平均数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 组中值
1.下列各组数据中,组中值不是10的是( )
A.7≤x<13 B.8≤x<12
C.3≤x<7 D.0≤x<20
2.如图是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图,利用组中值可估计其平均分为 .
知识点2 用样本平均数估计总体
3.(2023·乐山中考)乐山是一座著名的旅游城市,有着丰富的文旅资源.某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动,政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查,并将调查结果制成统计图,如图所示.估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为( )
A.100 B.150 C.200 D.400
4.(2024·湘潭一模)某校为了了解各班是否落实了“双减”政策,切实减轻了学生作业负担,在九(1)班随机调查了10名学生每天完成作业的时长,调查数据统计如表:
时长/h 2.5 2 1.5 1 0.5
人数 1 2 4 2 1
请你估计九(1)班学生每天完成作业的平均时长约是 h.
5.(2024·沈阳期末)学校举办了一分钟跳绳比赛,据统计,所有参赛学生一分钟的跳绳数均不少于100次,现随机抽取了部分参赛学生一分钟跳绳的次数进行调查统计,并根据成绩分布情况,将抽取的全部成绩分成四组,并绘制了如下统计图表.若A组,B组,C组,D组参赛学生一分钟跳绳的平均次数(单位:次)分别为110,130,150, 190,估计该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数是 次.
被抽查学生一分钟跳绳测试结果统计表
等级 次数 频数
A 100≤x<120 2
B 120≤x<140 6
C 140≤x<160 7
D x≥160 m
6.每年的4月23日是“世界读书日”,某校为了解4月份八年级学生的读书情况,随机调查了八年级50名学生读书的册数,数据整理如下:
册数 0 1 2 3 4
人数 9 3 20 15 3
由此估计该校八年级学生4月份人均读书 册.
【B层 能力进阶】
7.将某样本数据分析整理后分成8组,且组距为5,画频数分布折线图时,求得某组的组中值恰好为18.则该组是( )
A.10.5~15.5 B.15.5~20.5
C.20.5~25.5 D.25.5~30.5
8.水龙头关闭不严会造成滴水,如表记录了30 min内的总漏水量,其中t表示时间,y表示总漏水量.
时间t/min 0 10 20 30
总漏水量y/mL 0 30 60 90
在这种漏水状态下,估计一天(24小时)的总漏水量为 mL.
9.为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况,某数学兴趣小组进行了问卷调查,共收回300份有效调查问卷.分析统计后形成如下统计表:
采用的交通方式 公交车 自行车 私家车 走路
人数 81 39 120 60
根据以上调查结果,试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生为 人.
10.(2024·福建中考)已知A,B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中,A地甲类学校有考生3 000人,数学平均分为90分;乙类学校有考生2 000人,数学平均分为80分.
(1)求A地考生的数学平均分;
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分,乙类学校数学平均分为82分,据此能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高 若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(推理能力、抽象能力、运算能力)推广普及国家通用语言文字是新时代语言文字工作的首要任务,某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,赛后随机抽查部分学生的成绩,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 正确个数x 组中值
A 0≤x<8 4
B 8≤x<16 12
C 16≤x<24 20
D 24≤x<32 28
E 32≤x<40 36
根据以上信息解决下列问题:
(1)本次调查的样本容量为 100 ,并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角是 90° ;
(3)若每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替,则被抽查学生听写正确个数的平均数为 .(一个组的组中值指这个组两个端点数值的平均数)
(4)该校共有3 000名学生,如果听写正确的个数少于24个定为不合格,请估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数. 平均数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 算术平均数
1.小明所在班级学生平均身高是1.41米,小强所在班级学生平均身高1.4米,小明和小强相比( )
A.小明高 B.小强高
C.一样高 D.无法确定谁高
2.已知一组数据0,1,x,3,6的平均数是y,则y关于x的函数解析式是 .
3.已知一组数据x1,x2,x3,…,x20的平均数为7,则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x20+2的平均数为 .
