平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AB=11,△OCD的周长为29,则AC+BD的值为( )
A.18 B.36 C.38 D.39
2.有下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;
②平行四边形是轴对称图形;
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是( )
A.①②④ B.②③
C.①③④ D.①②③④
3.(2023·武汉质检)如图,在 ABCD中,AC⊥BC,AC与BD相交于O,若AB=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2 B. C.2 D.
4.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,∠BAO=90°,BD=10 cm,AC=6 cm,则AB的长为 .
5.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长.
知识点2 平行四边形的面积
6.已知 ABCD的两条对角线相交于点O,△AOB的面积是3,则平行四边形ABCD的面积是( )
A.3 B.6 C.9 D.12
7.已知 ABCD,AB=8 cm,BC=10 cm,∠B=30°,则 ABCD的面积为 .
8.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及 ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
9.在 ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是( )
①S△ADO=S△ABO;
②△ADB≌△CBD;
③∠BAD=2∠BAC;
④AC=BD.
A.①③ B.①②
C.③④ D.②③
10.(2024·东莞期中)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥DC交其延长线于点F,若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.48
11.如图所示,P是 ABCD内一点,且S△PAB=5,S△PAD=2,则阴影部分的面积为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC=60°,AB=1,点D在BC边上,以AC为对角线的 ADCE中,当DE的长最小时, ADCE的面积为 .
13.如图, ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与BA的延长线交于点E,与DC的延长线交于点F,连接BF.
(1)求证:AE=CF.
(2)若BE=4.6,OA=1.7,BF=3.1,求四边形BACF的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (几何直观、推理能力、模型观念)如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,
∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE∥DG,BE=DG;
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积. 平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AB=11,△OCD的周长为29,则AC+BD的值为(B)
A.18 B.36 C.38 D.39
2.有下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;
②平行四边形是轴对称图形;
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是(C)
A.①②④ B.②③
C.①③④ D.①②③④
3.(2023·武汉质检)如图,在 ABCD中,AC⊥BC,AC与BD相交于O,若AB=5,BC=3,则BD的长为(A)
A.2 B. C.2 D.
4.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,∠BAO=90°,BD=10 cm,AC=6 cm,则AB的长为 4 cm .
5.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长.
【解析】(2)在 ABCD中,OB=OD=BD=6.5,
在Rt△BOE中,∠BEO=90°,OB=6.5,BE=6,
由勾股定理知:OE===2.5,由(1)知,OE=OF,故EF=2OE=5.
知识点2 平行四边形的面积
6.已知 ABCD的两条对角线相交于点O,△AOB的面积是3,则平行四边形ABCD的面积是(D)
A.3 B.6 C.9 D.12
7.已知 ABCD,AB=8 cm,BC=10 cm,∠B=30°,则 ABCD的面积为 40cm2 .
8.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及 ABCD的面积.
【解析】在 ABCD中,BC=AD=8,
AD∥BC,∵BD⊥AD,AB=10,
∴BD===6.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=BD=3,S ABCD=AD·BD=8×6=48.
【B层 能力进阶】
9.在 ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是(C)
①S△ADO=S△ABO;
②△ADB≌△CBD;
③∠BAD=2∠BAC;
④AC=BD.
A.①③ B.①②
C.③④ D.②③
10.(2024·东莞期中)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥DC交其延长线于点F,若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为(D)
A.24 B.36 C.40 D.48
11.如图所示,P是 ABCD内一点,且S△PAB=5,S△PAD=2,则阴影部分的面积为 3 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC=60°,AB=1,点D在BC边上,以AC为对角线的 ADCE中,当DE的长最小时, ADCE的面积为 .
13.如图, ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与BA的延长线交于点E,与DC的延长线交于点F,连接BF.
(1)求证:AE=CF.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠E=∠EFD,
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF.
(2)若BE=4.6,OA=1.7,BF=3.1,求四边形BACF的周长.
【解析】(2)∵AE=CF,
∴AB+CF=AB+AE=BE=4.6,
∵OA=OC,
∴AC=2OA=3.4,
∴四边形BACF的周长=AB+CF+AC+BF=4.6+3.4+3.1=11.1.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (几何直观、推理能力、模型观念)如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,
∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE∥DG,BE=DG;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ADG=∠CBE,
在△ADG和△CBE中,,
∴△ADG≌△CBE(ASA),
∴DG=BE,∠AGD=∠CEB,
∴∠DGC=∠BEG,∴BE∥DG.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积.
【解析】(2)过E点作EH⊥BC于H,
又∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,
∴EH=EF=6,
∵ ABCD的周长为56,
∴AB+BC=28,
∴S△ABC=AB·EF+BC·EH=EF(AB+BC)=×6×28=84. 平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用平行四边形的性质进行计算
1.在 ABCD中,∠A∶∠B=2∶3,则∠D=(D)
A.36° B.60° C.72° D.108°
2.平行四边形的周长为24,相邻两边长的差为2,则平行四边形的各边长分别为 5,7,5,7 .
3. (2023·甘孜中考)如图,在平行四边形ABCD(AB
知识点2 利用平行四边形的性质进行证明
4.如图,在 ABCD中,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
求证:AE=CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF.
5.如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交CD于点F,交BC的延长线于点E,连接BF.
(1)求证:BE=CD;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠DAE=∠E,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD,
∴∠BAE=∠E,
∴BA=BE,
又∵AB=CD,
∴BE=CD;
(2)若点F是CD的中点,求证:BF⊥AE.
