一次函数与方程、不等式(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A,则关于x,y的二元一次方程组的解是( )
A. B.
C. D.
2.如图,已知一次函数y=kx+2的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与正比例函数y=x交于点C,已知点C的横坐标为2,下列结论:①关于x的方程kx+2=0的解为x=3;②对于直线y=kx+2,当x<3时,y>0;③对于直线y=kx+2,当x>0时,y>2;④方程组的解为,其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
3.如图,直线y=ax-b与直线y=mx+1交于点A(2,3),则方程组的解为( )
A. B.
C. D.
4.如图,已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P,若二元一次方程组的解为x,y,则x+y= .
知识点2 应用一次函数解决实际问题
5.(2024·北京模拟)甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示.
(1)求乙车离开A城的距离y(km)与时间t(h)的函数解析式;
(2)求两车相遇点距A城的距离.
【B层 能力进阶】
6.(2024·茂名质检)如图,一次函数y=kx+b与y=-2x+1的图象相交于点P(a,3),则下列说法错误的是( )
A.k>0
B.b>0
C.关于x的方程kx+b=3的解是x=-1
D.关于x的不等式kx+b<-2x+1的解集是x<3
7.(2024·兰州期末)已知关于x,y的二元一次方程组无解,则一次函数y=kx-7的图象不经过的象限是( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
8.(2024·菏泽期末)若关于x的方程-2x+b=0的解为x=2,则直线y=-2x+b与x轴的交点坐标为 .
9.一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为 .
10.如图,直线y=-x+m与直线y=x+3交点的横坐标为-2.则关于x的不等式组的解集为 .
C层 创新挑战(选做)
11.(推理能力、抽象能力)(教材再开发·P100 T15拓展)春节期间,A,B两家超市开展促销活动,各自推出不同的购物优惠方案,如表:
项目 A超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
(1)当购物金额为90元时,选择 超市(填“A”或“B”)更省钱;当购物金额为120元时,选择 超市(填“A”或“B”)更省钱;
(2)若购物金额为x(100≤x<200)元时,请分别写出A,B两超市的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数解析式,并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱;
(3)对于A超市的优惠方案,随着购物金额的增大,顾客享受的优惠率不变,均为20%(注:优惠率=×100%).若在B超市购物,购物金额越大,享受的优惠率一定越大吗 请举例说明. 一次函数与方程、不等式(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1,a),则关于x的方程2x=-x+b的解为( )
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.
2.在平面直角坐标系中,直线y=5x+b与x轴的交点坐标为(-,0),则该直线与y轴的交点坐标为( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(1,0) D.(0,1)
3.(2024·张家界一模)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=2的解为 .
4.已知直线l1:y=-2x+a和l2:y=x+b图象上部分点的横坐标和纵坐标如表所示,则关于x的方程-2x+a=x+b的解是 .
x -1 0 1 2
y=-2x+a 8 5 2 -1
y=x+b 0 1 2 3
知识点2 一次函数与一元一次不等式
5.(2024·广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
6.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k>0)的图象与直线y=x都经过点A(2,1),当kx+b>x时,x的取值范围是( )
A.x<2 B.x<1
C.x>1 D.x>2
7.如图,一次函数l1:y=2x-2的图象与x轴交于点D,一次函数l2:y=kx+b的图象与x轴交于点A,且经过点B(3,1),两函数图象交于点C(m,2).
(1)求m的值和一次函数l2:y=kx+b的解析式;
(2)根据图象,直接写出kx+b<2x-2的解集.
【B层 能力进阶】
8.(2024·遵义一模)如图,一次函数y=ax+2与y=2x-1的图象相交于点P,则关于x的方程ax+2=2x-1的解是( )
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.x=4
9.如图,已知直线y=kx+b的图象经过点P(1,-1),则关于x的不等式kx+b≥-x的解集是( )
A.x≥-1 B.x≥1
C.x≤1 D.x≤-1
10.一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的部分自变量和对应函数值如表,则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集是( )
x … 0 1 2 3 …
y1 … 2 1 …
y2 … -3 -1 1 3 …
A.x>2 B.x<2
C.x>1 D.x<1
11.如图,一次函数y=ax+b的图象为直线l,则关于x的方程a(x-)+b=0的解为 .