知识点2 加权平均数
4.(2024·深圳模拟)某校“校园之声”社团招新时,需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目,布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分.若评委按照应变能力占20%,知识储备占30%,朗读水平占50%计算加权平均数来作为最终成绩,则布布的最终成绩为( )
A.85分 B.89分
C.90分 D.92分
5.(2024·菏泽期末)学校食堂有15元,18元,20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天盒饭销售情况如图所示,则当天学生购买盒饭费用的平均数是( )
A.15元 B.16元 C.17元 D.18元
6.(2024·深圳期末)某学校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下四项:黑板、门窗、桌椅、地面.其中“地面”最重要,“桌椅和黑板”次之,对“门窗”要求最低.根据这个要求,对黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为( )
A.10%,15%,35%,40%
B.15%,10%,35%,40%
C.15%,10%,40%,35%
D.10%,35%,15%,40%
7.(2024·济宁一模)睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一,也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间(单位:小时)如表所示,则该班级学生每天的平均睡眠时间是 小时.
睡眠时间 8小时 9小时 10小时
人数 6 24 10
8.某公司要招聘一名职员,根据实际需要,从学历、能力和态度三个方面进行测试,将学历、能力和态度三项成绩按2∶4∶4的比例确定最终成绩.某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分,85分,90分,则该面试者的最终成绩为 分.
【B层 能力进阶】
9.某次竞赛每个学生的综合成绩得分(x)与该学生对应的评价等次如表.
综合成绩(x)=预赛成绩×30%+决赛成绩×70% x≥90 80≤x<90
评价等次 优秀 良好
小华同学预赛成绩为80,综合成绩位于良好等次,他决赛的成绩可能为( )
A.71 B.79 C.87 D.95
10.(2024·武汉期末)5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
11.已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为k1;数据x6,x7,x8,x9,x10的平均数为k2;k1与k2的平均数是k;数据x1,x2,x3,…,x8,x9,x10的平均数为m,那么k与m的关系是( )
A.k>m B.k=m
C.k12.(2024·漳州一模)某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按3∶2∶1∶2∶2对员工进行年终考评.公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示,则该职员的年终考评为 分.
13.(2024·盐城期末)某校举办七年级数学素养大赛,比赛共设四个项目:速算比赛、数学推理、七巧拼图、魔方复原,每个项目得分(分值都为整数)都按一定百分比折算后计入总分.并规定总分在85分以上(含85分)设为一等奖.甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为72分,七巧拼图得分均为78分且此两项在总分中所占百分比相等,其余两项得分如图所示.(单位:分)
(1)甲、乙、丙三位同学的速算比赛与七巧拼图项目经折算后的得分和均为30分,求这两项在计入总分时所占的百分比;
(2)据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分,请求出数学推理和魔方复原所占的百分比.
(3)在(1)和(2)的条件下,如果甲获得了第一名,那么甲的魔方复原至少获得
分.
14.某校对九年级3个班级进行综合素质考评,如表是它们五项素质考评得分表(以分为单位,每项满分为10分).
班级 行为 规范 学习 成绩 校运 动会 艺术 获奖 劳动 卫生
九年级(1)班 10 10 6 10 7
九年级(5)班 10 8 8 9 8
九年级(8)班 9 10 9 6 9
(1)计算各班五项考评分的平均数.
(2)现要从三个班级中推荐一个班级为市级先进班集体候选班,并设定如下规则:行为规范∶学习成绩∶校运动会∶艺术获奖∶劳动卫生=3∶3∶2∶1∶1.请通过计算说明推荐市级先进班集体候选班是哪个班.
15.某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长,进行了一次测评活动,邀请了五位老师作为评委,对学生进行个人测评,全班52位同学进行民主测评,结果如图所示:
【确定规则】
①个人测评得分(x1)算法:去掉一个最高分和一个最低分后,再算出平均分;
②民主测评得分(x2)算法:“优”票数×3+“良”票数×2+“中”票数×1;
③综合得分(X)算法:X=0.4x1+0.6x2.
