第十七章 勾股定理(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列命题的逆命题成立的是(C)
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
2.下列各组数中,可以作为直角三角形三边长的一组是(B)
A.1,2, B.,,
C.2,,4 D.,,7
3.如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是(D)
A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)
4.如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是(C)
A. B.-1 C.1- D.-
5.(2024·濮阳期中)下面四组数中是勾股数的一组是(D)
A.6,7,8 B.5,8,13
C.1.5,2,2.5 D.21,28,35
6.如图,在4×4的正方形网格中,点A,B,C都在格点上,每个小正方形的边长均为1,则△ABC中AB边上的高为(B)
A.1 B.2 C.4 D.2
7.(2023·日照中考)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则(C)
A.S1>S2 B.S1C.S1=S2 D.S1,S2大小无法确定
8.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两条直角边长(x>y),那么在①x+y=9,②y-x=2,③2xy+4=49,④x2+y2=49中,正确的是(C)
A.①② B.②④ C.③④ D.①②③④
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,池塘边有两点A,B,点C是与AB方向成直角的BC方向上的一点,测得BC=80 m,AC=170 m,则A,B两点间的距离为 150 m.
10.(2024·福州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点P的坐标是(2,4),则点P到原点O的距离为 2 .
11.(2024·泰州期中)《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载:“今有垣高一丈,倚木于垣,上与垣齐.引木却行一尺,其木至地,问木长几何 ”其意思是:如图,墙AB高1丈(1丈=10尺),一根木棒AC靠于墙上,木棒上端与墙头齐平.当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时,木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处,则木棒长 50.5 尺.
12.(2023·营口中考)如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E,若AC=5,CD=6,则AE= 4 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移
1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为 8+2 cm.
14.(2023·徐州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3,点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠,使点C落在点C'处,连接BC',则BC'的最小值为 3-3 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)某农场主承包一片土地,形状如图所示,经测得∠BAD=90°,AB=160 m, AD=120 m,DC=210 m,BC=290 m.
(1)为方便种植,农场主打算修建一条小路BD,连接BD,求BD的长;
【解析】(1)在△BAD中,∠BAD=90°,
利用勾股定理得,BD===200(m).
(2)求该四边形土地的面积.
【解析】(2)在△BDC中,
∵BD2+CD2=2002+2102=40 000+44 100=84 100,BC2=2902=84 100,
∴BD2+CD2=BC2,∴△BDC为直角三角形,且∠BDC=90°,∴四边形土地的面积为S△BAD+S△BDC=·BA·AD+·BD·DC=×160×120+×200×210=30 600(m2).
16.(8分)如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,BC=20 cm,D是边AB上一点,且CD=
16 cm,BD=12 cm.
(1)求AD的长;
【解析】(1)∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,
∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°.
设AD=x cm,则AC=AB=(x+12)cm,
在Rt△ADC中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
即x2+162=(x+12)2,解得x=,
即AD= cm;
(2)求△ABC中BC边上的高.
【解析】(2)AB=AC=+12=(cm),
过A作AE⊥BC于E,则AE是△ABC中BC边上的高,
∵AB=AC,BC=20 cm,
∴BE=CE=10 cm,
在Rt△AEB中,由勾股定理得:AE===(cm),
即△ABC中BC边上的高是 cm.
17.(8分)观察图形,回答下列问题:
(1)如图①,△DEF为直角三角形,正方形P的面积为9,正方形Q的面积为15,则正方形M的面积为 24 ;
(2)如图②,分别以Rt△ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆,请写出这三个半圆的面积之间的关系并证明你的结论(用图中字母表示);
(3)如图③,如果直角三角形两直角边的长分别为3和4,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆.请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积.
【解析】(1)根据正方形的面积公式,结合勾股定理可得DF2=DE2+EF2,即正方形M的面积=9+15=24;
(2)S1+S2=S3;∵S1=π·×,S2=π·×,S3=π·×,由勾股定理可知AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=S3;
(3)设两个小半圆的面积分别为S4,S5,大半圆的面积为S6,三角形的面积为S,
则S阴影=S4+S5+S-S6=S=×3×4=6.
