第十八章 平行四边形(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在平行四边形ABCD中,∠A=160°,则∠D=(A)
A.20° B.40° C.140° D.160°
2.(2023·常德中考)下列命题正确的是(A)
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
3.(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC =22°,则∠A'EB等于(A)
A.56° B.60° C.57° D.48°
5.如图,在△ABC中,点D,E,F分别为AB,BC,AC边的中点,AG⊥BC于点G,DE=5,则线段FG的长为(C)
A.3 B.2 C.5 D.4
6.如图,菱形ABCO中的顶点O,A的坐标分别为(0,0),(1,),点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标为(B)
A.(2,) B.(3,) C.(2,) D.(3,)
7.(2023·内蒙古中考)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=120°,顺次连接菱形ABCD各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为(C)
A.4+2 B.6+2 C.4+4 D.6+4
8.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,若CD=3,AB的长为 6 .
10.如图,在 ABCD中,BA=BD,AE⊥BD,若∠C=70°,则∠DAE的度数为 20° .
11.(2023·大连中考)如图,在菱形ABCD中,AC,BD为菱形的对角线,∠DBC=
60°,BD=10,点F为BC中点,则EF的长为 5 .
12.如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=35°,则∠CFD的度数为 80° .
13.在矩形ABCD中,AB=5,CB=12,连接AC,∠BAC的平分线交BC于点E,则线段BE的长为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°,∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC=70°,
∵AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF=70°,∵DF∥BE,∴∠ABE=∠AFD=70°.
16.(8分)(2024·泰安期中)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.
(1)求证:AB=DF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD,AD∥BC,∠B=∠C=90°,
∴∠DAF=∠AEB,∵DF⊥AE,AE=BC,∴∠AFD=90°,AE=AD,
∴△ABE≌△DFA(AAS),∴AB=DF;
(2)若CE=2,AF=6,求DF的长.
【解析】(2)由(1)得△ABE≌△DFA,∴AF=BE=6,DF=AB=CD,
∵∠DFE=∠DCE=90°,DE=DE,∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),
∴CE=EF=2,∴AE=6+2=8,
在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AB==2,∴DF=AB=2.
17.(8分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在BA的延长线上,对角线AC与BD交于点M,EM交AD于点F,且∠EFD=105°.
(1)求∠E的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∴∠EAD=∠ABC=80°,∴∠E=∠EFD-∠EAD=105°-80°=25°;
(2)求证:AM=AE.
【解析】(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAB=180°-∠ABC=100°,
∵AC平分∠DAB,∴∠BAC=∠DAB=50°,
∴∠AME=∠BAC-∠E=50°-25°=25°=∠E,
∴AM=AE.
18.(8分)(2023·西宁中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AB,CD的延长线上,且BE=DF,连接EF与AC交于点M,连接AF,CE.
(1)求证:△AEM≌△CFM;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC(平行四边形的对边平行且相等),
∴∠AEM=∠CFM(两直线平行,内错角相等),∵BE=DF,
∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF,
在△AEM和△CFM中,,
∴△AEM≌△CFM(AAS);
(2)若AC⊥EF,AF=3,求四边形AECF的周长.
【解析】(2)∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
又∵AC⊥EF,
∴ AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形),
∴AE=EC=CF=AF(菱形的四条边都相等),
∴菱形AECF的周长=4AF=4×3=12.
19.(10分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF.
(1)求证:△ODE≌△FCE;
【解析】(1)∵点E是CD的中点,∴CE=DE,
又∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,
在△ODE和△FCE中,,
∴△ODE≌△FCE(ASA);
(2)试判断四边形ODFC的形状,并写出证明过程.
【解析】(2)四边形ODFC为矩形,证明如下:∵△ODE≌△FCE,
∴OE=FE,又∵CE=DE,∴四边形ODFC为平行四边形,∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,即∠DOC=90°,∴ ODFC为矩形.
20.(10分)(2024·安阳期中)综合与实践
问题情境:数学课上,同学们以特殊四边形为基本图形,添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在 ABCD中,AB特例探究:(1)如图1,“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形,发现四边形DEGF是正方形,请你证明这一结论;
(2)“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG,AC,得到图2,发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系,请你帮他们写出结论并说明理由;
拓展延伸:(3)“善问”小组的同学计划对 ABCD展开类似研究.如图3,在 ABCD中,∠ABC=60°.当AB=4,BC=6时,请补全图形,并直接写出A,G两点之间的距离.
【解析】(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠C=90°,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠FED=∠EBC,∠EFD=∠ABE,∠FDE=∠C=90°,
∵四边形DEGF为平行四边形,∴四边形DEGF为矩形,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=∠ABC,∴∠FED=∠EFD,
∴DE=DF,∴矩形DEGF为正方形.
(2)BG=AC,理由如下:
连接DG交BF于点O,连接BD,如图,
由(1)得四边形DEGF为正方形,
∴DG⊥EF,GO=OD,∴BF垂直平分DG,∴BG=BD,
∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,∴BG=AC.
(3)补全图形如图,过点G作GH⊥AD交AD于点H,连接AG,
由题意得四边形DFGE为平行四边形,
∵∠ABC=60°,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°,
∵AD∥BC,AB=4,BC=6,∴∠ABE=∠AEB=30°,
∴AB=AE=4,DE=AD-AE=BC-AE=2,∵AD∥BC,DF∥GE,
∴∠CBE=∠DEF=30°,∠DEG=∠ABC=60°,∴∠EGH=30°,
∵GF∥DE,∴∠DEF=∠GFE=30°,∴∠GED=∠GFD=60°,
∴四边形DFGE为菱形,∴GE=DE=2,
∵∠EGH=30°,∴EH=EG=1,GH==,
∴AH=AE+EH=5,∴AG===2,
∴A,G两点之间的距离为2.
