第十六章 二次根式(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·牡丹江中考)函数y=中,自变量x的取值范围是(B)
A.x≤1 B.x≥-1
C.x<-1 D.x>1
2.在根式,,,,中,最简二次根式有(A)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列计算正确的是(C)
A.=2 B.=-3
C.2+3=5 D.=3
4.(2024·淄博期末)下列各组数中,相等的一组数是(D)
A.-2与 B.-与
C.-与 D.-与
5.计算(-)×的结果是(B)
A. B.1
C. D.3
6.(2024·乐山中考)已知1A.-1 B.1
C.2x-3 D.3-2x
7.古希腊数学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边长求面积的公式,称为海伦-秦九韶公式,内容是:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么三角形的面积S=.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积S=(C)
A.6 B.30 C.6 D.45
8.如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+=(C)
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.比较大小: > .
10.计算:÷-|-4|= -1 .
11.已知x=,y=-1,则x2-xy的值为 .
12.如果=1-2a,则a的取值范围是 a≤ .
13.边长为a,b的长方形如图所示,若它的周长为2+2,面积为,则a2b+ab2的值为 5+ .
14.已知y=-x+5,当分别取1,2,3,…,2 024时,所对应y值的总和是
2 036 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)(+)×-3÷.
【解析】原式=+3-3÷3
=+3-1
=+2.
(2)(+)-(-).
【解析】原式=2+3-2+5
=7+.
16.(8分)计算:(1)(+)(-)+60;
【解析】原式=-+-+60×
=-6++6=;
(2)-(+2)(-2).
【解析】原式=2+2+3-(5-4)
=2+2+3-1
=4+2.
17.(8分)如图,点A表示的数为,一只蚂蚁从点A沿数轴向左移动2个单位后到达点B,设点B所表示的数为m.
(1)m的值为 -2 ;
【解析】(1)m=-2;
(2)求|m|+·m的值.
【解析】(2)|m|+·m=|-2|+·(-2)=2-+3-2=5-3.
18.(8分)某居民小区有块形状为长方形的绿地,长方形绿地的长BC为米,宽AB为米,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为(+1)米,宽为(-1)米.
(1)长方形ABCD的周长是多少
【解析】(1)长方形ABCD的周长=2×(+)=2(8+7)=30(米).
答:长方形ABCD的周长是30米.
(2)除去修建花坛的地方.其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖,若要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少钱
【解析】(2)通道的面积=×-(+1)(-1)=100(平方米),
购买地砖需要花费6×100=600(元).
答:购买地砖需要花费600元.
19.(10分)化简求值.
(1)已知a=-,b=+,求3a2-ab+3b2的值;
【解析】(1)∵a=-,b=+,∴a+b=2,ab=2,
∴3a2-ab+3b2=3(a2+b2)-ab=3(a+b)2-7ab=3×-7×2
=3×28-14=84-14=70;
(2)已知a+b=-3,ab=1,求+的值.
【解析】(2)∵a+b=-3,ab=1,
∴=++2=+2=+2=+2=9-2+2=9,
∵+≥0,∴+=3.
20.(10分)阅读下列材料,并解决问题.
【观察发现】
因为=5+2+2=7+2,所以==+;
因为=8+6-2=14-8,
所以===-=2-.
【建立模型】
形如的化简(其中p,q为正整数),只要找到两个正整数m,n(m>n),使m+n=p,mn=q,那么=±.
【问题解决】
(1)化简:①= + ;
②= 8- ;
【解析】(1)①∵11+2=5+6+2=(+)2,∴=+;
②∵71-16=71-2=64+7-2=(8-)2,∴=8-;
(2)已知正方形的边长为a,现有一个长为+2,宽为2的长方形,当它们的面积相等时,求正方形的边长;
【解析】(2)由题意得, (+2)×2=a2,
(+2)×2=22+4=22+2,
∵22+2=10+12+2=(+)2,
∴=a2,
解得a=+=+2;
(3)已知x=-,y=+,则代数式的值为 -1 .
【解析】(3)∵x=-,y=+,
∴x+y=2,x-y=-2,
∴
=
=
=,
∵4-2=1+3-2=(-1)2,
∴=-1.
【附加题】(10分)
(2023·张家界中考)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2= 2+9 ,S4-S3= 2+15 ;
【解析】(1)S3-S2=-
=a2+4a+4b-(a2+2a+b)
=a2+4a+4b-a2-2a-b
=2a+3b,
当a=1,b=3时,
原式=2+9;
S4-S3=-
=a2+6a+9b-(a2+4a+4b)
=a2+6a+9b-a2-4a-4b
=2a+5b,
当a=1,b=3时,
原式=2+15;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
【解析】(2)猜想:Sn+1-Sn=6n-3+2,
证明:Sn+1-Sn=-
=[2+(2n-1)]×
=3(2n-1)+2
=6n-3+2;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
【解析】(3)T=t1+t2+t3+…+t50
=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50
=S51-S1
=-1
=7 500+100.第十六章 二次根式(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·牡丹江中考)函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x≤1 B.x≥-1
C.x<-1 D.x>1
2.在根式,,,,中,最简二次根式有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列计算正确的是( )
A.=2 B.=-3
C.2+3=5 D.=3
4.(2024·淄博期末)下列各组数中,相等的一组数是( )
A.-2与 B.-与
C.-与 D.-与
5.计算(-)×的结果是( )
A. B.1
C. D.3
6.(2024·乐山中考)已知1A.-1 B.1
C.2x-3 D.3-2x
7.古希腊数学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边长求面积的公式,称为海伦-秦九韶公式,内容是:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么三角形的面积S=.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积S=( )
A.6 B.30 C.6 D.45
8.如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+=( )
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.比较大小: .
10.计算:÷-|-4|= .
11.已知x=,y=-1,则x2-xy的值为 .
12.如果=1-2a,则a的取值范围是 .
13.边长为a,b的长方形如图所示,若它的周长为2+2,面积为,则a2b+ab2的值为 .
14.已知y=-x+5,当分别取1,2,3,…,2 024时,所对应y值的总和是
.
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)(+)×-3÷.
(2)(+)-(-).
16.(8分)计算:(1)(+)(-)+60;
(2)-(+2)(-2).
17.(8分)如图,点A表示的数为,一只蚂蚁从点A沿数轴向左移动2个单位后到达点B,设点B所表示的数为m.
(1)m的值为 -2 ;
(2)求|m|+·m的值.
18.(8分)某居民小区有块形状为长方形的绿地,长方形绿地的长BC为米,宽AB为米,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为(+1)米,宽为(-1)米.
(1)长方形ABCD的周长是多少
(2)除去修建花坛的地方.其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖,若要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少钱
19.(10分)化简求值.
(1)已知a=-,b=+,求3a2-ab+3b2的值;
(2)已知a+b=-3,ab=1,求+的值.
20.(10分)阅读下列材料,并解决问题.
【观察发现】
因为=5+2+2=7+2,所以==+;
因为=8+6-2=14-8,
所以===-=2-.
【建立模型】
形如的化简(其中p,q为正整数),只要找到两个正整数m,n(m>n),使m+n=p,mn=q,那么=±.
【问题解决】
(1)化简:①= ;
②= ;
(2)已知正方形的边长为a,现有一个长为+2,宽为2的长方形,当它们的面积相等时,求正方形的边长;
(3)已知x=-,y=+,则代数式的值为 .
【附加题】(10分)
(2023·张家界中考)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2= ,S4-S3= ;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
