第十九章 一次函数(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·揭阳期末)若y=(|k|-2)x2+(k-2)x是y关于x的正比例函数,则k的值为(B)
A.±2 B.-2 C.2 D.3
2.(2024·江西中考)将常温中的温度计插入一杯60 ℃(恒温)的热水中,温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为(C)
3.(2024·天津一模)若直线y=x+m(m是常数)向上平移2个单位长度后经过点(2,3),则m的值为(B)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.(2024·上海期中)A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=-3x+1图象上的不同的两点,则(A)
A.(x1-x2)(y1-y2)<0 B.(x1-x2)(y1-y2)>0
C.(x1-x2)(y1-y2)=0 D.(x1-x2)(y1-y2)的符号无法判断
5.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx+b>1的解集为(C)
A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1
6.(2023·陕西中考)在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m为常数)与x轴交于点A,将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后,与x轴交于点A'.若点A'与A关于原点O对称,则m的值为(B)
A.-3 B.3 C.-6 D.6
7.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是(C)
A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小
B.当K=0时,R1的阻值为100
C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态
D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
8.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P以每秒1 cm的速度从点A出发,沿折线AC-CB运动,到点B停止,过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD的长y(cm) 与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当PD的长是1.2 cm时,点P运动的时间为(D)
A.1.5秒 B.3秒
C.5秒 D.1.5秒或5秒
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知y=(m+3)+3是一次函数,则m= 3 .
10.(2024·哈尔滨一模)在函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 .
11.(2024·徐州模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在第一象限,若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上,则m的值为 1 .
12.(2024·周口质检)若一次函数y=2(1-k)x+k-1的图象不经过第一象限,则k的取值范围是 113.(2024·北京模拟)某快递公司每天上午9:30-10:30为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示,那么从9:30开始,经过 20 分钟时,两仓库快件件数相同.
14.如图,将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,
AC=BC,点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的负半轴上,点B在第二象限,AC所在直线的函数解析式是y=2x+4,若保持AC的长不变,当点A在y轴的正半轴滑动时,点C随之在x轴的负半轴上滑动,则在滑动过程中,点B与原点O的最大距离是 5+ .
三、解答题(共52分)
15.(6分)(2024·邢台期中)已知一次函数y=(2m+4)x+(3-m).
(1)当y随x的增大而增大时,求m的取值范围;
(2)若图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围;
(3)若m=1,当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
【解析】(1)根据题意得2m+4>0,解得m>-2;
(2)根据题意得,解得-2(3)将m=1代入y=(2m+4)x+(3-m)得,y=6x+2,
当x=-1时,y=-4;当x=2时,y=14;
因为k=6>0,所以y随x的增大而增大,所以-4≤y≤14.
16.(6分)在平面直角坐标系内有三点A(-1,4),B(-3,2),C(0,6).
(1)求过其中两点的直线的函数解析式(选一种情形作答);
(2)判断A,B,C三点是否在同一直线上,并说明理由.
【解析】(答案不唯一)(1)设A(-1,4),B(-3,2)两点所在直线解析式为y=kx+b,
∴,解得,
∴直线AB的解析式为y=x+5.
(2)当x=0时,y=0+5≠6,
∴点C(0,6)不在直线AB上,即点A,B,C三点不在同一条直线上.
17.(8分)某超市销售蓝莓,根据以往的销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系:
每千克售价(元) 60 59 58 57 56 …… 30
每天销售量(千克) 50 55 60 65 70 …… 200
(1)表格中的自变量是 ,因变量是 .
(2)设当售价从每千克60元下降了x元时,每天销售量为y千克,直接写出y与x之间的关系式;
(3)如果周六的销售量是170千克,那这天的售价是每千克多少元
【解析】(1)由题意得,自变量是每千克售价,因变量是每天销售量.
答案:每千克售价 每天销售量
(2)由题意得,售价每下降1元,销售量就增加5千克,
∴当售价每下降x元时,每天销售量为y=50+5x,
∴y与x之间的关系式为y=5x+50;
(3)当y=170时,170=5x+50,解得x=24,∴60-24=36(元),∴这天的售价是每千克36元.
18.(8分)(2024·西安期中)小明同学骑自行车去郊外春游,图中表示的是他离家的距离y(千米)与所用的时间x(小时)之间关系的函数图象.
(1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方用了 小时,此时离家 千米;
(2)小明出发后2小时离家多远
(3)求小明出发多长时间距家10千米
【解析】(1)由题中图象可知,小明到达离家最远的地方用了 3小时,此时离家30千米.
