第19章 矩形、菱形与正方形(90分钟100分)
一、选择题(每题3分,共24分)
1.如图,将长方形和直角三角形的直角顶点O重合,若∠AOE=128°,则∠COD的度数为(C)
A.28° B.38° C.52° D.62°
2.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四条垂线拼成一个四边形,那么这个四边形为(A)
A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形
3.(2024·南充期末)下列说法中,错误的是(C)
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.平行四边形对角相等
C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
4.(2024·武汉中考)小美同学按如下步骤作四边形ABCD;(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长度为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心,1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连结BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是(C)
A.64° B.66° C.68° D.70°
5.如图,将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE,连结AD,AE,下列结论错误的是(D)
A.△ABE是等腰三角形 B.四边形ABCD是平行四边形
C.四边形ACED是矩形 D.四边形ABCD是菱形
6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=3,BC=4,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为(C)
A. B. C. D.
7.(2023·重庆中考A卷)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连结AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于(A)
A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α
8.(2024·乐山质检)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是(C)
A.BC=AC B.BD=DF C.AC=BF D.CF⊥BF
二、填空题(每题4分,共24分)
9.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以C,B为圆心取AB的长为半径作弧,两弧交于点D.连结BD,AD.若∠ABD=130°,则∠CAD= 25° .
10.(2024·内江质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC,BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF,若AG=6,S△ABC=5,则图中阴影部分的面积为 16 .
11.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠AGB= 67.5° .
12.如图,在平行四边形ABCD中,延长BA到点E,使AE=AB,连结EC,ED,AC,请你添加一个条件 AD=CE(答案不唯一) ,使四边形ACDE是矩形.
13.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段OB,OA上的点,若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,则BF的长为 .
14.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连结AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,小明将一个正方形ABCD纸片剪去一个宽HD=6 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽AE=8 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么剩余纸片四边形EBFG的面积为多少
【解析】设正方形ABCD的边长为x cm,
∴AB=BC=CD=AD=x cm,
∴长方形HDCF的面积为6x cm2,
∵HD=6 cm,
∴AH=AD-HD=(x-6)cm,
∴长方形AEGH的面积为8(x-6)cm2,
由题意得,8(x-6)=6x,
解得x=24,
∴BE=24-8=16(cm),EG=AH=24-6=18(cm),
∴长方形EBFG的面积为16×18=288(cm2).
16.(8分)如图,已知等边△ABC,AD⊥BC,E为AB的中点.以D为圆心,适当长为半径画弧,交DE于点M,交DB于点N,分别以M,N为圆心,大于MN为半径画弧,两弧交于点P,作射线DP交AB于点G.过点E作EF∥BC交射线DP于点F,连结BF,AF.
求证:四边形BDEF是菱形.
【证明】∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∵AD⊥BC,
∴BD=BC=AB,
∵E为AB的中点.∴DE=AB,∴BD=DE,∴△BED是等边三角形,∴BE=BD=DE,由作图知,DF平分∠EDB,∴∠EDF=∠FDB,∵EF∥BC,∴∠EFD=∠FDB,
∴∠EFD=∠EDF,∴EF=ED,
∵EF∥BD,∴四边形BDEF是平行四边形,∵DE=BD,∴四边形BDEF是菱形.
17.(8分)(2024·宜宾质检)如图,以正方形ABCD的CD边长作等边△DCE,AC和BE交于点F,连结DF.
(1)求∠AFD的度数;
(2)求证:AF=EF.
【解析】(1)在△ADF和△ABF中,,∴△ADF≌△ABF(S.A.S.),
又∵△DCE是等边三角形,∴CE=CB,∴∠CBE=∠CEB=(180°-90°-60°)÷2=15°,
∠ABF=75°,
∴∠AFD=∠AFB=180°-45°-75°=60°;
(2)∵由(1)可得∠ABF=∠ADF=75°,∴∠FDC=15°,∴∠EDF=75°,∠EDF=
∠ADF,
在△AFD和△EFD中,,△AFD≌△EFD(S.A.S.),∴AF=EF.
18.(8分)如图,在 ABCD中,点E,F分别为AB,CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:DE=FB;
(2)若四边形DEBF是菱形,求证:四边形AGBD是矩形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C,AD=CB, AB=CD,∵点E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=AB,CF=CD,∴AE=CF.
在△ADE和△CBF中,,∴△ADE≌△CBF(S.A.S.),∴DE=FB;
(2)∵AD∥BC,AG∥DB,∴四边形AGBD是平行四边形,
∵四边形BEDF是菱形,∴BE=DE=AE=AB,∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
∴四边形AGBD是矩形.
