关系式是 .(不用写出自变量的取值范围)
11.如图,在 ABCD中,AB=2,BF,CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线,交点为点O,EF=1,则OB2+OC2= .
12.如图,在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的动点,已知AB=4,BC=6,现将△ABE沿AE折叠,点B'是点B的对应点,当点B'恰好落在AD边上时,则CE的值为 .
13.如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连结BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连结BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 .
14.(2024·内江质检)如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则 ABCD的周长为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,过△ABC的顶点B作BD∥AC,以B为圆心,AC的长为半径画弧,交BD于点E,连结CE.
(1)请你判断所画的四边形ABEC是平行四边形吗 请说明理由;
(2)若∠ABC=50°,求∠BCE的度数.
16.(8分)(2024·乐山质检)如图,在四边形ABCD中,EF交AC于点O,交CD,AB于点E,F;若OE=OF,OA=OC,且DE=FB.猜想四边形ABCD的形状,并说明理由.
17.(8分)(2024·吉林中考)如图,在 ABCD中,点O是AB的中点,连结CO并延长,交DA的延长线于点E.求证:AE=BC.
18.(8分) (2024·武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
19.(10分)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连结EF交BD于点O.
(1)求证:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=1时,求AE的长.
20.(10分)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B',C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连结DG,B'G.
求证:(1)∠1=∠2;(2)DG=B'G.
【附加题】(10分)
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,且AO=OC.
(1)求证:
①△AOD≌△COB;
②四边形ABCD为平行四边形;
(2)过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,连结BE,若∠BAD-∠ABC=14°,∠DBF=31°,求∠ABE的度数.第18章 平行四边形（90分钟 100分）
一、选择题(每题3分,共24分)
1.已知平行四边形的最小角为60°,则该平行四边形的最大角的度数是(B)
A.60° B.120° C.135° D.150°
2.如图,在 ABCD中,过点C分别作边AB,AD的垂线CM,CN,垂足分别为M,N,则直线AB与CD的距离是(C)
A.CD的长 B.BC的长 C.CM的长 D.CN的长
3.(2024·成都期末)小明是这样画平行四边形的:如图,将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置,这时四边形ABB1A1就是平行四边形.小明这样做的依据是(C)
A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.(2024·广元期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列结论不一定成立的是(D)
A.AD=BC B.∠DAB=∠BCD C.S△AOB=S△COB D.AC=BD
5.如图,在 ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F,若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为(C)
A.20° B.30° C.36° D.40°
6.已知,在 ABCD中,AB=7,AE平分∠DAB交BC所在直线于点E,CE=1,则AD的长为(D)
A.6或7或8 B.7或8 C.6或7 D.6或8
7.如图,E,F在平行四边形ABCD的对角线AC上,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=66°,则∠ADE的大小为(C)
A.33° B.23° C.22° D.18°
8.(2024·浙江中考)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(C)
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
二、填空题(每题4分,共24分)
9.如图,E为 ABCD外一点,且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=65°,则∠A的度数为 115° .
10.平行四边形相邻的两边长为x,y,周长是30,则y与x的函数关系式是 y=15-x .(不用写出自变量的取值范围)
11.如图,在 ABCD中,AB=2,BF,CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线,交点为点O,EF=1,则OB2+OC2= 9 .
12.如图,在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的动点,已知AB=4,BC=6,现将△ABE沿AE折叠,点B'是点B的对应点,当点B'恰好落在AD边上时,则CE的值为 2 .
13.如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连结BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连结BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 24 .
14.(2024·内江质检)如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则 ABCD的周长为 4a+2b .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,过△ABC的顶点B作BD∥AC,以B为圆心,AC的长为半径画弧,交BD于点E,连结CE.
(1)请你判断所画的四边形ABEC是平行四边形吗 请说明理由;
【解析】(1)四边形ABEC是平行四边形,理由如下:
∵BD∥AC,BE=AC,
∴四边形ABEC是平行四边形;
(2)若∠ABC=50°,求∠BCE的度数.
【解析】(2)∵四边形ABEC是平行四边形,
∴CE∥AB,
∴∠BCE=∠ABC=50°.
16.(8分)(2024·乐山质检)如图,在四边形ABCD中,EF交AC于点O,交CD,AB于点E,F;若OE=OF,OA=OC,且DE=FB.猜想四边形ABCD的形状,并说明理由.
【解析】四边形ABCD是平行四边形.
理由如下:
如图,连结AE,CF.
∵OE=OF,OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴EC∥AF,EC=AF,又∵DE=FB,
∴DC∥AB,DC=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
17.(8分)(2024·吉林中考)如图,在 ABCD中,点O是AB的中点,连结CO并延长,交DA的延长线于点E.求证:AE=BC.
【证明】∵点O是AB的中点,∴AO=OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠E=∠BCO,
又∵∠AOE=∠BOC,
∴△AOE≌△BOC(A.A.S.),∴AE=BC.
18.(8分) (2024·武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,∴DF=BE,
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.);
(2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
【解析】(2)如图,添加BE=CE,理由如下:
∵AF=CE,BE=CE,∴AF=BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴四边形ABEF是平行四边形.(答案不唯一)
19.(10分)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连结EF交BD于点O.
(1)求证:BO=DO;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,
∴∠OBE=∠ODF,在△OBE和△ODF中,,
∴△OBE≌△ODF(A.A.S.),∴BO=DO.
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=1时,求AE的长.
【解析】(2)∵EF⊥AB,AB∥DC,∴∠GEA=∠GFD=90°,EF⊥DC.
∵∠A=45°,∴∠G=∠A=45°.
∴AE=GE,∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠GDO=90°.
∴∠GOD=∠G=45°.
∴DG=DO,又∵EF⊥CD,∴OF=FG=1,
由(1)可知,OE=OF=1,∴GE=OE+OF+FG=3,∴AE=3.
20.(10分)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B',C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连结DG,B'G.
求证:(1)∠1=∠2;(2)DG=B'G.
【证明】(1)∵在平行四边形ABCD中,DC∥AB,∴∠2=∠FEC,
由折叠得:∠1=∠FEC,∴∠1=∠2;
(2)∵∠1=∠2,∴EG=GF,∵AB∥DC,∴∠DEG=∠EGF,
由折叠得:EC'∥B'F,∴∠B'FG=∠EGF,∴∠DEG=∠B'FG,
∵DE=BF=B'F,∴△DEG≌△B'FG(S.A.S.),∴DG=B'G.
【附加题】(10分)
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,且AO=OC.
(1)求证:
①△AOD≌△COB;
②四边形ABCD为平行四边形;
【解析】(1)①∵AD∥BC,∴∠OAD=∠OCB,
在△AOD和△COB中,,∴△AOD≌△COB(A.S.A.);
②∵△AOD≌△COB,∴AD=CB,
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形;
(2)过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,连结BE,若∠BAD-∠ABC=14°,∠DBF=31°,求∠ABE的度数.
【解析】(2)同法可证:△AOE≌△COF,
∴OE=OF,∵EF⊥BD,∴BE=BF,
∴∠OBF=∠OBE=31°,
∴∠EBF=62°,∵AD∥BC,
∴∠ABC=180°-∠BAD,
∵∠BAD-∠ABC=14°,
∴∠BAD=97°,∠ABC=83°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBF=83°-62°=21°.