12.(2024·北京中考)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、抽象能力)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于A,C(0,6)两点,且与正比例函数y2=-2x的图象交于点B(-2,m).
(1)求一次函数y1=kx+b的解析式;
(2)当y1>y2时,写出自变量x的取值范围;
(3)若D是一次函数y1=kx+b图象上一点,且=2,求点D的坐标. 一次函数与方程、不等式(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A,则关于x,y的二元一次方程组的解是(B)
A. B.
C. D.
2.如图,已知一次函数y=kx+2的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与正比例函数y=x交于点C,已知点C的横坐标为2,下列结论:①关于x的方程kx+2=0的解为x=3;②对于直线y=kx+2,当x<3时,y>0;③对于直线y=kx+2,当x>0时,y>2;④方程组的解为,其中正确的是(B)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
3.如图,直线y=ax-b与直线y=mx+1交于点A(2,3),则方程组的解为(A)
A. B.
C. D.
4.如图,已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P,若二元一次方程组的解为x,y,则x+y= 3 .
知识点2 应用一次函数解决实际问题
5.(2024·北京模拟)甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示.
(1)求乙车离开A城的距离y(km)与时间t(h)的函数解析式;
(2)求两车相遇点距A城的距离.
【解析】(1)设乙车离开A城的距离y(km)与时间t(h)之间的函数解析式为y=mt+n,
由题意得:,解得:,
∴乙车离开A城的距离y(km)与时间t(h)之间的函数解析式为y=80t-80(1≤t≤4);
(2)设甲对应的函数解析式为y=kt,则240=5k,
解得k=48,即甲对应的函数解析式为y=48t(0≤t≤5),由题意可得,80t-80=48t,
解得t=2.5,
∴甲出发2.5小时,两车相遇,
∴y=48×2.5=120,
∴相遇点距A城距离为120 km.
【B层 能力进阶】
6.(2024·茂名质检)如图,一次函数y=kx+b与y=-2x+1的图象相交于点P(a,3),则下列说法错误的是(D)
A.k>0
B.b>0
C.关于x的方程kx+b=3的解是x=-1
D.关于x的不等式kx+b<-2x+1的解集是x<3
7.(2024·兰州期末)已知关于x,y的二元一次方程组无解,则一次函数y=kx-7的图象不经过的象限是(D)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
8.(2024·菏泽期末)若关于x的方程-2x+b=0的解为x=2,则直线y=-2x+b与x轴的交点坐标为 (2,0) .
9.一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为 y=80x-10 .
10.如图,直线y=-x+m与直线y=x+3交点的横坐标为-2.则关于x的不等式组的解集为 -6C层 创新挑战(选做)
11.(推理能力、抽象能力)(教材再开发·P100 T15拓展)春节期间,A,B两家超市开展促销活动,各自推出不同的购物优惠方案,如表:
项目 A超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
(1)当购物金额为90元时,选择 超市(填“A”或“B”)更省钱;当购物金额为120元时,选择 超市(填“A”或“B”)更省钱;
(2)若购物金额为x(100≤x<200)元时,请分别写出A,B两超市的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数解析式,并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱;
(3)对于A超市的优惠方案,随着购物金额的增大,顾客享受的优惠率不变,均为20%(注:优惠率=×100%).若在B超市购物,购物金额越大,享受的优惠率一定越大吗 请举例说明.
【解析】(1)∵90<100,∴A超市八折优惠,B超市不优惠,∴选择A超市更省钱;
∵100<120<200,
∴A超市应付:120×0.8=96(元),
B超市应付:120-30=90(元),
∵96>90,∴选择B超市更省钱;
答案:A B
(2)当100≤x<200时,
A超市函数解析式为:y=0.8x,
B超市函数解析式为:y=x-30,
当0.8x当0.8x=x-30,即x=150时,A,B两超市花费一样多;
当0.8x>x-30,即100≤x<150时,选择B超市更省钱.