【附加题】(10分)
(2023·广西中考)【探究与证明】
折纸操作简单,富有数学趣味,我们可以通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【动手操作】如图1,将矩形纸片ABCD对折,使AD与BC重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片,使点B落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为B',E',展平纸片,连接AB',BB',BE'.
请完成:
(1)观察图1中∠1,∠2和∠3,试猜想这三个角的大小关系;
(2)证明(1)中的猜想;
【类比操作】如图2,N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点,连接BN,在AB上取一点P,折叠纸片,使B,P两点重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片,使点B,P分别落在EF,BN上,得到折痕l,点B,P的对应点分别为B',P',展平纸片,连接P'B'.
请完成:
(3)证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
【解析】(1)由题意可知∠1=∠2=∠3;
(2)由折叠的性质可得AB'=BB',AB=AB',AE=AE',AE=BE,
∴AB'=BB'=AB,AE'=B'E',∴△ABB'是等边三角形,
∵AE'=B'E',∠ABB'=60°,∴∠ABE'=∠B'BE'=∠ABB'=30°,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴∠3=30°,∴∠1=∠2=∠3;
(3)连接PB',如图所示:
由折叠的性质可得BB'=PB',PB=P'B',∠PBB'=∠P'B'B,
∵折痕B'E⊥AB,BB'=PB',∴∠PB'E=∠BB'E=∠BB'P,
∵四边形ABCD为矩形,∴∠EBC=90°,∴CB⊥AB,
∵B'E⊥AB,∴B'E∥BC,∴∠BB'E=∠CBB'=∠BB'P,
∵在△PBB'和△P'B'B中,,∴△PBB'≌△P'B'B(SAS),
∴∠P'BB'=∠PB'B,∴∠CBB'=∠NBB',∴∠CBB'=∠NBC,
∴BB'是∠NBC的一条三等分线.第十八章 平行四边形(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在平行四边形ABCD中,∠A=160°,则∠D=( )
A.20° B.40° C.140° D.160°
2.(2023·常德中考)下列命题正确的是( )
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
3.(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC =22°,则∠A'EB等于( )
A.56° B.60° C.57° D.48°
5.如图,在△ABC中,点D,E,F分别为AB,BC,AC边的中点,AG⊥BC于点G,DE=5,则线段FG的长为( )
A.3 B.2 C.5 D.4
6.如图,菱形ABCO中的顶点O,A的坐标分别为(0,0),(1,),点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标为( )
A.(2,) B.(3,) C.(2,) D.(3,)
7.(2023·内蒙古中考)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=120°,顺次连接菱形ABCD各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为( )
A.4+2 B.6+2 C.4+4 D.6+4
8.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,若CD=3,AB的长为 .
10.如图,在 ABCD中,BA=BD,AE⊥BD,若∠C=70°,则∠DAE的度数为 .
11.(2023·大连中考)如图,在菱形ABCD中,AC,BD为菱形的对角线,∠DBC=
60°,BD=10,点F为BC中点,则EF的长为 .
12.如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=35°,则∠CFD的度数为 .
13.在矩形ABCD中,AB=5,CB=12,连接AC,∠BAC的平分线交BC于点E,则线段BE的长为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
16.(8分)(2024·泰安期中)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.
(1)求证:AB=DF;
(2)若CE=2,AF=6,求DF的长.
17.(8分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在BA的延长线上,对角线AC与BD交于点M,EM交AD于点F,且∠EFD=105°.
(1)求∠E的度数.
(2)求证:AM=AE.
18.(8分)(2023·西宁中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AB,CD的延长线上,且BE=DF,连接EF与AC交于点M,连接AF,CE.
(1)求证:△AEM≌△CFM;
(2)若AC⊥EF,AF=3,求四边形AECF的周长.
19.(10分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF.
(1)求证:△ODE≌△FCE;
(2)试判断四边形ODFC的形状,并写出证明过程.
20.(10分)(2024·安阳期中)综合与实践
问题情境:数学课上,同学们以特殊四边形为基本图形,添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在 ABCD中,AB特例探究:(1)如图1,“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形,发现四边形DEGF是正方形,请你证明这一结论;
(2)“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG,AC,得到图2,发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系,请你帮他们写出结论并说明理由;
拓展延伸:(3)“善问”小组的同学计划对 ABCD展开类似研究.如图3,在 ABCD中,∠ABC=60°.当AB=4,BC=6时,请补全图形,并直接写出A,G两点之间的距离.
【附加题】(10分)
(2023·广西中考)【探究与证明】
折纸操作简单,富有数学趣味,我们可以通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【动手操作】如图1,将矩形纸片ABCD对折,使AD与BC重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片,使点B落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为B',E',展平纸片,连接AB',BB',BE'.
请完成:
(1)观察图1中∠1,∠2和∠3,试猜想这三个角的大小关系;
(2)证明(1)中的猜想;
【类比操作】如图2,N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点,连接BN,在AB上取一点P,折叠纸片,使B,P两点重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片,使点B,P分别落在EF,BN上,得到折痕l,点B,P的对应点分别为B',P',展平纸片,连接P'B'.
请完成:
(3)证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
