三 正比例函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数概念及其应用
1.(2024·南宁期中)下列函数中,是正比例函数的是(C)
A.y=2x2 B.y=
C.y=6x D.y=3x-2
2.(2024·烟台期末)当a= -2 时,函数y=是正比例函数.
3.(1)已知y=(m2-3)x是正比例函数,求m的取值范围;
【解析】(1)∵y=(m2-3)x是正比例函数,
∴m2-3≠0,
∴m≠±;
(2)若函数y=(m2-3)x+m-3是正比例函数,那么m的值是多少
【解析】(2)∵函数y=(m2-3)x+m-3是正比例函数,
∴m-3=0, m2-3≠0,∴m=3.
知识点2 正比例函数实际应用
4.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是(D)
A.圆的面积S与它的半径r
B.面积是常数S时,长方形的长y与宽x
C.路程是常数s时,行驶的速度v与时间t
D.三角形的底边是常数a时,它的面积S与这条边上的高h
5.(2024·哈尔滨期末)圆柱体的底面积一定,它的体积和高 成正比例 .(选填“成正比例”“成反比例”“不成比例”)
知识点3 应用正比例函数概念求函数解析式
6.如图,正比例函数y=kx的图象经过点A,
(1)请你求出该正比例函数的解析式;
【解析】(1)由题图可知点A(-1,2),代入y=kx得:-k=2,∴k=-2,
∴正比例函数解析式为y=-2x;
(2)若这个函数的图象还经过点B(m,m+3),请你求出m的值;
【解析】(2)将点B(m,m+3)代入y=-2x,得-2m=m+3,解得m=-1;
(3)请你判断点P(-,1)是否在这个函数的图象上,为什么
【解析】(3)当x=-时,y=-2×(-)=3≠1,
所以点P不在这个函数图象上.
【B层 能力进阶】
7.(2024·上海期末)下面各组变量的关系中,成正比例关系的有(D)
A.人的身高与年龄
B.汽车从甲地到乙地,所用时间与行驶速度
C.正方形的面积与它的边长
D.圆的周长与它的半径
8.(2024·晋江期中)已知函数y=(m-3)是正比例函数,则m的值为(A)
A.-3 B.3 C.±3 D.9
9.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点 (0,0)(答案不唯一) .(写出一个即可)
10.若y与z成正比例,z+1与x成正比例,且当x=1时y=1,当x=0时,y=-3,则y与x的函数关系式为 y=4x-3 .
11.根据题意,写出相应的函数解析式,并判断y是否为x的正比例函数.
(1)多边形的每个内角都相等,它的每个外角的度数y与边数x之间的关系;
【解析】(1)由题可得,y=,不符合正比例函数的形式,不是正比例函数;
(2)圆柱的底面圆面积为2 cm2,它的体积y(cm3)与高x(cm)之间的关系;
【解析】(2)由题可得,y=2x,符合正比例函数的形式,是正比例函数;
(3)一棵小树现在高度为80 cm,以后每年长高20 cm,x年后,小树的高度y(cm)与生长的年数x的关系.
【解析】(3)由题可得,y=20x+80,不符合正比例函数的形式,不是正比例函数.
12.已知y=y1+y2,y1与x-1成正比,y2与x成正比.当x=2时,y=4;当x=-1时,y=-5.
(1)求y与x的函数解析式;
【解析】(1)设y1=k1(x-1),
y2=k2x,则y=k1(x-1)+k2x,
根据题意得,,
解得.
∴y=2×(x-1)+x,
即y=3x-2;
(2)当x=-5时,求y的值;
【解析】(2)把x=-5代入y=3x-2得,y=-15-2=-17;
(3)当y>0时,求x的取值范围.
【解析】(3)∵y>0,
∴3x-2>0,
解得:x>.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、抽象能力)函数y=x+m+2是正比例函数,求关于x的方程-=2的解.
【解析】∵y=x+m+2为正比例函数,
∴m+2=0,解得m=-2.
∴分式方程可变形为+=2,
解得x=4,
经检验,x=4是分式方程的解.
∴分式方程的解为x=4. 正比例函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数的图象
1.正比例函数y=x的图象经过(B)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
2.(2024·上海期中)若y=(m-1)x是y关于x的正比例函数,且该函数图象经过第二、四象限,则m的取值范围是 m<1 .
3.已知关于x的正比例函数y=(m+2)x.
①m为何值时,函数图象经过第一、三象限
②m为何值时,y随x的增大而减小
③m为何值时,点(1,3)在该函数的图象上
【解析】①∵正比例函数y=(m+2)x的图象经过第一、三象限,
∴m+2>0,
解得:m>-2;
∴当m>-2时,图象经过一、三象限;
②∵正比例函数y=(m+2)x中,y随着x的增大而减小,
∴m+2<0,
解得:m<-2;
∴当m<-2时,y随着x的增大而减小.
