正方形
【A层 基础夯实】
知识点1 正方形的性质
1. (2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是(C)
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 3 .
3.(2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 2 .
4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°,
∵在△BCP和△DCP中,,
∴△BCP≌△DCP(SAS);
(2)求证:DP⊥PE.
【证明】 (2)如图所示:
由(1)知,△BCP≌△DCP,
∴∠CBP=∠CDP,
∵PE=PB,
∴∠CBP=∠E,
∵∠BCD=90°,
∴∠DCE=90°,
∴∠E+∠2=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CDP=90°,
∴∠DPE=90°,
∴DP⊥PE.
知识点2 正方形的判定
5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是(C)
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请你添加一个条件 ∠BAD=90°(答案不唯一) ,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).
7. (2024·东莞期中)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
【解析】∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEB=∠DFB=90°,
又∵∠ABC=90°,
∴四边形BEDF为矩形,
∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∴矩形BEDF为正方形.
【B层 能力进阶】
8.(2024·福州期中)下列说法中不正确的是(D)
A.菱形的四条边相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.正方形的对角线相等
D.矩形的对角线互相垂直
9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是(B)
A.20 B.25 C.30 D.35
10.(2023·湘潭中考)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为 2 dm2.
11. (2023·广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .
12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是 30°或150° .
13.如图,已知E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF.
(1)请判断四边形AECF的形状,并说明理由;
【解析】(1)四边形AECF是菱形,
连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO,
∵BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形;
(2)若四边形AECF的周长为8,且BE=2,求正方形ABCD的边长.
【解析】(2)由(1)知,四边形AECF是菱形,四边形ABCD是正方形,
∵四边形AECF的周长为8,BE=2,AC⊥EF,AC=BD,
∴OA=OE+BE=OE+2,AE=CE=CF=AF=2,
∴AE2=OA2+OE2,
即(2)2=(OE+2)2+OE2,
∴OE=2,
∴OA=OB=OE+BE=4,
∴AB==4,
∴正方形ABCD的边长为4.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (几何直观、推理能力、模型观念)(2024·楚雄期中)如图,在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
【解析】(1)∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形 说明你的理由;
【解析】(2)四边形BECD是菱形,理由:
∵D为AB中点,∴AD=BD,
∵CE=AD,∴BD=CE,
∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=BD,
∴平行四边形BECD是菱形;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形 请说明你的理由.
【解析】(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC,
∵D为AB中点,∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形,
∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形. 正方形
【A层 基础夯实】
知识点1 正方形的性质
1. (2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .
3.(2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 .
4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
(2)求证:DP⊥PE.
知识点2 正方形的判定
5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请你添加一个条件 ,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).
7. (2024·东莞期中)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
【B层 能力进阶】
8.(2024·福州期中)下列说法中不正确的是( )
A.菱形的四条边相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.正方形的对角线相等
D.矩形的对角线互相垂直
9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是( )
A.20 B.25 C.30 D.35
10.(2023·湘潭中考)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为 dm2.
11. (2023·广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .
12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是 .
13.如图,已知E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF.
(1)请判断四边形AECF的形状,并说明理由;
(2)若四边形AECF的周长为8,且BE=2,求正方形ABCD的边长.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (几何直观、推理能力、模型观念)(2024·楚雄期中)如图,在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形 说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形 请说明你的理由.