19.(10分)(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连结BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连结EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO,
∵O是BF的中点,∴OB=OF,在△AOF和△EOB中,,
∴△AOF≌△EOB(A.S.A.),∴OA=OE,∵OB=OF,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形;
(2)∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∵∠BAD=120°,∴∠ABE=60°,∵AB=BE,∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB,∵AD=BC,AF=BE,∴EC=DF=1,∵DF∥EC,
∴四边形EFDC是平行四边形,
∴CD=EF,∵AB+BC+CD+AD=22,∴AB+BE+1+CD+AF+1=22,∴4AB=20,
∴AB=AE=5.
20.(10分)(2024·遂宁中考)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该则定理是: .
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD的对角线互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
答案:对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴在△BAD和△ABC中,,
∴△BAD≌△ABC(S.S.S.),∴∠BAD=∠ABC,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,
∴∠BAD=∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
【附加题】(10分)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:BM=DN.
(2)连结MQ,PN,判断四边形MPNQ的形状,并说明理由.
(3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么关系时,四边形MPNQ是正方形 请说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=CN,∴△MBA≌△NDC(S.A.S.),∴BM=DN;
(2)四边形MPNQ是菱形,理由如下:
如图,连结MN,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,AB⊥AD,
∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=BN=AD=BC,∴四边形ABNM是平行四边形,
又∵AB⊥AM,∴四边形ABNM是矩形,∵P是BM的中点,∴MP=PB=PN,同理可得MQ=DQ=NQ,∵BM=DN,∴MP=PN=MQ=NQ,∴四边形MPNQ是菱形;
(3)当AD=2AB时,四边形MPNQ是正方形,理由如下:
如图,连结PQ,AP.
由(2)可知,四边形MPNQ是菱形,∴PQ⊥MN,∵AD⊥MN,∴PQ∥AD,∵P,Q分别是AN,DN的中点,∴PQ为△ADN的中位线,∴AD=2PQ,
∵AD=2AB,∴PQ=AB,∵在矩形ABNM中,MN=AB,
∴MN=PQ,∴菱形MPNQ是正方形.第19章 矩形、菱形与正方形(90分钟100分)
一、选择题(每题3分,共24分)
1.如图,将长方形和直角三角形的直角顶点O重合,若∠AOE=128°,则∠COD的度数为( )
A.28° B.38° C.52° D.62°
2.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四条垂线拼成一个四边形,那么这个四边形为( )
A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形
3.(2024·南充期末)下列说法中,错误的是( )
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.平行四边形对角相等
C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
4.(2024·武汉中考)小美同学按如下步骤作四边形ABCD;(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长度为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心,1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连结BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
5.如图,将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE,连结AD,AE,下列结论错误的是( )
A.△ABE是等腰三角形 B.四边形ABCD是平行四边形
C.四边形ACED是矩形 D.四边形ABCD是菱形
6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=3,BC=4,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( )
A. B. C. D.
7.(2023·重庆中考A卷)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连结AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于( )
A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α
8.(2024·乐山质检)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A.BC=AC B.BD=DF C.AC=BF D.CF⊥BF
二、填空题(每题4分,共24分)
9.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以C,B为圆心取AB的长为半径作弧,两弧交于点D.连结BD,AD.若∠ABD=130°,则∠CAD= .
10.(2024·内江质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC,BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF,若AG=6,S△ABC=5,则图中阴影部分的面积为 .
11.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠AGB= .
12.如图,在平行四边形ABCD中,延长BA到点E,使AE=AB,连结EC,ED,AC,请你添加一个条件 ,使四边形ACDE是矩形.
13.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段OB,OA上的点,若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,则BF的长为 .
14.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连结AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,小明将一个正方形ABCD纸片剪去一个宽HD=6 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽AE=8 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么剩余纸片四边形EBFG的面积为多少
16.(8分)如图,已知等边△ABC,AD⊥BC,E为AB的中点.以D为圆心,适当长为半径画弧,交DE于点M,交DB于点N,分别以M,N为圆心,大于MN为半径画弧,两弧交于点P,作射线DP交AB于点G.过点E作EF∥BC交射线DP于点F,连结BF,AF.
求证:四边形BDEF是菱形.
17.(8分)(2024·宜宾质检)如图,以正方形ABCD的CD边长作等边△DCE,AC和BE交于点F,连结DF.
(1)求∠AFD的度数;
(2)求证:AF=EF.
18.(8分)如图,在 ABCD中,点E,F分别为AB,CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:DE=FB;
(2)若四边形DEBF是菱形,求证:四边形AGBD是矩形.
19.(10分)(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连结BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连结EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.
20.(10分)(2024·遂宁中考)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该则定理是: .
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
【附加题】(10分)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:BM=DN.
(2)连结MQ,PN,判断四边形MPNQ的形状,并说明理由.
(3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么关系时,四边形MPNQ是正方形 请说明理由.