(3)在B超市购物,购物金额越大,享受的优惠率不一定越大,
例如:当在B超市购物100元,返30元,相当于打7折,即优惠率为×100%=30%,
当在B超市购物120元,返30元,则优惠率为×100%=25%,
∴在B超市购物,购物金额越大,享受的优惠率不一定越大. 一次函数与方程、不等式(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1,a),则关于x的方程2x=-x+b的解为(A)
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.
2.在平面直角坐标系中,直线y=5x+b与x轴的交点坐标为(-,0),则该直线与y轴的交点坐标为(D)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(1,0) D.(0,1)
3.(2024·张家界一模)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=2的解为 x=-2 .
4.已知直线l1:y=-2x+a和l2:y=x+b图象上部分点的横坐标和纵坐标如表所示,则关于x的方程-2x+a=x+b的解是 x=1 .
x -1 0 1 2
y=-2x+a 8 5 2 -1
y=x+b 0 1 2 3
知识点2 一次函数与一元一次不等式
5.(2024·广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是(B)
6.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k>0)的图象与直线y=x都经过点A(2,1),当kx+b>x时,x的取值范围是(D)
A.x<2 B.x<1
C.x>1 D.x>2
7.如图,一次函数l1:y=2x-2的图象与x轴交于点D,一次函数l2:y=kx+b的图象与x轴交于点A,且经过点B(3,1),两函数图象交于点C(m,2).
(1)求m的值和一次函数l2:y=kx+b的解析式;
【解析】(1)∵两函数图象交于点C(m,2),
∴把点C的坐标代入y=2x-2得:2=2m-2,
解得:m=2,即C(2,2),
∵函数y=kx+b的图象经过点B(3,1),点C(2,2),
∴,
解得k=-1,b=4,
即y=-x+4,
所以m=2,一次函数l2:y=kx+b的解析式是y=-x+4;
(2)根据图象,直接写出kx+b<2x-2的解集.
【解析】(2)由题图可知不等式kx+b<2x-2的解集是x>2.
【B层 能力进阶】
8.(2024·遵义一模)如图,一次函数y=ax+2与y=2x-1的图象相交于点P,则关于x的方程ax+2=2x-1的解是(D)
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.x=4
9.如图,已知直线y=kx+b的图象经过点P(1,-1),则关于x的不等式kx+b≥-x的解集是(B)
A.x≥-1 B.x≥1
C.x≤1 D.x≤-1
10.一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的部分自变量和对应函数值如表,则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集是(B)
x … 0 1 2 3 …
y1 … 2 1 …
y2 … -3 -1 1 3 …
A.x>2 B.x<2
C.x>1 D.x<1
11.如图,一次函数y=ax+b的图象为直线l,则关于x的方程a(x-)+b=0的解为 x=2+ .
12.(2024·北京中考)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值;
【解析】(1)∵直线y=-kx+3过点(2,1),
∴-2k+3=1,
解得k=1,
将点(2,1)代入y=x+b得:2+b=1,
解得b=-1;
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围.
【解析】(2)∵当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值,也大于函数y=-x+3的值,∴m≥1.
∴m的取值范围是m≥1.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、抽象能力)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于A,C(0,6)两点,且与正比例函数y2=-2x的图象交于点B(-2,m).
(1)求一次函数y1=kx+b的解析式;
【解析】(1)∵点B(-2,m)在 y2=-2x的图象上,∴m=-2×(-2)=4.
∵B(-2,4),C(0,6)在 y1=kx+b 的图象上,
∴,解得,
∴一次函数y1=kx+b 的解析式为y1=x+6;
(2)当y1>y2时,写出自变量x的取值范围;
【解析】(2)当y1>y2 时,x>-2;
(3)若D是一次函数y1=kx+b图象上一点,且=2,求点D的坐标.
【解析】(3)∵S△OAD=·OA·|yD|,S△OAB=·OA·|yB|=2OA,S△OAD=2S△OAB,
∴OA·|yD|=4OA,
∴|yD|=8,
当yD>0 时,yD=8,此时 8=xD+6,解得 xD=2;
当yD<0 时,yD=-8,此时-8=xD+6,解得 xD=-14,
∴点D的坐标为(2,8)或(-14,-8).