③∵点(1,3)在正比例函数y=(m+2)x的图象上,
∴3=(m+2)×1,
∴m=1,
∴m=1时,点(1,3)在该函数的图象上.
知识点2 正比例函数的性质
4.已知函数y=(m-2)x+m2-9是关于x的正比例函数,且其图象经过第二、四象限,则m的值是(A)
A.-3 B.3 C.±3 D.9
5.若点A(a,b)是正比例函数y=kx图象上的一点,且a≠0,2a+b=0,则k的值为 -2 .
6.已知y关于x的函数y=(2m+6)x+m-3,且该函数是正比例函数.
(1)求m的值;
【解析】(1)∵函数y=(2m+6)x+m-3是正比例函数,
∴,
解得:m=3,
∴m的值为3;
(2)若点(a,y1),(a+1,y2)在该函数的图象上,请直接写出y1,y2的大小关系.
【解析】(2)∵m=3,
∴k=2m+6=2×3+6=12>0,
∴y随x的增大而增大,
又∵点(a,y1),(a+1,y2)在该函数的图象上,且a
∴y1知识点3 正比例函数图象及性质简单应用
7.已知正比例函数图象过点A(2,-4),点P在y轴上,又B(0,4),且S△ABP=8.
(1)求正比例函数解析式;
【解析】(1)设正比例函数解析式为y=kx(k≠0),
∵A(2,-4)在正比例函数图象上,
∴-4=2k,解得k=-2,
∴正比例函数的解析式为y=-2x.
(2)求点P的坐标.
【解析】(2)设P(0,n),
∵B(0,4),∴PB=|n-4|,
∵S△ABP=8.
∴×|n-4|×2=8,∴|n-4|=8,∴n=12或-4,
∴点P坐标为(0,-4)或(0,12).
【B层 能力进阶】
8.一次函数y=(1-m)x的图象如图所示,则化简+m的结果是(D)
A.2m-1 B.1-2m
C.2m D.1
9.如图,点C,B分别在两条直线y=-3x和y=kx上,点A,D是x轴上两点,若四边形ABCD是正方形,则k的值为 .
10.已知正比例函数y=kx,当自变量x的值增加3时,函数值y相应减少4,则k的值为 - .
11.已知正比例函数y=kx,当-2≤x≤2时,函数有最大值3,则k的值为 或- .
12.已知y-2与3x-4成正比例函数关系,且当x=2时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
【解析】(1)设y-2=k(3x-4),
将x=2,y=3代入,得:2k=1,解得k=,
∴y-2=(3x-4),即y=x;
(2)若点P(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值;
【解析】(2)将点P(a,-3)代入y=x,得:a=-3,
解得:a=-2;
(3)若y的取值范围为-1≤y≤1,求x的取值范围.
【解析】(3)当y=-1时,x=-1,解得:x=-,
当y=1时,x=1,解得:x=,
故-≤x≤.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、抽象能力)已知,如图,在平面直角坐标系中O为坐标原点,点A(5,12)在正比例函数图象上.
(1)求正比例函数的解析式.
【解析】(1)设正比例函数的解析式为y=kx,
∵点A(5,12)在正比例函数图象上,
∴5k=12,
∴k=,
∴正比例函数的解析式为y=x;
(2)点B(7,0)和点C都在x轴上,当△ABC的面积是18时,求点C的坐标.
【解析】(2)如图,
∵△ABC的面积是18,
∴×BC×yA=18,
∴×BC×12=18,
∴BC=3,
当点C在点B的右侧时,点C的坐标为(10,0);
当点C在点B的左侧时,点C的坐标为(4,0);
综上所述,点C的坐标为(10,0)或(4,0);
(3)在y轴上是否存在点M能使△AMO为等腰三角形 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)存在.OA==13,
当OA=OM时,OM=OA=13,
∴M点的坐标为(0,13)或(0,-13);
当AO=AM时,过点A作AN⊥y轴于点N,
则MN=ON=12,
∴OM=24,
∴点M的坐标为(0,24);
当MO=MA时,如图,
设点M的坐标为(0,m),
则m=,
∴m2=25+144-24m+m2,
∴m=,
∴点M的坐标为(0,);
综上所述,点M的坐标为(0,13)或(0,-13)或(0,24)或(0,).三 正比例函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数概念及其应用
1.(2024·南宁期中)下列函数中,是正比例函数的是( )
A.y=2x2 B.y=
C.y=6x D.y=3x-2
2.(2024·烟台期末)当a= 时,函数y=是正比例函数.