【问题解决】
(1)如果只采用个人测评规则,你认为获胜者是谁;
(2)分别求甲的民主测评得分和乙的民主测评得分;
(3)综合得分高的学生当选为班长,通过计算,判断最终当选的是甲还是乙
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、抽象能力、运算能力)某公司欲招聘一名销售人员,按1∶3的比例入围的甲、乙、丙(笔试成绩没有相同的,按从高到低排列)三位的成绩(百分制,成绩都是整数)如表:
入围者 笔试成绩 面试成绩
甲 90 86
乙 x x
丙 84 92
(1)若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要,结果乙被录取,求x的值;
(2)若公司认为笔试成绩与面试成绩按4∶6的权重,结果乙排第二,丙被录取,求x的值;
(3)若公司认为笔试成绩与面试成绩按a∶(10-a)(a为1~9的整数)的权重,为确保甲被录取,求a的最小值. 平均数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 组中值
1.下列各组数据中,组中值不是10的是(C)
A.7≤x<13 B.8≤x<12
C.3≤x<7 D.0≤x<20
2.如图是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图,利用组中值可估计其平均分为 62 .
知识点2 用样本平均数估计总体
3.(2023·乐山中考)乐山是一座著名的旅游城市,有着丰富的文旅资源.某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动,政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查,并将调查结果制成统计图,如图所示.估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为(C)
A.100 B.150 C.200 D.400
4.(2024·湘潭一模)某校为了了解各班是否落实了“双减”政策,切实减轻了学生作业负担,在九(1)班随机调查了10名学生每天完成作业的时长,调查数据统计如表:
时长/h 2.5 2 1.5 1 0.5
人数 1 2 4 2 1
请你估计九(1)班学生每天完成作业的平均时长约是 1.5 h.
5.(2024·沈阳期末)学校举办了一分钟跳绳比赛,据统计,所有参赛学生一分钟的跳绳数均不少于100次,现随机抽取了部分参赛学生一分钟跳绳的次数进行调查统计,并根据成绩分布情况,将抽取的全部成绩分成四组,并绘制了如下统计图表.若A组,B组,C组,D组参赛学生一分钟跳绳的平均次数(单位:次)分别为110,130,150, 190,估计该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数是 150 次.
被抽查学生一分钟跳绳测试结果统计表
等级 次数 频数
A 100≤x<120 2
B 120≤x<140 6
C 140≤x<160 7
D x≥160 m
6.每年的4月23日是“世界读书日”,某校为了解4月份八年级学生的读书情况,随机调查了八年级50名学生读书的册数,数据整理如下:
册数 0 1 2 3 4
人数 9 3 20 15 3
由此估计该校八年级学生4月份人均读书 2 册.
【B层 能力进阶】
7.将某样本数据分析整理后分成8组,且组距为5,画频数分布折线图时,求得某组的组中值恰好为18.则该组是(B)
A.10.5~15.5 B.15.5~20.5
C.20.5~25.5 D.25.5~30.5
8.水龙头关闭不严会造成滴水,如表记录了30 min内的总漏水量,其中t表示时间,y表示总漏水量.
时间t/min 0 10 20 30
总漏水量y/mL 0 30 60 90
在这种漏水状态下,估计一天(24小时)的总漏水量为 4 320 mL.
9.为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况,某数学兴趣小组进行了问卷调查,共收回300份有效调查问卷.分析统计后形成如下统计表:
采用的交通方式 公交车 自行车 私家车 走路
人数 81 39 120 60
根据以上调查结果,试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生为 117 人.
10.(2024·福建中考)已知A,B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中,A地甲类学校有考生3 000人,数学平均分为90分;乙类学校有考生2 000人,数学平均分为80分.
(1)求A地考生的数学平均分;
【解析】(1)由题意得A地考生的数学平均分为(90×3 000+80×2 000)=86(分).
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分,乙类学校数学平均分为82分,据此能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高 若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
【解析】(2)不能.
举例如下:如B地甲类学校有考生1 000人,乙类学校有考生3 000人,则B地考生的数学平均分为(94×1 000+82×3 000)=85(分),
因为85<86,所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高.(答案不唯一,只要能作出正确判断,并且所举的例子能说明其判断即可)
【C层 创新挑战(选做)】
11.(推理能力、抽象能力、运算能力)推广普及国家通用语言文字是新时代语言文字工作的首要任务,某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,赛后随机抽查部分学生的成绩,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 正确个数x 组中值
A 0≤x<8 4
B 8≤x<16 12
C 16≤x<24 20
D 24≤x<32 28
E 32≤x<40 36
根据以上信息解决下列问题:
(1)本次调查的样本容量为 100 ,并补全条形统计图;
【解析】(1)抽取的学生总数是:15÷15%=100,
D组的人数是100×31%=31,
E组的人数是100×20%=20.
