菱形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的判定
1.(2024·南昌期中)在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是(D)
A.AC=BD B.AB=AC
C.∠A=∠B D.AC⊥BD
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A)
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有 ①②③④ (只填写序号).
4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,
且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
【解析】(1)∵AD=BC,
∴AD+DC=BC+DC,
即AC=BD,
在△AEC和△BFD中,,
∴△AEC ≌△BFD(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AE∥BF;
(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.
【解析】(2)方法一:在△ADE和△BCF中,,
∴△ADE ≌△BCF(SAS),
∴DE=CF,又EC=DF,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,∴ DECF是菱形.
方法二:∵△AEC ≌△BFD,
∴∠ECA=∠FDB,
∴EC∥DF,
又EC=DF,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,
∴ DECF是菱形.
知识点2 菱形性质和判定的综合应用
5.(2024·长沙期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,
∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=6,CD=8,则BO的长为(C)
A.8 B.6 C.4 D.5
6.如图,将四根长度相等的细木条首尾顺次相连,用钉子钉成四边形ABCD,若AB=6,∠B=60°,则B,D两点间的距离为 6 .
7.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴ ABCD是菱形,∴AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
【解析】(2)∵点E,F分别为AD,AO的中点,
∴EF是△AOD的中位线,∴OD=2EF=3,由(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BD=2OD=6,
在Rt△AOD中,由勾股定理得AD===,
∴C四边形ABCD=4AD=4.
【B层 能力进阶】
8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断 ADCE是菱形的是(D)
A.AB=AE B.∠DAE=90°
C.AB=AC D.∠BAC=90°
9.(2024·惠州期中)如图,在 ABCD中,AB=BC,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接EF,FG,GH,HE,则对四边形EFGH的形状描述最准确的是(B)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
10.(2023·聊城中考)如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 24 .
11.如图,在 ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE,
若∠BCE=40°,则∠ADE= 15° .
12. (2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,
且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
【解析】(1)连接AC,BD交于点O,交FG于点N,交HG于点M,
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠HGF=90°,
∵H,G分别是AD,DC的中点,
∴HG∥AC,HG=AC,
∴∠HGF=∠GNC,
∴∠GNC=90°,
∵G,F分别是DC,BC的中点,
∴GF∥BD,GF=BD,
∴∠GNC=∠MOC=90°,
∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.
【解析】(2)∵矩形EFGH的周长为22,
∴HG+FG=11,
∴AC+BD=22,
∵·AC·BD=10,
∴AC·BD=20,
∵(AC+BD)2=AC2+2AC·BD+BD2,
∴AC2+BD2=444,
∴AC2+BD2=111,
∴AO2+BO2=111,
∴AB2=AO2+BO2=111,
∴AB=.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图1,用硬纸板剪一个平行四边形ABCD,作出它的对角线的交点O.准备一根平放在平行四边形ABCD上的直细木条EF,用大头针把木条EF的中点固定在点O处,并使细木条可以绕点O转动.
(1)如图2,拨动细木条EF到对角线AC的位置,连接BE,ED,DF,FB.请你证明此时四边形BEDF是平行四边形;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,∵点O是EF的中点,
∴OE=OF,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)如图3,把上述平行四边形换成矩形ABCD,拨动EF,使得点E,F分别落在边AD,BC上,连接BE,DF.若EF⊥BD,AD=4,AB=2,求此时△ABE的面积.
【解析】(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,∠A=90°,
又∵OE=OF,EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形,∴BE=DE,
设AE=x(x>0),则BE=DE=AD-AE=4-x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即22+x2=(4-x)2,解得x=,即AE=,
则此时△ABE的面积为AB·AE=×2×=. 菱形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是(C)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为(C)
A.6 B.12 C.24 D.48
3.如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,若∠1=20°,则∠DCB= 40 度.
4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH,若OA=8,OH=6,则菱形ABCD的面积为 96 .
5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为 70° .
6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE ≌△CDF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,
∵BE=BF,∴AE=CF,
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE ≌△CDF(SAS);
(2)ME=NF.
【证明】(2)由(1)知△ADE ≌△CDF,
∴∠ADM=∠CDN,DE=DF,
∵DA=DC,
∴∠DAM=∠DCN,
∴∠DMA=∠DNC,
∴∠DMN=∠DNM,
∴DM=DN,
∴DE-DM=DF-DN,
∴ME=NF.
知识点2 菱形性质的实际应用
7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 60 °.
8.中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图,晓进家有一个菱形中国结装饰,对角线AC,BD相交于点O,测得AB=
10 cm,BD=16 cm,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,求OH的长.