3.(1)已知y=(m2-3)x是正比例函数,求m的取值范围;
(2)若函数y=(m2-3)x+m-3是正比例函数,那么m的值是多少
知识点2 正比例函数实际应用
4.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是( )
A.圆的面积S与它的半径r
B.面积是常数S时,长方形的长y与宽x
C.路程是常数s时,行驶的速度v与时间t
D.三角形的底边是常数a时,它的面积S与这条边上的高h
5.(2024·哈尔滨期末)圆柱体的底面积一定,它的体积和高 .(选填“成正比例”“成反比例”“不成比例”)
知识点3 应用正比例函数概念求函数解析式
6.如图,正比例函数y=kx的图象经过点A,
(1)请你求出该正比例函数的解析式;
(2)若这个函数的图象还经过点B(m,m+3),请你求出m的值;
(3)请你判断点P(-,1)是否在这个函数的图象上,为什么
【B层 能力进阶】
7.(2024·上海期末)下面各组变量的关系中,成正比例关系的有( )
A.人的身高与年龄
B.汽车从甲地到乙地,所用时间与行驶速度
C.正方形的面积与它的边长
D.圆的周长与它的半径
8.(2024·晋江期中)已知函数y=(m-3)是正比例函数,则m的值为( )
A.-3 B.3 C.±3 D.9
9.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点 .(写出一个即可)
10.若y与z成正比例,z+1与x成正比例,且当x=1时y=1,当x=0时,y=-3,则y与x的函数关系式为 .
11.根据题意,写出相应的函数解析式,并判断y是否为x的正比例函数.
(1)多边形的每个内角都相等,它的每个外角的度数y与边数x之间的关系;
(2)圆柱的底面圆面积为2 cm2,它的体积y(cm3)与高x(cm)之间的关系;
(3)一棵小树现在高度为80 cm,以后每年长高20 cm,x年后,小树的高度y(cm)与生长的年数x的关系.
12.已知y=y1+y2,y1与x-1成正比,y2与x成正比.当x=2时,y=4;当x=-1时,y=-5.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)当x=-5时,求y的值;
(3)当y>0时,求x的取值范围.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、抽象能力)函数y=x+m+2是正比例函数,求关于x的方程-=2的解. 正比例函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正比例函数的图象
1.正比例函数y=x的图象经过( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
2.(2024·上海期中)若y=(m-1)x是y关于x的正比例函数,且该函数图象经过第二、四象限,则m的取值范围是 .
3.已知关于x的正比例函数y=(m+2)x.
①m为何值时,函数图象经过第一、三象限
②m为何值时,y随x的增大而减小
③m为何值时,点(1,3)在该函数的图象上
知识点2 正比例函数的性质
4.已知函数y=(m-2)x+m2-9是关于x的正比例函数,且其图象经过第二、四象限,则m的值是( )
A.-3 B.3 C.±3 D.9
5.若点A(a,b)是正比例函数y=kx图象上的一点,且a≠0,2a+b=0,则k的值为 .
6.已知y关于x的函数y=(2m+6)x+m-3,且该函数是正比例函数.
(1)求m的值;
(2)若点(a,y1),(a+1,y2)在该函数的图象上,请直接写出y1,y2的大小关系.
知识点3 正比例函数图象及性质简单应用
7.已知正比例函数图象过点A(2,-4),点P在y轴上,又B(0,4),且S△ABP=8.
(1)求正比例函数解析式;
(2)求点P的坐标.
【B层 能力进阶】
8.一次函数y=(1-m)x的图象如图所示,则化简+m的结果是( )
A.2m-1 B.1-2m
C.2m D.1
9.如图,点C,B分别在两条直线y=-3x和y=kx上,点A,D是x轴上两点,若四边形ABCD是正方形,则k的值为 .
10.已知正比例函数y=kx,当自变量x的值增加3时,函数值y相应减少4,则k的值为 .
11.已知正比例函数y=kx,当-2≤x≤2时,函数有最大值3,则k的值为 .
12.已知y-2与3x-4成正比例函数关系,且当x=2时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)若点P(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值;
(3)若y的取值范围为-1≤y≤1,求x的取值范围.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、抽象能力)已知,如图,在平面直角坐标系中O为坐标原点,点A(5,12)在正比例函数图象上.
(1)求正比例函数的解析式.
(2)点B(7,0)和点C都在x轴上,当△ABC的面积是18时,求点C的坐标.
(3)在y轴上是否存在点M能使△AMO为等腰三角形 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.