数据的波动程度(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 方差的简单应用
1.(2024·宁波一模)要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手,应关注的统计量是(B)
A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数
2.(2023·丹东中考)某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛,他们比赛成绩的平均数和方差如下表:
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数/cm 169 168 169 168
方差 6.0 17.3 5.0 19.5
根据表中数据,要从中选择一名平均成绩好,且发挥稳定的运动员参加比赛,最合适的人选是(C)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.如图是甲、乙两位选手6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,我们可以判断 甲 选手的成绩更稳定.(填“甲”或“乙”)
知识点2 方差的综合应用
4.(2024·咸阳一模)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛,他们两人10次射击训练的成绩情况如下:
甲队员:6,4,6,8,9,8,7,7,10,8;
乙队员的成绩如图.
队员 平均数 (环) 中位数 (环) 众数 (环) 方差 (环2)
甲 7.3 b c 2.61
乙 a 7 7 d
根据以上信息,整理分析数据如下:
(1)表格中a= 7 ,b= 7.5 ,c= 8 ;
【解析】(1)乙的平均成绩a=×(1×5+2×6+4×7+2×8+1×9)=7(环);
∵将甲队员的射击成绩按从小到大的顺序排列,最中间的两个数是7和8,
∴甲队员的射击成绩的中位数b==7.5;
∵甲队员的射击成绩中出现次数最多的是8环,
∴甲队员的射击成绩的众数c=8;
(2)求出d的值,并判断哪名队员的成绩更稳定;
【解析】(2)乙的方差d=×[(5-7)2+2×(6-7)2+4×(7-7)2+2×(8-7)2+(9-7)2]=1.2,
∵乙的方差<甲的方差,
∴乙队员的成绩更稳定;
(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛,你认为应选哪名队员 请结合表中的四个统计量,作出简要分析.
【解析】(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛,我认为应选甲队员.
理由:因为甲的平均数、中位数、众数都高于乙,所以应选甲.
【B层 能力进阶】
5.小明在计算一组数据的方差时,列出的算式如下:s2=[3(7-)2+2(8-)2 +2(7-)2 +m(5-)2+(9-)2],分析算式中的信息,则m= 2 ,= 7 .
6.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是2,则另一组数据2x1-5,2x2-5,…,2xn-5的方差是
8 .
7.(2024·北京模拟)如图是30名学生A,B两门课程成绩的统计图,若记这30名学生A课程成绩的方差为,B课程成绩的方差为,则,的大小关系为(A)
A.< B.= C.> D.不确定
8.某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛,小明和小刚入选,二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环,小明成绩的方差=0.35,小刚成绩的方差=a.若教练根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛,则a的值可能为(A)
A.0.34 B.0.36 C.0.4 D.0.42
9.为提高学生防诈骗意识,某校对学生进行“防诈骗”知识测评.该校随机抽取了50名学生“防诈骗”知识测评的成绩,统计图(如图)和统计表如下:
数据分析表
平均数/分 众数/分 中位数/分
7.6 a b
根据数据分析,解决下列问题:
(1)a= 8 分,b= 8 分;
(2)从中随机抽取10名学生的成绩分为A、B两组:
A组学生的成绩/分 6 7 9 6 7
B组学生的成绩/分 5 9 7 8 6
通过计算判断A、B两组的成绩中哪一组成绩的稳定性较好;
(3)该校计划确定最多前60%的学生为“良好”,请估计“良好”成绩的最低分数.
(参考:平均数:=(x1+…+xn);方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2])
【解析】(1)由条形统计图可得,众数a=8;
中位数为第25名,26名同学的成绩,即b==8.
(2)A组的平均分为==7(分),B组的平均分为==7(分),
A组的成绩的方差为s2=[(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2]=,
B组的成绩的方差为s2=[(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2]=2,
∵<2,∴A组成绩的稳定性较好;
(3)=56%<60%,=72%>60%,
∴该校计划确定最多前60%的学生为“良好”,则“良好”的成绩的最低分数为8分.