18.(8分)课间,小明拿着王老师的等腰直角三角板玩,三角板不小心掉到墙缝中.我们知道两堵墙都是与地面垂直的,如图.王老师没有批评他,但要求他完成如下两个问题:
(1)试说明△ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度知AC=25 cm,算算一块砖的厚度(每块砖的厚度均相等).
小明先将问题所给条件做了如下整理:如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E.请你帮他完成上述问题.
【解析】(1)如图:
∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠1+∠2=90°.∵∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=180°-90°=90°,∴∠1=∠3.
由∠ADC=∠CEB=90°,∠1=∠3,CA=CB,得△ADC≌△CEB(AAS);
(2)设一块砖厚度为x cm,由(1)得,DC=BE=3x cm,AD=4x cm,
∵∠ADC=90°,
∴AD2+CD2=AC2,
即(4x)2+(3x)2=252,解得x=5,x=-5(舍去),
∴一块砖厚度为5 cm.
19.(10分)如图,A,B,C是我国南部的三个岛屿,已知岛屿C在岛屿A的东北方向,岛屿B在岛屿A的正东方向,A,C两岛的距离为20 km,A,B两岛的距离为68 km.
(1)求出B,C两岛的距离;
【解析】(1)过点C作CD⊥AB于点D,
由题意可得:∠ACD=45°,
∴∠A=∠ACD=45°,
∴CD=AD.
在Rt△ACD中,AC=20 km,
由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
∴2AD2=,
解得AD=20 km,
∴CD=20 km.
在Rt△BCD中,BD=AB-AD=68-20=48(km),
由勾股定理得:
BC===52(km).
答:B,C两岛的距离为52 km.
(2)在岛屿B产生了台风,风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响),台风中心以20 km/h的速度由B向A移动,请判断岛屿C是否会受到台风的影响,若不会受到影响,请说明理由;若会受到影响,请求出台风影响岛屿C的时间有多长
【解析】(2)会受到影响.
以点C为圆心,以25 km长为半径画弧与AB交于点E,F,则EF=2DE.
在Rt△CDE中,
由勾股定理,得DE===15(km),
∴EF=30 km,30÷20=1.5(h).
答:岛屿C会受到台风的影响,台风影响岛屿C的时间为1.5 h.
20.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
【解析】(1)如图,作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B,交CD于点M,点M即为所求作.
(2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
【解析】(2)如图,连接A'A,交CD于点H,过点B作BP⊥AH,连接AM,
由题意可知:AH=A'H=1千米,PH=3千米,AB=千米,
∴PA=PH-AH=2千米,PA'=PH+A'H=4千米,
∴在Rt△APB中,BP===3(千米),
∴在Rt△A'PB中,A'B===5(千米),
由对称性质可知:AM=A'M,水管长AM+BM=A'M+BM=A'B=5千米,完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元).
【附加题】(10分)
在学习勾股定理时,我们学会运用图(Ⅰ)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为:(a+b)2,也可表示为:c2+4·(ab),即(a+b)2=c2+4·(ab),由此推出勾股定理a2+b2=c2,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数学家大会会徽)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2;
(3)请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq.
【解析】(1)大正方形的面积为c2,中间空白部分正方形面积为(b-a)2;
四个阴影部分直角三角形面积和为4×ab;
由图形关系可知,大正方形的面积=空白正方形面积+四个直角三角形的面积,即有c2=(b-a)2+4×ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2.
(2)如图所示,大正方形边长为(x+y),所以面积为(x+y)2,它的面积也等于两个边长分别为x,y的正方形面积和两个长为x、宽为y的矩形面积之和,即x2+2xy+y2,
所以(x+y)2=x2+2xy+y2成立.
