平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的中位线定理
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为( )
A.40° B.50° C.140° D.150°
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,
则∠CED的度数是( )
A.70° B.60° C.30° D.20°
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则DE的长是
.
4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为 .
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,连接CD,
∠ADC+∠DCB=90°,AE平分∠CAB交CD于点E.
(1)求证:AE垂直平分CD;
(2)若AC=6,BC=8,点F为BC的中点,连接EF,求EF的长.
知识点2 三角形的中位线与平行四边形
6.如图,在平行四边形ABCD中,AD=6,E为AD上一动点,M,N分别为BE,CE的中点,则MN的长为( )
A.4 B.3 C.2 D.不确定
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OA,OB的中点,若AC+BD=32 cm,△OEF的周长为13 cm,则CD的长为( )
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
8.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.
若∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1= .
9.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,使AB=2AD,
连接DE,DF,AE,EF,DE与AC交于点O.
(1)试说明AF与DE互相平分;
(2)若AB=8,BC=12,求DO的长.
【B层 能力进阶】
10.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是( )
A.68° B.34° C.22° D.44°
11.(2023·泸州中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,EF是△ABC的中位线,点O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( )
A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC的中点,若∠B=35°,则∠AED= .
14.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在AB,BC上,且ED∥BC,EF∥AC.
(1)求证:BE=CF;
(2)若∠A=∠C,△AED的周长为3,求△ABC的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长. 平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的中位线定理
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为(C)
A.40° B.50° C.140° D.150°
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,
则∠CED的度数是(B)
A.70° B.60° C.30° D.20°
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则DE的长是
6 .
4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为 3 .
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,连接CD,
∠ADC+∠DCB=90°,AE平分∠CAB交CD于点E.
(1)求证:AE垂直平分CD;
【解析】(1)因为∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠DCB=90°,
因为∠ADC+∠DCB=90°,
所以∠ACD=∠ADC,
所以AC=AD,即△ACD为等腰三角形,
因为AE平分∠CAB,
所以AE⊥CD,CE=DE,
所以AE垂直平分CD;
(2)若AC=6,BC=8,点F为BC的中点,连接EF,求EF的长.
【解析】(2)在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
所以AB===10,
AD=AC=6,所以BD=AB-AD=4,
因为点E为CD的中点,点F为BC的中点,
所以EF为△CBD的中位线,
所以EF=BD=2.
知识点2 三角形的中位线与平行四边形
6.如图,在平行四边形ABCD中,AD=6,E为AD上一动点,M,N分别为BE,CE的中点,则MN的长为(B)
A.4 B.3 C.2 D.不确定
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OA,OB的中点,若AC+BD=32 cm,△OEF的周长为13 cm,则CD的长为(B)
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
8.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.
若∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1= 50° .
9.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,使AB=2AD,
连接DE,DF,AE,EF,DE与AC交于点O.
(1)试说明AF与DE互相平分;
【解析】(1)∵E,F分别是BC,AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AB且EF=AB.
又AB=2AD,即AD=AB,
∴AD∥EF,AD=EF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴AF与DE互相平分;
(2)若AB=8,BC=12,求DO的长.
【解析】(2)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,BC=12,
∴由勾股定理得
AC===4.
又由(1)知,OA=OF,且AF=CF,
∴OA=AF=AC=,
∴在△AOD中,∠DAO=90°,AD=AB=4,OA=,
∴由勾股定理得DO===.
【B层 能力进阶】
10.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是(C)
A.68° B.34° C.22° D.44°
11.(2023·泸州中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,EF是△ABC的中位线,点O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为(D)
A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC的中点,若∠B=35°,则∠AED= 70° .
14.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在AB,BC上,且ED∥BC,EF∥AC.
(1)求证:BE=CF;
【解析】(1)∵ED∥BC,EF∥AC,
∴四边形EFCD是平行四边形,
∴DE=CF,
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠DBC,
∵ED∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴EB=ED,
∴BE=CF;
(2)若∠A=∠C,△AED的周长为3,求△ABC的周长.
