矩形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形的判定
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AD=BC且AC=BD
B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C
D.AB∥CD且AC2=AB2+BC2
2.如图,在Rt△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,AC=8,BC=6,则四边形CEDF的面积是( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.(2024·西安质检)如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=6,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积是 .
4. (2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 ①或② (填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
知识点2 矩形判定和性质综合应用
5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,求∠BDF的度数.
知识点3 矩形判定动态的应用
6.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t s.
(1)当t= 时,四边形CDEF为平行四边形
(2)求当t为何值时,四边形ABFE为矩形
【B层 能力进阶】
7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.MB=MO B.OM=AC
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是( )
A.①② B.②③
C.①②④ D.①②③④
9.如图.在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 .
10.(2023·雅安中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.P为边AB上一动点,作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE的最小值为 .
11. (2023·新疆建设兵团中考)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,
OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点.
(1)求证:OE=OF;
(2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力、模型观念)在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D在△ABC内,且BD=CD,∠BDC=90°,E,F,G,H分别是AB,AC,BD,CD的中点,求四边形EFHG的面积. 矩形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形的判定
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD是矩形的是(C)
A.AD=BC且AC=BD
B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C
D.AB∥CD且AC2=AB2+BC2
2.如图,在Rt△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,AC=8,BC=6,则四边形CEDF的面积是(B)
A.6 B.12 C.24 D.48
3.(2024·西安质检)如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=6,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积是 12 .
4. (2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 ①或② (填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
【解析】(2)添加条件①, ABCD为矩形,理由如下:
在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
在△ABM和△DCM中,,
∴△ABM ≌△DCM,
∴∠A=∠D,
又∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,
∴ ABCD为矩形;
添加条件②, ABCD为矩形,理由如下:
在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
在△ABM和△DCM中,,
∴△ABM ≌△DCM,∴∠A=∠D,
又∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形.
知识点2 矩形判定和性质综合应用
5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
【解析】(1)∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,求∠BDF的度数.
【解析】(2)∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,
∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC,
∴∠DCO=90°-36°=54°,
∵四边形ABCD是矩形,∴CO=OD,
∴∠ODC=∠DCO=54°,
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.
知识点3 矩形判定动态的应用
6.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t s.
(1)当t= 2 时,四边形CDEF为平行四边形
【解析】(1)由题意得:AE=t cm,CF=2t cm,
则DE=(6-t)cm,BF=(12-2t)cm,
∵∠A=∠B=90°,
∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,
当DE=CF时,四边形CDEF为平行四边形,
则6-t=2t,解得t=2,
即当t=2时,四边形CDEF为平行四边形;
(2)求当t为何值时,四边形ABFE为矩形
【解析】(2)∵AD∥BC,
∴当AE=BF时,四边形ABFE为平行四边形,
∵∠A=90°,
∴当AE=BF时,四边形ABFE为矩形,
则t=12-2t,解得t=4,
即当t=4时,四边形ABFE为矩形.
【B层 能力进阶】
7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是(B)
A.MB=MO B.OM=AC
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是(C)
A.①② B.②③
C.①②④ D.①②③④
9.如图.在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 2 .
10.(2023·雅安中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.P为边AB上一动点,作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE的最小值为 3 .
11. (2023·新疆建设兵团中考)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,
OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点.
(1)求证:OE=OF;
【证明】(1)∵∠ABO=∠DCO=90°,
∴AB∥CD,∴∠A=∠D,
在△AOB与△DOC中,,
∴△AOB ≌△DOC(AAS),
∴AO=DO,
∵点E,F分别是AO,DO的中点,
∴OE=OA,OF=OD,∴OE=OF;
(2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形.
【证明】(2)∵OB=OC,OE=OF,
∴四边形BECF是平行四边形,
∵∠A=30°,
∴OB=OA=OE,
∵OE=OF,
∴OB=EF,∵OB=BC,
∴EF=BC,∴四边形BECF是矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力、模型观念)在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D在△ABC内,且BD=CD,∠BDC=90°,E,F,G,H分别是AB,AC,BD,CD的中点,求四边形EFHG的面积.
【解析】连接AD并延长交BC于点P,如图所示:
∵AB=AC,BD=CD,
∴AP是线段BC的垂直平分线,
∴BP=CP=BC=×10=5,AP⊥BC,
∵在Rt△BDC中,∠BDC=90°,BP=CP,
∴DP=BC=×10=5,
∴在Rt△APB中,AP===12,
∴AD=AP-PD=12-5=7,
∵E和F分别是AB和AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=BC=×10=5,EF∥BC,
∴同理可证:GH=BC=×10=5,GH∥BC,EG=AD=×7=,EG∥AD,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFHG为平行四边形,
∵EF∥BC,AP⊥BC,
∴EF⊥AD,
∴EG⊥EF,
∴∠GEF=90°,
∴四边形EFHG为矩形,
∴S四边形EFHG=GH×EG=5×=. 矩形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形的性质
1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是(D)
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OB=OC D.OA=AB
2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,
则∠E的度数为(B)
A.10° B.20° C.25° D.30°
3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于 35° .