【C层 创新挑战(选做)】
10.(推理能力、抽象能力、运算能力)近年来,未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势,为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识,某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛.现随机抽取八(2)、八(3)两班各15名同学的测试成绩(设为x)进行整理分析,结果如下:
【收集数据】八(2)班抽取的测试成绩为78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93, 92,99,95,100.
八(3)班抽取的测试成绩中,90≤x<95的成绩为91,92,94,90,93.
【整理数据】
班级 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100
八(2)班 1 1 3 4 6
八(3)班 1 2 3 5 4
根据以上信息,解答下列问题:
(1)八(2)班成绩的众数为 100 ,八(3)班成绩的中位数为 91 ;
【解析】(1)八(2)班15名学生的测试成绩出现次数最多的是100,出现了2次,
∴八(2)班成绩的众数为100,
∵八(3)班成绩的中位数是第8位同学的成绩,第8位同学的成绩在90≤x<95阶段(成从小到大排列)的第二名同学,即90,91,92,93,94,
∴八(3)班成绩的中位数是91,
(2)若规定测试成绩在92分及其以上为优秀,请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数;
【解析】(2)八(2)班成绩在92分及其以上的人数有9人,八(3)班成绩在92分及其以上的人数有3+4=7(人),
∴成绩在92分及其以上的人数有9+7=16(人),
∴480×=256(人),
∴480名学生中成绩为优秀的学生共有256人;
(3)根据以上数据,若八(3)班平均分为90分,方差为50.2,你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好 请说明理由(写出一个理由即可).
【解析】(3)八(2)班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好,理由如下:
八(2)班学生竞赛成绩的平均分为
×(78+83+89+97+98+85+100+94+87+90+93+92+99+95+100)=92(分),
八(2)班学生竞赛成绩的方差为
s2=×[(78-92)2+(83-92)2+(89-92)2+(97-92)2+(98-92)2+(85-92)2+(100-92)2+(94-92)2+(87-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(92-92)2+(99-92)2+(95-92)2+(100-92)2]≈41,
∵八(2)班的平均分为92分,方差是41,八(3)班的平均分为90分,方差是50.2,
∴八(2)班学生竞赛成绩的平均分高于八(3)班的平均分,八(2)班学生竞赛成绩的方差低于八(3)班的方差,
∴八(2)班学生竞赛成绩更好,八(2)班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好.
综上所述,八(2)班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好.(合理即可) 数据的波动程度(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 方差的简单应用
1.(2024·宁波一模)要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手,应关注的统计量是( )
A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数
2.(2023·丹东中考)某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛,他们比赛成绩的平均数和方差如下表:
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数/cm 169 168 169 168
方差 6.0 17.3 5.0 19.5
根据表中数据,要从中选择一名平均成绩好,且发挥稳定的运动员参加比赛,最合适的人选是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.如图是甲、乙两位选手6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,我们可以判断 选手的成绩更稳定.(填“甲”或“乙”)
知识点2 方差的综合应用
4.(2024·咸阳一模)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛,他们两人10次射击训练的成绩情况如下:
甲队员:6,4,6,8,9,8,7,7,10,8;
乙队员的成绩如图.
队员 平均数 (环) 中位数 (环) 众数 (环) 方差 (环2)
甲 7.3 b c 2.61
乙 a 7 7 d
根据以上信息,整理分析数据如下:
(1)表格中a= ,b= ,c= ;
(2)求出d的值,并判断哪名队员的成绩更稳定;
(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛,你认为应选哪名队员 请结合表中的四个统计量,作出简要分析.
【B层 能力进阶】
5.小明在计算一组数据的方差时,列出的算式如下:s2=[3(7-)2+2(8-)2 +2(7-)2 +m(5-)2+(9-)2],分析算式中的信息,则m= ,= .
6.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是2,则另一组数据2x1-5,2x2-5,…,2xn-5的方差是
.