(2)在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角是 90° ;
【解析】(2)C组所占的百分比为:×100%=25%,
∴C组对应的扇形圆心角是360°×25%=90°.
(3)若每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替,则被抽查学生听写正确个数的平均数为 23.04 .(一个组的组中值指这个组两个端点数值的平均数)
【解析】(3)=23.04,即被抽查学生听写正确个数的平均数为23.04个.
(4)该校共有3 000名学生,如果听写正确的个数少于24个定为不合格,请估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.
【解析】(4)3 000×=1 470,
估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数是1 470. 平均数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 算术平均数
1.小明所在班级学生平均身高是1.41米,小强所在班级学生平均身高1.4米,小明和小强相比(D)
A.小明高 B.小强高
C.一样高 D.无法确定谁高
2.已知一组数据0,1,x,3,6的平均数是y,则y关于x的函数解析式是 y=+2 .
3.已知一组数据x1,x2,x3,…,x20的平均数为7,则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x20+2的平均数为 23 .
知识点2 加权平均数
4.(2024·深圳模拟)某校“校园之声”社团招新时,需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目,布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分.若评委按照应变能力占20%,知识储备占30%,朗读水平占50%计算加权平均数来作为最终成绩,则布布的最终成绩为(C)
A.85分 B.89分
C.90分 D.92分
5.(2024·菏泽期末)学校食堂有15元,18元,20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天盒饭销售情况如图所示,则当天学生购买盒饭费用的平均数是(C)
A.15元 B.16元 C.17元 D.18元
6.(2024·深圳期末)某学校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下四项:黑板、门窗、桌椅、地面.其中“地面”最重要,“桌椅和黑板”次之,对“门窗”要求最低.根据这个要求,对黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为(B)
A.10%,15%,35%,40%
B.15%,10%,35%,40%
C.15%,10%,40%,35%
D.10%,35%,15%,40%
7.(2024·济宁一模)睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一,也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间(单位:小时)如表所示,则该班级学生每天的平均睡眠时间是 9.1 小时.
睡眠时间 8小时 9小时 10小时
人数 6 24 10
8.某公司要招聘一名职员,根据实际需要,从学历、能力和态度三个方面进行测试,将学历、能力和态度三项成绩按2∶4∶4的比例确定最终成绩.某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分,85分,90分,则该面试者的最终成绩为 86 分.
【B层 能力进阶】
9.某次竞赛每个学生的综合成绩得分(x)与该学生对应的评价等次如表.
综合成绩(x)=预赛成绩×30%+决赛成绩×70% x≥90 80≤x<90
评价等次 优秀 良好
小华同学预赛成绩为80,综合成绩位于良好等次,他决赛的成绩可能为(C)
A.71 B.79 C.87 D.95
10.(2024·武汉期末)5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是(C)
A.7 B.8 C.9 D.10
11.已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为k1;数据x6,x7,x8,x9,x10的平均数为k2;k1与k2的平均数是k;数据x1,x2,x3,…,x8,x9,x10的平均数为m,那么k与m的关系是(B)
A.k>m B.k=m
C.k12.(2024·漳州一模)某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按3∶2∶1∶2∶2对员工进行年终考评.公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示,则该职员的年终考评为 7.6 分.
13.(2024·盐城期末)某校举办七年级数学素养大赛,比赛共设四个项目:速算比赛、数学推理、七巧拼图、魔方复原,每个项目得分(分值都为整数)都按一定百分比折算后计入总分.并规定总分在85分以上(含85分)设为一等奖.甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为72分,七巧拼图得分均为78分且此两项在总分中所占百分比相等,其余两项得分如图所示.(单位:分)
(1)甲、乙、丙三位同学的速算比赛与七巧拼图项目经折算后的得分和均为30分,求这两项在计入总分时所占的百分比;
【解析】(1)×100%=20%,
答:这两项在计入总分时所占的百分比为20%;
(2)据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分,请求出数学推理和魔方复原所占的百分比.