答案:3 30
(2)小明在AB段的速度为(30-15)÷(3-1)=7.5(千米/时),
则小明出发后2小时离家的距离为15+7.5×(2-1)=22.5(千米),
∴小明出发后2小时离家22.5千米.
(3)小明在OA段的速度为15÷1=15(千米/时),
在OA段,小明距家10千米时用时10÷15=(小时);
设CD段的函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0).
将坐标C(4,30)和D(6,0)代入y=kx+b,
得,
解得,
∴CD段的函数关系式为y=-15x+90(4≤x≤6).
当y=10时,得-15x+90=10,
解得x=.
综上,小明出发小时或小时时距家10千米.
19.(12分)(2024·烟台期末)已知直线AB的解析式为y=-2x+4,点A,B分别在x轴、y轴上.
(1)求出点A,B的坐标,并在图中画出直线AB的图象;
(2)将直线AB向上平移4个单位长度得到直线CD,点C,D分别在x轴、y轴上.求出点C,D的坐标及直线CD的解析式,并在图中画出直线CD的图象;
(3)若点P到x轴的距离为4,且在直线CD上,求△BDP的面积.
【解析】(1)对于y=-2x+4,当x=0时,y=4,当y=0时,x=2,
∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),直线AB的图象如图1所示:
(2)对于直线AB:y=-2x+4,向上平移4个单位长度得:y=-2x+4+4,
即直线CD的解析式为:y=-2x+8,
对于y=-2x+8,当x=0时,y=8,当y=0时,x=4,∴点C的坐标为(4,0),点D的坐标为(0,8),直线CD如图2所示:
(3)∵点P在直线CD上,
∴可设点P的坐标为(t,-2t+8),
∵点P到x轴的距离为4,∴|-2t+8|=4,
∴-2t+8=4或-2t+8=-4,
由-2t+8=4解得t=2,此时点P的坐标为(2,4),
由-2t+8=-4解得t=6,此时点P的坐标为(6,-4),
①当点P的坐标为(2,4)时,连接BP,如图3所示:
∵点B(0,4),P(2,4),
∴PB∥x轴,PB=2,
∴BD⊥PB,
∵点D的坐标为(0,8),
∴BD=8-4=4,
∴S△BDP=PB·BD=×2×4=4;
②当点P的坐标为(6,-4)时,过点P作PH⊥y轴于H,如图4所示:
∴PH=6,
由①可知:BD=4,
∴S△BDP=PH·BD=×6×4=12.
综上所述:△BDP的面积为4或12.
20.(12分)(2024·云南中考)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表所示:
项目 成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个)
A种型号 35 a
B种型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
【解析】(1)根据题意,得,解得,
∴a的值是40,b的值是50;
(2)因为购买A种型号吉祥物的数量为x个,则购买B种型号吉祥物的数量为(90-x)个.
根据题意,得,解得≤x≤60;
y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720,
∵-3<0,∴y随x的增大而减小,
∵≤x≤60且x为整数,
∴当x=52时,y的值最大,y最大=-3×52+720=564,
∴y的最大值是564元.
【附加题】(10分)
已知A,B两地相距90 km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,乙骑自行车,甲骑摩托车.图1中DF、折线O-E-C分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象填空:
(1)甲、乙两人相遇前乙的速度为 ,相遇后乙的速度为 ;
(2)求甲离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数解析式;
(3)若甲、乙两人之间的距离表示为y(km),请在图2中画出距离y(km)与时间t(h)的函数关系图象.
【解析】(1)根据题中图象,甲、乙两人相遇前乙的速度为30÷1.5=20(km/h),相遇后乙的速度为(90-30)÷(3.5-1.5)=30(km/h).
答案:20 km/h 30 km/h
(2)设甲离开A地的路程s与时间t的函数解析式为s=kt+b(k,b为常数,且k≠0).
将坐标E(1.5,30)和F(2.5,90)代入s=kt+b,
得,
解得,
∴s=60t-60,
当s=0时,得60t-60=0,
解得t=1,
∴1≤t≤2.5,
∴当1≤t≤2.5时,甲离开A地的路程s与时间t的函数解析式为s=60t-60(1≤t≤2.5),
∴甲离开A地的路程s与时间t的函数解析式为s=.
(3)设OE对应的s与t之间的解析式为s=k1t(k1为常数,且k1≠0).
将坐标E(1.5,30)代入s=k1t,
得1.5k1=30,
解得k1=20,
∴OE对应的s与t之间的解析式为s=20t(0≤t≤1.5);
设EC对应的s与t之间的解析式为s=k2t+b1(k2,b1为常数,且k2≠0).