7.(2024·北京模拟)如图是30名学生A,B两门课程成绩的统计图,若记这30名学生A课程成绩的方差为,B课程成绩的方差为,则,的大小关系为( )
A.< B.= C.> D.不确定
8.某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛,小明和小刚入选,二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环,小明成绩的方差=0.35,小刚成绩的方差=a.若教练根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛,则a的值可能为( )
A.0.34 B.0.36 C.0.4 D.0.42
9.为提高学生防诈骗意识,某校对学生进行“防诈骗”知识测评.该校随机抽取了50名学生“防诈骗”知识测评的成绩,统计图(如图)和统计表如下:
数据分析表
平均数/分 众数/分 中位数/分
7.6 a b
根据数据分析,解决下列问题:
(1)a= 分,b= 分;
(2)从中随机抽取10名学生的成绩分为A、B两组:
A组学生的成绩/分 6 7 9 6 7
B组学生的成绩/分 5 9 7 8 6
通过计算判断A、B两组的成绩中哪一组成绩的稳定性较好;
(3)该校计划确定最多前60%的学生为“良好”,请估计“良好”成绩的最低分数.
(参考:平均数:=(x1+…+xn);方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2])
【C层 创新挑战(选做)】
10.(推理能力、抽象能力、运算能力)近年来,未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势,为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识,某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛.现随机抽取八(2)、八(3)两班各15名同学的测试成绩(设为x)进行整理分析,结果如下:
【收集数据】八(2)班抽取的测试成绩为78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93, 92,99,95,100.
八(3)班抽取的测试成绩中,90≤x<95的成绩为91,92,94,90,93.
【整理数据】
班级 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100
八(2)班 1 1 3 4 6
八(3)班 1 2 3 5 4
根据以上信息,解答下列问题:
(1)八(2)班成绩的众数为 100 ,八(3)班成绩的中位数为 91 ;
(2)若规定测试成绩在92分及其以上为优秀,请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数;
(3)根据以上数据,若八(3)班平均分为90分,方差为50.2,你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好 请说明理由(写出一个理由即可). 数据的波动程度(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 方差的概念及其计算
1.方差是刻画一组数据波动大小的量,对于一组数据x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式计算方差:s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+…+(xn-3)2],其中“3”是这组数据的( )
A.最小值 B.平均数
C.众数 D.中位数
2.2023年杭州亚运会,有五位同学参加了“中国舞迎亚运”活动,已知小队中的每个人的身高(单位:cm)分别为168,167,170,172,158.则这些队员的身高的方差为( )
A.116 B.33.4 C.23.2 D.4.8
3.一组数据2,5,x,6,7的平均数是5,则这组数据的众数和方差分别是( )
A.4和2.8 B.5和2.8
C.5和14 D.4和14
4.(2024·唐山一模)老师在黑板上写出一个计算方差的算式:s2=[(10-7.8)2+ (9-7.8)2+ (8-7.8)2+2×(6-7.8)2],根据上式还原得到的数据,下列结论不正确的是( )
A.n=5
B.平均数为7.8
C.添加一个数7.8后方差不变
D.这组数据的众数是6
知识点2 根据方差判断稳定性
5.(2024·上海中考)科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花,表格中记录了四种花开花时间的平均数和方差.甲、乙、丙、丁中开花时间最短的并且最稳定的是( )
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类
6.(2024·周口期末)一次投篮训练中,甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮,每人投篮成绩的平均数都是8,方差分别为=0.20,=0.38,=0.24,=0.75,成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.(2024·龙岩模拟)A,B两名射击运动员进行了相同次数的射击,下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是( )
A.>且> B.<且>
C.>且< D.<且<
8.王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山,各栽种了100棵杨梅树,成活98%,现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情况,他分别从两山上随机各采摘了四棵杨梅树上的杨梅,每棵的产量如图所示,由统计图提供的信息可知,杨梅产量较稳定的是 .