4.在矩形ABCD中,E,F分别在BC和CD上,∠EAF=45°,若AB=3,BC=4,BE=1,
AE⊥EF,则EF= .
5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.
(1)求证:∠AEB=∠CFD;
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°,
∵BE=DF,∴OE=OF,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE ≌△COF(SAS),
∴∠AEO=∠CFO,
∴∠AEB=∠CFD;
(2)若AB=6,∠AOB=60°,求矩形ABCD的面积.
【解析】(2)∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OB,∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,
∴AC=2OA=12,
在Rt△ABC中,BC==6,
∴矩形ABCD的面积为AB·BC=6×6=36.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为(C)
A.26° B.52° C.56° D.64°
7.(2024·毕节质检)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF=(D)
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是 2 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为 105° .
10.(2023·湖州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,连接DE.已知BC=10,AD=12,求BD,DE的长.
【解析】∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=BC.
∵BC=10,
∴BD=5.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
∵AD=12,
∴AB===13,
∵E为AB的中点,
∴DE=AB=.
【B层 能力进阶】
11.(2023·呼和浩特中考)如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为(A)
A.2 B.3 C.2 D.3
12.(2023·兰州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=(C)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= 46°或106° .
14. (2023·湘西中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为 2 .
15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分
∠BAD交BD于点F,∠1=15°,
(1)∠BAO= ,∠2= .
答案:60° 30°
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OB=OC=OA,
∴∠OCB=∠OBC,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴∠AEB=180°-90°-45°=45°,
∵∠1=15°,
∴∠BAO=45°+15°=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠ABO=60°,
∴∠CBO=90°-60°=30°,
∵∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,
∴OB=BE,
∴∠OEB=∠EOB=(180°-30°)=75°,
∵∠AEB=45°,
∴∠2=∠OEB-∠AEB=30°.
(2)求证:OE=EF.
【解析】 (2)∵∠2=30°,∠BOE=75°,
∴∠EFO=180°-75°-30°=75°,
∴∠EOF=∠EFO,
∴EO=EF;
(3)求证:△BEF ≌△COE.
【解析】(3)∵OB=OC,∠OBC=30°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵∠BEO=75°=∠EFO,
∴∠BFE=∠OEC=180°-75°=105°,
∵BE=OB,OB=OC,
∴BE=OC,
∴△BEF ≌△COE.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力、模型观念)(2024·南京期中)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC.
(1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数;
【解析】(1)如图①,连接BD,与AC交于点O,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OB=BD,OC=AC,
∴OB=OC,
∴∠DBC=∠ACB=40°,∵BE=AC,
∴BD=BE,
∴∠BDE=∠E,∴∠E==70°;
(2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC.
【解析】(2)如图②,延长CF交AD延长线于点G,
∵AG∥BE,
∴∠GDF=∠E,∠G=∠ECF,
∵F是DE的中点,
∴DF=EF,
∴△DFG ≌△EFC(AAS),
∴DG=EC,GF=CF.
∴BC+CE=AD+DG,即AG=BE,
∵BE=AC,∴AG=AC,
又∵GF=CF,∴AF⊥FC. 矩形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形的性质
1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OB=OC D.OA=AB
2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,
则∠E的度数为( )
A.10° B.20° C.25° D.30°
3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于 .
4.在矩形ABCD中,E,F分别在BC和CD上,∠EAF=45°,若AB=3,BC=4,BE=1,
AE⊥EF,则EF= .
5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.
(1)求证:∠AEB=∠CFD;
(2)若AB=6,∠AOB=60°,求矩形ABCD的面积.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为( )
A.26° B.52° C.56° D.64°
7.(2024·毕节质检)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF=( )
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为 .
10.(2023·湖州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,连接DE.已知BC=10,AD=12,求BD,DE的长.
【B层 能力进阶】
11.(2023·呼和浩特中考)如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.3
12.(2023·兰州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= .
14. (2023·湘西中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为 .
15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分
∠BAD交BD于点F,∠1=15°,
(1)∠BAO= ,∠2= .
(2)求证:OE=EF.
(3)求证:△BEF ≌△COE.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力、模型观念)(2024·南京期中)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC.
(1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数;
(2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC.