【解析】(2)∵点F是CD的中点,
∴CF=DF,
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,
又∵BE=BA,∴BF⊥AE.
知识点3 平行线间的距离
6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是(C)
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
7.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,
FG=6 cm,则AB与CD间的距离为 6 cm.
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,DE∥BC,点A到DE的距离是1,求DE与BC的距离.
【解析】∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC===5,
∴点A到BC的距离为=,
∵DE∥BC,∴DE与BC的距离是-1=.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,∠B=40°,AB=AC,将△ADC沿对角线AC翻折,AF交BC于点E,点D的对应点为点F,则∠AEC的度数是(C)
A.80° B.90° C.100° D.110°
10.(2023·凉山州中考)如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 (4,2) .
11. (2023·福建中考)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 10 .
12.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为 20或22 .
13.(2023·宿迁中考)如图,在 ABCD中,AB=5,AD=3,∠A=45°.
(1)求出对角线BD的长;
【解析】(1)连接BD,过D作DF⊥AB于F,如图所示,
∵在 ABCD中,AD=3,∠A=45°,
∴AF=DF==3,
∵AB=5,
∴BF=AB-AF=5-3=2,
在Rt△BDF中,∠BFD=90°,DF=3,BF=2,则BD===;
(2)尺规作图:将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折,使点B落在CD边上的点E处,请作出折痕.(不写作法,保留作图痕迹)
【解析】(2)如图所示,AG即为所求:
或
14.如图,在 ABCD中,过AC中点O的直线分别交CB,AD的延长线于点E,F.
(1)求证:BE=DF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AO=CO,AD=BC,
∴∠OAF=∠OCE,∠E=∠F,
在△AOF和△COE中,,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,∴AF-AD=CE-BC,
∴BE=DF;
(2)连接FC,若EF⊥AC,DF=2,△FDC的周长为16,求 ABCD的周长.
【解析】(2)∵EF⊥AC,AO=CO,
∴EF垂直平分AC,
∴AF=CF,
∵△FDC的周长为16,
∴DF+CF+CD=16,
即2+2+AD+CD=16,
∴AD+CD=12,
∴ ABCD的周长为2(AD+CD)=24.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在 ABCD中,∠A=60°,AD=8,AB>AD,E是AB上一点,连接CE,DE.
(1)如图1,若CE,DE分别平分∠BCD和∠ADC,求证:CE⊥DE;
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵CE,DE分别平分∠BCD和∠ADC,
∴∠EDC=∠ADC,∠DCE=∠BCD,
∴∠EDC+∠DCE=90°,∴∠DEC=90°,
∴CE⊥DE.
(2)如图2,连接BD交CE于O,若DE=AE,CE⊥BD,求AB的长.
【解析】 (2)过点E作EM⊥CD于点M,
∵∠A=60°,DE=AE,
∴△ADE为等边三角形,
∴DE=AD=8,∠ADE=60°,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,
∴∠ADC+∠A=180°,DE=BC,
∴∠ADC=120°,
∴∠EDC=120°-60°=60°,
∴∠DEM=30°,
∴DM=DE=4,
∴EM==4,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠A=60°,
∴∠CBE=180°-∠A=120°,
∵△ADE为等边三角形,
∴∠AED=60°,
∴∠DEB=120°,
∴∠DEB=∠CBE,
在△DEB和△CBE中,,
∴△DEB≌△CBE(SAS),
∴DB=CE,
在△DEC和△CBD中,,
∴△DEC≌△CBD(SSS),
∴∠ECD=∠BDC,
∵BD⊥CE,
∴∠COD=90°,
∴∠ECD=45°,
∴CM=EM=4,
∴AB=CD=DM+CM=4+4. 平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用平行四边形的性质进行计算
1.在 ABCD中,∠A∶∠B=2∶3,则∠D=( )
A.36° B.60° C.72° D.108°
2.平行四边形的周长为24,相邻两边长的差为2,则平行四边形的各边长分别为 .
3. (2023·甘孜中考)如图,在平行四边形ABCD(AB知识点2 利用平行四边形的性质进行证明
4.如图,在 ABCD中,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
求证:AE=CF.
5.如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交CD于点F,交BC的延长线于点E,连接BF.
(1)求证:BE=CD;
(2)若点F是CD的中点,求证:BF⊥AE.
知识点3 平行线间的距离
6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是( )
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
7.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,
FG=6 cm,则AB与CD间的距离为 cm.
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,DE∥BC,点A到DE的距离是1,求DE与BC的距离.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,∠B=40°,AB=AC,将△ADC沿对角线AC翻折,AF交BC于点E,点D的对应点为点F,则∠AEC的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
10.(2023·凉山州中考)如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 .
11. (2023·福建中考)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 .
12.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为 .
13.(2023·宿迁中考)如图,在 ABCD中,AB=5,AD=3,∠A=45°.
(1)求出对角线BD的长;
(2)尺规作图:将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折,使点B落在CD边上的点E处,请作出折痕.(不写作法,保留作图痕迹)
14.如图,在 ABCD中,过AC中点O的直线分别交CB,AD的延长线于点E,F.
(1)求证:BE=DF;
(2)连接FC,若EF⊥AC,DF=2,△FDC的周长为16,求 ABCD的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在 ABCD中,∠A=60°,AD=8,AB>AD,E是AB上一点,连接CE,DE.
(1)如图1,若CE,DE分别平分∠BCD和∠ADC,求证:CE⊥DE;
(2)如图2,连接BD交CE于O,若DE=AE,CE⊥BD,求AB的长.