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB=BD=8 cm,AO=OC=AC,
∴∠AOB=90°,
∴AO==6 cm,∵AH⊥BC,
∴∠AHC=90°,
∴OH=AC=AO=6 cm.
【B层 能力进阶】
9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为(B)
A.80° B.75° C.70° D.60°
10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是(A)
A.2 B. C.1.5 D.
11.(2023·甘孜中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 (3,) .
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,
∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 10°或80° .
13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线.
(1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【解析】(1)
(2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数.
【解析】(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABC=∠D=140°,AB=CB,
∴∠BAC=∠BCA=×(180°-140°)=20°,
∵MN垂直平分AB,
∴AF=BF,
∴∠ABF=∠BAC=20°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=120°.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (几何直观、推理能力、模型观念)如图,在菱形ABCD中,AB=4,E为BC中点,
AE⊥BC,AF⊥CD,CG∥AE,CG交AF于点H,交AD于点G.
(1)求证:四边形AECG是矩形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=BC=4,
∵CG∥AE,
∴四边形AECG是平行四边形,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=∠AEB=90°,
∴四边形AECG是矩形.
(2)求∠CHA的度数.
【解析】(2)连接AC,如图所示:
∵E为BC中点,AE⊥BC,
∴AB=AC,
∵AB=BC,
∴AB=BC=AC,
∴∠B=∠BAC=60°,
在等边三角形ABC中,∵AE⊥BC,
∴∠CAE=∠BAC=30°,
同理∠CAF=30°,
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°,
∵AE⊥BC,CG⊥AD,AD∥BC,
∴AE∥CG,
∴∠CHA=180°-∠EAF=180°-60°=120°.
(3)求菱形ABCD的面积.
【解析】(3)∵∠B=60°,∠AEB=90°,
∴∠BAE=30°,∵AB=4,
∴BE=AB=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得,AE===2.
∴S菱形ABCD=BC·AE=4×2=8. 菱形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,若∠1=20°,则∠DCB= 度.
4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH,若OA=8,OH=6,则菱形ABCD的面积为 .
5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为 .
6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE ≌△CDF.
(2)ME=NF.
知识点2 菱形性质的实际应用
7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.
8.中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图,晓进家有一个菱形中国结装饰,对角线AC,BD相交于点O,测得AB=
10 cm,BD=16 cm,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,求OH的长.
【B层 能力进阶】
9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为( )
A.80° B.75° C.70° D.60°
10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是( )
A.2 B. C.1.5 D.
11.(2023·甘孜中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 .
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,
∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 .
13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线.
(1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (几何直观、推理能力、模型观念)如图,在菱形ABCD中,AB=4,E为BC中点,
AE⊥BC,AF⊥CD,CG∥AE,CG交AF于点H,交AD于点G.
(1)求证:四边形AECG是矩形.
(2)求∠CHA的度数.
(3)求菱形ABCD的面积. 菱形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的判定
1.(2024·南昌期中)在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是( )
A.AC=BD B.AB=AC
C.∠A=∠B D.AC⊥BD
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有 (只填写序号).
4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,
且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.
知识点2 菱形性质和判定的综合应用
5.(2024·长沙期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,
∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=6,CD=8,则BO的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.5
6.如图,将四根长度相等的细木条首尾顺次相连,用钉子钉成四边形ABCD,若AB=6,∠B=60°,则B,D两点间的距离为 .
7.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
【B层 能力进阶】
8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断 ADCE是菱形的是( )
A.AB=AE B.∠DAE=90°
C.AB=AC D.∠BAC=90°
9.(2024·惠州期中)如图,在 ABCD中,AB=BC,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接EF,FG,GH,HE,则对四边形EFGH的形状描述最准确的是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
10.(2023·聊城中考)如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 .
11.如图,在 ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE,
若∠BCE=40°,则∠ADE= .
12. (2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,
且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图1,用硬纸板剪一个平行四边形ABCD,作出它的对角线的交点O.准备一根平放在平行四边形ABCD上的直细木条EF,用大头针把木条EF的中点固定在点O处,并使细木条可以绕点O转动.
(1)如图2,拨动细木条EF到对角线AC的位置,连接BE,ED,DF,FB.请你证明此时四边形BEDF是平行四边形;
(2)如图3,把上述平行四边形换成矩形ABCD,拨动EF,使得点E,F分别落在边AD,BC上,连接BE,DF.若EF⊥BD,AD=4,AB=2,求此时△ABE的面积.