【B层 能力进阶】
9.为提高学生的运算能力,某校开展“计算小达人”活动,已知甲班10名学生测试成绩的方差是=0.18,乙班10名学生测试成绩的方差是=m,两班学生测试成绩的平均分都是96分,学校根据平均分和方差判定甲班胜出,则m的值可能是( )
A.0.21 B.0.18 C.0.16 D.0.15
10.(2024·青岛二模)已知甲、乙两组各10名同学进行跳绳比赛,统计结果:两组的平均数相同,但甲组同学跳绳成绩的方差为0.005,乙组同学跳绳成绩的方差为0.025,则( )
A.甲组成绩比乙组成绩更稳定
B.乙组成绩比甲组成绩更稳定
C.甲组比乙组跳得多
D.甲、乙两组的成绩稳定性不能比较
11.(2024·唐山模拟)为了解小组内学生跳远成绩的情况,第一组和第二组各自计算了本小组跳远成绩的方差,算式如下:
第一组:=[(5-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(9-8)2].
第二组:=[(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(5-8)2].
则下列说法不正确的是( )
A.两个小组的人数都是5
B.第一组的跳远成绩较稳定
C.两个小组跳远成绩的众数相同
D.两个小组的跳远成绩都在8分上下波动
12.(2024·北京二模)一组数据3,2,4,2,6,5,6的平均数为4,方差为.再添加一个数据4,得到一组新数据.若记这组新数据的方差为,则 (填“>”“=”或“<”).
13.(2024·扬州一模)用方差公式计算一组数据的方差:s2=[(4-6)2+(7-6)2+(9-6)2+ (m-6)2+(n-6)2],则m+n= .
14.(2024·北京模拟)在一次数学测试中,同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表:
班级 平均分 中位数 方差
甲班 92.5 95.5 41.25
乙班 92.5 90.5 36.06
数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估,学生的评估结果如下:
①这次数学测试成绩中,甲、乙两个班的平均水平相同;
②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少;
③乙班学生的数学成绩比较整齐,分化较小.
上述评估中,正确的是 .(填序号)
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、抽象能力、运算能力)(教材再开发·P126练习T2拓展)为庆祝两会胜利召开,学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛,为便于统计成绩,制定了取“整十”的计分方式,满分100分.竞赛成绩如图所示:
项目 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 70 80 188
九年级竞赛成绩 m 80 n
(1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗 通过计算说明理由;
(2)请根据图表中的信息,回答下列问题:
①表中m= ,n= ;
②现要给成绩突出的年级颁奖,结合众数和方差两个角度来分析,你认为应该给哪个年级颁奖 请说明理由. 数据的波动程度(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 方差的概念及其计算
1.方差是刻画一组数据波动大小的量,对于一组数据x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式计算方差:s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+…+(xn-3)2],其中“3”是这组数据的(B)
A.最小值 B.平均数
C.众数 D.中位数
2.2023年杭州亚运会,有五位同学参加了“中国舞迎亚运”活动,已知小队中的每个人的身高(单位:cm)分别为168,167,170,172,158.则这些队员的身高的方差为(C)
A.116 B.33.4 C.23.2 D.4.8
3.一组数据2,5,x,6,7的平均数是5,则这组数据的众数和方差分别是(B)
A.4和2.8 B.5和2.8
C.5和14 D.4和14
4.(2024·唐山一模)老师在黑板上写出一个计算方差的算式:s2=[(10-7.8)2+ (9-7.8)2+ (8-7.8)2+2×(6-7.8)2],根据上式还原得到的数据,下列结论不正确的是(C)
A.n=5
B.平均数为7.8
C.添加一个数7.8后方差不变
D.这组数据的众数是6
知识点2 根据方差判断稳定性
5.(2024·上海中考)科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花,表格中记录了四种花开花时间的平均数和方差.甲、乙、丙、丁中开花时间最短的并且最稳定的是(B)
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类
6.(2024·周口期末)一次投篮训练中,甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮,每人投篮成绩的平均数都是8,方差分别为=0.20,=0.38,=0.24,=0.75,成绩最稳定的是(A)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.(2024·龙岩模拟)A,B两名射击运动员进行了相同次数的射击,下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是(C)
A.>且> B.<且>
C.>且< D.<且<
8.王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山,各栽种了100棵杨梅树,成活98%,现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情况,他分别从两山上随机各采摘了四棵杨梅树上的杨梅,每棵的产量如图所示,由统计图提供的信息可知,杨梅产量较稳定的是 乙山 .