(3)如图所示,大矩形的宽、长分别为(x+p),(x+q),则其面积为(x+p)(x+q),从图形关系上可得大矩形由一个边长为x的正方形和三个小矩形构成,则其面积又可表示为x2+px+qx+pq,则有(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.第十七章 勾股定理(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列命题的逆命题成立的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
2.下列各组数中,可以作为直角三角形三边长的一组是( )
A.1,2, B.,,
C.2,,4 D.,,7
3.如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是( )
A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)
4.如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是( )
A. B.-1 C.1- D.-
5.(2024·濮阳期中)下面四组数中是勾股数的一组是( )
A.6,7,8 B.5,8,13
C.1.5,2,2.5 D.21,28,35
6.如图,在4×4的正方形网格中,点A,B,C都在格点上,每个小正方形的边长均为1,则△ABC中AB边上的高为( )
A.1 B.2 C.4 D.2
7.(2023·日照中考)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( )
A.S1>S2 B.S1C.S1=S2 D.S1,S2大小无法确定
8.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两条直角边长(x>y),那么在①x+y=9,②y-x=2,③2xy+4=49,④x2+y2=49中,正确的是( )
A.①② B.②④ C.③④ D.①②③④
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,池塘边有两点A,B,点C是与AB方向成直角的BC方向上的一点,测得BC=80 m,AC=170 m,则A,B两点间的距离为 m.
10.(2024·福州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点P的坐标是(2,4),则点P到原点O的距离为 .
11.(2024·泰州期中)《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载:“今有垣高一丈,倚木于垣,上与垣齐.引木却行一尺,其木至地,问木长几何 ”其意思是:如图,墙AB高1丈(1丈=10尺),一根木棒AC靠于墙上,木棒上端与墙头齐平.当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时,木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处,则木棒长 尺.
12.(2023·营口中考)如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E,若AC=5,CD=6,则AE= .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移
1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为 cm.
14.(2023·徐州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3,点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠,使点C落在点C'处,连接BC',则BC'的最小值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)某农场主承包一片土地,形状如图所示,经测得∠BAD=90°,AB=160 m, AD=120 m,DC=210 m,BC=290 m.
(1)为方便种植,农场主打算修建一条小路BD,连接BD,求BD的长;
(2)求该四边形土地的面积.
16.(8分)如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,BC=20 cm,D是边AB上一点,且CD=
16 cm,BD=12 cm.
(1)求AD的长;
(2)求△ABC中BC边上的高.
17.(8分)观察图形,回答下列问题:
(1)如图①,△DEF为直角三角形,正方形P的面积为9,正方形Q的面积为15,则正方形M的面积为 ;
(2)如图②,分别以Rt△ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆,请写出这三个半圆的面积之间的关系并证明你的结论(用图中字母表示);
(3)如图③,如果直角三角形两直角边的长分别为3和4,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆.请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积.
18.(8分)课间,小明拿着王老师的等腰直角三角板玩,三角板不小心掉到墙缝中.我们知道两堵墙都是与地面垂直的,如图.王老师没有批评他,但要求他完成如下两个问题:
(1)试说明△ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度知AC=25 cm,算算一块砖的厚度(每块砖的厚度均相等).
小明先将问题所给条件做了如下整理:如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E.请你帮他完成上述问题.
19.(10分)如图,A,B,C是我国南部的三个岛屿,已知岛屿C在岛屿A的东北方向,岛屿B在岛屿A的正东方向,A,C两岛的距离为20 km,A,B两岛的距离为68 km.
(1)求出B,C两岛的距离;
(2)在岛屿B产生了台风,风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响),台风中心以20 km/h的速度由B向A移动,请判断岛屿C是否会受到台风的影响,若不会受到影响,请说明理由;若会受到影响,请求出台风影响岛屿C的时间有多长
20.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
(2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
【附加题】(10分)
在学习勾股定理时,我们学会运用图(Ⅰ)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为:(a+b)2,也可表示为:c2+4·(ab),即(a+b)2=c2+4·(ab),由此推出勾股定理a2+b2=c2,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数学家大会会徽)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2;
(3)请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq.