【解析】 (2)∵ED∥BC,∴∠ADE=∠C,
∵∠A=∠C,
∴∠ADE=∠A,∴AE=ED,
∵EB=ED,∴AE=EB,
即AE=AB,又∵BD平分∠ABC,
∴AD=CD=AC,∴ED是△ABC的中位线,
∴ED=BC,∵△AED的周长为3,
∴△ABC的周长为6.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
【解析】(1)在△AEB和△AED中,,
∴△AEB≌△AED(ASA),
∴BE=ED,AD=AB,∵BE=ED,BF=FC,
∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB);
(2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长.
【解析】(2)分别延长BE,AC交于点H,如图所示,
在△AEB和△AEH中,,
∴△AEB≌△AEH(ASA),
∴BE=EH,AH=AB=9,∵BE=EH,BF=FC,
∴EF=CH=(AH-AC)=2. 平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的判定
1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(D)
2.在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是(C)
A.BD∥CF B.DF=BC
C.BD=CF D.∠B=∠F
3.下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相平分的四边形是平行四边形;
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
④一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是 ②③④ (将命题的序号填上即可).
4.已知:如图,AB∥CD,线段AC和BD交于点O,要使四边形ABCD是平行四边形,还需要增加的一个条件是: AD∥CB(答案不唯一) (填一个即可).
5. (2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,
∠EDC=∠CBE.
求证:四边形BCDE是平行四边形.
【证明】∵EF∥AC,
∴∠EDC+∠BCD=180°,
又∵∠EDC=∠CBE,
∴∠CBE+∠BCD=180°,
∴BE∥CD,
∵ED∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
知识点2 平行四边形的判定和性质的综合应用
6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠BAC=90°,AB=4,AO=OC=3,BD=10,则四边形ABCD的面积为(D)
A.6 B.12 C.20 D.24
7.如图,E,F是 ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件: BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF(答案不唯一) ,使四边形AECF是平行四边形.
8.如图,已知AD∥BC,AB∥CD,AB=4,BC=6,EF是AC的垂直平分线,分别交AD,AC于E,F,连接CE,则△CDE的周长是 10 .
【B层 能力进阶】
9.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(C)
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
10. (易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且
AD=9 cm,BC=7 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,Q运动到B处停止运动, 或3 s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
11.已知点A(3,0),B(-1,0),C(2,3),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的个数是 3 .
12. (2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
【解析】(1)选择①,∵∠B=∠AED,
∴BC∥DE.
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD.
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【解析】(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10.
∵AD⊥AB,
∴∠A=90°,
∴AE===6,
即线段AE的长为6.
【C层 创新挑战(选做)】
13. (几何直观、推理能力、模型观念)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,
∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠DAE=∠AEB,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BE=AB,
∴BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形;
【解析】(2)由(1)知BE=AB,
∵BF平分∠ABE,
∴AF=EF,
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(ASA),
∴DF=CF,
又∵AF=EF,
∴四边形ACED是平行四边形;
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
【解析】(3)由(1)知BE=AB,
又∵∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形,∴AB=AE=4,
∵BF⊥AE,∴AF=EF=AE=2,
在Rt△ABF中,由勾股定理得,
BF===2,
∵∠DAE=∠AEB,AF=EF,
∠AFD=∠CFE,
∴△ADF≌△ECF(ASA),
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=·AE·BF=×4×2=4. 平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的判定
1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
2.在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是( )
A.BD∥CF B.DF=BC
C.BD=CF D.∠B=∠F
3.下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相平分的四边形是平行四边形;
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
④一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是 (将命题的序号填上即可).
4.已知:如图,AB∥CD,线段AC和BD交于点O,要使四边形ABCD是平行四边形,还需要增加的一个条件是: (填一个即可).
5. (2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,
∠EDC=∠CBE.
求证:四边形BCDE是平行四边形.
知识点2 平行四边形的判定和性质的综合应用
6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠BAC=90°,AB=4,AO=OC=3,BD=10,则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
7.如图,E,F是 ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件: ,使四边形AECF是平行四边形.
8.如图,已知AD∥BC,AB∥CD,AB=4,BC=6,EF是AC的垂直平分线,分别交AD,AC于E,F,连接CE,则△CDE的周长是 .
【B层 能力进阶】
9.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
10. (易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且
AD=9 cm,BC=7 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,Q运动到B处停止运动, s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
11.已知点A(3,0),B(-1,0),C(2,3),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的个数是 .
12. (2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13. (几何直观、推理能力、模型观念)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,
∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形;
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