将坐标E(1.5,30)和C(3.5,90)代入s=k2t+b1,
得,
解得,
∴EC对应的s与t之间的解析式为s=30t-15(1.5综上,乙离开A地的路程s与时间t的函数解析式为s=.
当0≤t≤1时,y=20t;
当1当1.5当2.5综上,y=,
其图象如图所示:第十九章 一次函数(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·揭阳期末)若y=(|k|-2)x2+(k-2)x是y关于x的正比例函数,则k的值为( )
A.±2 B.-2 C.2 D.3
2.(2024·江西中考)将常温中的温度计插入一杯60 ℃(恒温)的热水中,温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
3.(2024·天津一模)若直线y=x+m(m是常数)向上平移2个单位长度后经过点(2,3),则m的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.(2024·上海期中)A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=-3x+1图象上的不同的两点,则( )
A.(x1-x2)(y1-y2)<0 B.(x1-x2)(y1-y2)>0
C.(x1-x2)(y1-y2)=0 D.(x1-x2)(y1-y2)的符号无法判断
5.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx+b>1的解集为( )
A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1
6.(2023·陕西中考)在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m为常数)与x轴交于点A,将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后,与x轴交于点A'.若点A'与A关于原点O对称,则m的值为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
7.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小
B.当K=0时,R1的阻值为100
C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态
D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
8.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P以每秒1 cm的速度从点A出发,沿折线AC-CB运动,到点B停止,过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD的长y(cm) 与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当PD的长是1.2 cm时,点P运动的时间为( )
A.1.5秒 B.3秒
C.5秒 D.1.5秒或5秒
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知y=(m+3)+3是一次函数,则m= .
10.(2024·哈尔滨一模)在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
11.(2024·徐州模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在第一象限,若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上,则m的值为 .
12.(2024·周口质检)若一次函数y=2(1-k)x+k-1的图象不经过第一象限,则k的取值范围是 .
13.(2024·北京模拟)某快递公司每天上午9:30-10:30为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示,那么从9:30开始,经过 分钟时,两仓库快件件数相同.
14.如图,将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,
AC=BC,点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的负半轴上,点B在第二象限,AC所在直线的函数解析式是y=2x+4,若保持AC的长不变,当点A在y轴的正半轴滑动时,点C随之在x轴的负半轴上滑动,则在滑动过程中,点B与原点O的最大距离是 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)(2024·邢台期中)已知一次函数y=(2m+4)x+(3-m).
(1)当y随x的增大而增大时,求m的取值范围;
(2)若图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围;
(3)若m=1,当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
16.(6分)在平面直角坐标系内有三点A(-1,4),B(-3,2),C(0,6).
(1)求过其中两点的直线的函数解析式(选一种情形作答);
(2)判断A,B,C三点是否在同一直线上,并说明理由.
17.(8分)某超市销售蓝莓,根据以往的销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系:
每千克售价(元) 60 59 58 57 56 …… 30
每天销售量(千克) 50 55 60 65 70 …… 200
(1)表格中的自变量是 ,因变量是 .
(2)设当售价从每千克60元下降了x元时,每天销售量为y千克,直接写出y与x之间的关系式;
(3)如果周六的销售量是170千克,那这天的售价是每千克多少元
18.(8分)(2024·西安期中)小明同学骑自行车去郊外春游,图中表示的是他离家的距离y(千米)与所用的时间x(小时)之间关系的函数图象.
(1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方用了 小时,此时离家 千米;
(2)小明出发后2小时离家多远
(3)求小明出发多长时间距家10千米
19.(12分)(2024·烟台期末)已知直线AB的解析式为y=-2x+4,点A,B分别在x轴、y轴上.
(1)求出点A,B的坐标,并在图中画出直线AB的图象;
(2)将直线AB向上平移4个单位长度得到直线CD,点C,D分别在x轴、y轴上.求出点C,D的坐标及直线CD的解析式,并在图中画出直线CD的图象;
(3)若点P到x轴的距离为4,且在直线CD上,求△BDP的面积.
20.(12分)(2024·云南中考)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表所示:
项目 成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个)
A种型号 35 a
B种型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
【附加题】(10分)
已知A,B两地相距90 km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,乙骑自行车,甲骑摩托车.图1中DF、折线O-E-C分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象填空:
(1)甲、乙两人相遇前乙的速度为 ,相遇后乙的速度为 ;
(2)求甲离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数解析式;
(3)若甲、乙两人之间的距离表示为y(km),请在图2中画出距离y(km)与时间t(h)的函数关系图象.