【B层 能力进阶】
9.为提高学生的运算能力,某校开展“计算小达人”活动,已知甲班10名学生测试成绩的方差是=0.18,乙班10名学生测试成绩的方差是=m,两班学生测试成绩的平均分都是96分,学校根据平均分和方差判定甲班胜出,则m的值可能是(A)
A.0.21 B.0.18 C.0.16 D.0.15
10.(2024·青岛二模)已知甲、乙两组各10名同学进行跳绳比赛,统计结果:两组的平均数相同,但甲组同学跳绳成绩的方差为0.005,乙组同学跳绳成绩的方差为0.025,则(A)
A.甲组成绩比乙组成绩更稳定
B.乙组成绩比甲组成绩更稳定
C.甲组比乙组跳得多
D.甲、乙两组的成绩稳定性不能比较
11.(2024·唐山模拟)为了解小组内学生跳远成绩的情况,第一组和第二组各自计算了本小组跳远成绩的方差,算式如下:
第一组:=[(5-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(9-8)2].
第二组:=[(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(5-8)2].
则下列说法不正确的是(B)
A.两个小组的人数都是5
B.第一组的跳远成绩较稳定
C.两个小组跳远成绩的众数相同
D.两个小组的跳远成绩都在8分上下波动
12.(2024·北京二模)一组数据3,2,4,2,6,5,6的平均数为4,方差为.再添加一个数据4,得到一组新数据.若记这组新数据的方差为,则 < (填“>”“=”或“<”).
13.(2024·扬州一模)用方差公式计算一组数据的方差:s2=[(4-6)2+(7-6)2+(9-6)2+ (m-6)2+(n-6)2],则m+n= 10 .
14.(2024·北京模拟)在一次数学测试中,同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表:
班级 平均分 中位数 方差
甲班 92.5 95.5 41.25
乙班 92.5 90.5 36.06
数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估,学生的评估结果如下:
①这次数学测试成绩中,甲、乙两个班的平均水平相同;
②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少;
③乙班学生的数学成绩比较整齐,分化较小.
上述评估中,正确的是 ①③ .(填序号)
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、抽象能力、运算能力)(教材再开发·P126练习T2拓展)为庆祝两会胜利召开,学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛,为便于统计成绩,制定了取“整十”的计分方式,满分100分.竞赛成绩如图所示:
项目 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 70 80 188
九年级竞赛成绩 m 80 n
(1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗 通过计算说明理由;
【解析】(1)由题意得,八年级成绩的平均数是(60×7+70×15+80×10+90×7+100×11)÷50=80(分),
九年级成绩的平均数是(60×8+70×9+80×14+90×13+100×6)÷50=80(分),
故用平均数无法判断哪个年级的成绩比较好.
(2)请根据图表中的信息,回答下列问题:
①表中m= 80 ,n= 156 ;
②现要给成绩突出的年级颁奖,结合众数和方差两个角度来分析,你认为应该给哪个年级颁奖 请说明理由.
【解析】(2)①九年级竞赛成绩中80出现的次数最多,故众数m=80;
九年级竞赛成绩的方差为s2=[8×(60-80)2+9×(70-80)2+14×(80-80)2+
13×(90-80)2+6×(100-80)2]=156,所以n=156.
②如果从众数角度看,八年级的众数为70,九年级的众数为80,∴应该给九年级颁奖;如果从方差角度看,八年级的方差为188,九年级的方差为156,
∴应该给九年级颁奖.
综上所述,应该给九年级颁奖.