【解析】(2)设数学推理百分比为x,魔方复原的百分比为y,
根据题意得,解得x=40%,y=30%,
答:数学推理和魔方复原所占的百分比分别为40%、30%;
(3)在(1)和(2)的条件下,如果甲获得了第一名,那么甲的魔方复原至少获得
74 分.
【解析】(3)∵甲获得了第一名,∴甲同学的总分大于90分,
设甲的魔方复原至少获得m分,根据题意得95×40%+30%·m+30>90,
解得m>,∵分值都为整数,∴m≥74.
14.某校对九年级3个班级进行综合素质考评,如表是它们五项素质考评得分表(以分为单位,每项满分为10分).
班级 行为 规范 学习 成绩 校运 动会 艺术 获奖 劳动 卫生
九年级(1)班 10 10 6 10 7
九年级(5)班 10 8 8 9 8
九年级(8)班 9 10 9 6 9
(1)计算各班五项考评分的平均数.
【解析】(1)设P1,P5,P8顺次为3个班考评分的平均数,
则P1=×(10+10+6+10+7)=8.6(分),
P5=×(10+8+8+9+8)=8.6(分),
P8=×(9+10+9+6+9)=8.6(分);
(2)现要从三个班级中推荐一个班级为市级先进班集体候选班,并设定如下规则:行为规范∶学习成绩∶校运动会∶艺术获奖∶劳动卫生=3∶3∶2∶1∶1.请通过计算说明推荐市级先进班集体候选班是哪个班.
【解析】(2)设k1,k5,k8顺次为3个班的考评分,则:
k1=0.3×10+0.3×10+0.2×6+0.1×10+0.1×7=8.9,
k5=0.3×10+0.3×8+0.2×8+0.1×9+0.1×8=8.7,
k8=0.3×9+0.3×10+0.2×9+0.1×6+0.1×9=9,
因为k8>k1>k5,所以推荐九(8)班作为市级先进班集体候选班.
15.某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长,进行了一次测评活动,邀请了五位老师作为评委,对学生进行个人测评,全班52位同学进行民主测评,结果如图所示:
【确定规则】
①个人测评得分(x1)算法:去掉一个最高分和一个最低分后,再算出平均分;
②民主测评得分(x2)算法:“优”票数×3+“良”票数×2+“中”票数×1;
③综合得分(X)算法:X=0.4x1+0.6x2.
【问题解决】
(1)如果只采用个人测评规则,你认为获胜者是谁;
【解析】(1)甲的个人测评得分为=92(分),
乙的个人测评得分为=89(分),∵92>89,∴获胜者是甲;
(2)分别求甲的民主测评得分和乙的民主测评得分;
【解析】(2)甲的民主测评得分为40×3+7×2+5×1=139(分),乙的民主测评得分为45×3+6×2+1×1=148(分),∴甲的民主测评得分为139分,乙的民主测评得分为148分;
(3)综合得分高的学生当选为班长,通过计算,判断最终当选的是甲还是乙
【解析】(3)甲的综合得分为0.4×92+0.6×139=120.2(分),
乙的综合得分为0.4×89+0.6×148=124.4(分),
∵124.4>120.2,∴最终当选的是乙.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、抽象能力、运算能力)某公司欲招聘一名销售人员,按1∶3的比例入围的甲、乙、丙(笔试成绩没有相同的,按从高到低排列)三位的成绩(百分制,成绩都是整数)如表:
入围者 笔试成绩 面试成绩
甲 90 86
乙 x x
丙 84 92
(1)若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要,结果乙被录取,求x的值;
【解析】(1)甲的平均成绩为=88(分),
乙的平均成绩为=x(分),
丙的平均成绩为=88(分),
∵88(2)若公司认为笔试成绩与面试成绩按4∶6的权重,结果乙排第二,丙被录取,求x的值;
【解析】(2)甲的平均成绩为=87.6(分),
乙的平均成绩为=x(分),
丙的平均成绩为=88.8(分),
∵87.6(3)若公司认为笔试成绩与面试成绩按a∶(10-a)(a为1~9的整数)的权重,为确保甲被录取,求a的最小值.
【解析】(3)甲的平均成绩为=0.4a+86,乙的平均成绩为x分,
丙的平均成绩为=92-0.8a,
要确保甲被录取,则,
解得a>7.5,所以整数a的最小值为8,
答:a的最小值为8.
