期末素养评估(第十六至第二十章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列四个数,二次根式中x不可取的数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2023·佛山一模)给出下列判断,正确的是( )
A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
3.(2024·长沙期中)如图,在△ABC中,D和E分别为所在边的中点,若DE=3,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.(2024·周口期末)下列运算正确的是( )
A.+= B.3-=3
C.×= D.÷=4
5.(2024·潍坊期末)某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示,其中两个数据被遮盖,下列关于阅读课外读物的统计数中,与被遮盖的数据无关的是( )
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A.平均数、方差 B.中位数、方差
C.平均数、众数 D.中位数、众数
6.下列叙述中,正确的是( )
A.直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方
B.如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
C.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°
D.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若∠B=90°,则c2-a2=b2
7.(2023·长沙中考)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是( )
A.y=2x+1 B.y=x-4
C.y=2x D.y=-x+1
8.(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是( )
A.- B.- C.2-2 D.2-
9.如图,在正方形ABCD中,AB=8,F是对角线AC,BD的交点,G,E分别是AD,CD上的动点,且保持AG=DE,连接GE,GF,EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:①△GFE是等腰直角三角形;②四边形DGFE可能为正方形;③GE长度的最小值为4;④四边形DGFE的面积保持不变.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
10.如图,直线y=-x+6分别与x,y轴交于点A,B,点C在线段OA上,线段OB沿BC翻折,点O落在AB边上的点D处.以下结论:
①AB=10;
②直线BC的解析式为y=-2x+6;
③点D(,);
④若线段BC上存在一点P,使得以点P,O,C,D为顶点的四边形为菱形,则点P的坐标是(,).
正确的结论是( )
A.①② B.①②③
C.①③④ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.计算:(-)×= .
12.为了弘扬古诗词文化,某校举办了主题为“赏中华诗词,寻文化基因,品文学之美”的古诗词知识竞赛,进入决赛的10名学生成绩统计如表,这10名学生决赛成绩的中位数应是 分.
决赛成绩/分 98 96 95 91 90
人数/名 1 2 2 4 1
13.(2024·重庆期中)近年来,越来越多的游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅,同时还会购买火锅底料作为伴手礼.洪崖洞某店推出活动:如果一次购买5包以上(不含5包)的火锅底料,超过5包的部分将打折,得到付款金额y(元)与购买火锅底料x(包)之间的关系如图所示,那么购买18包火锅底料需要付款 元.
14.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 .
15.(2024·镇江期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,AE平分∠BAD交BC于点E,点F,G分别为AD,AE的中点,则FG= .
16.如图是一个有盖的盒子,长、宽、高如图中标注,若在盒中放一根细棒,则细棒的最大长度是 .
17.(2024·扬州一模)如图,在边长为8的菱形ABCD中,E为AD边的中点,连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱形的面积为 .
18.(2024·广安中考)已知,直线l:y=x-与x轴相交于点A1,以OA1为边作等边三角形OA1B1,点B1在第一象限内,过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2,与y轴交于点C1,以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方),以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3,等边三角形C3A4B4……则点A2 024的横坐标为
.
三、解答题(共66分)
19.(6分)(2024·西安模拟)计算:
(1)|1-|+(-1)2 024-÷.
(2)+÷.
20.(6分)如图,一次函数y1=kx+b的图象交x轴于点B,OB=,并与一次函数y2=-x+4的图象交于点A,点A的横坐标为1.
(1)求一次函数y1=kx+b的解析式;
(2)请直接写出kx+b>-x+4时自变量x的取值范围.
21.(8分)(2024·洛阳一模)生物活动课上,为更好利用树叶的特征对树木进行分类,老师带领同学们随机收集A,B两种树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,并整理、分析如下:
a.计算树叶的长宽比:
种类 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A种树树叶长宽比 3.5 3.4 3.8 3.8 3.7 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
B种树树叶长宽比 1.9 2.0 2.4 1.8 2.0 2.0 1.3 1.9 2.0 1.8
b.分析数据如下:
种类 平均数 中位数 众数 方差
A种树树叶 3.74 3.75 n 0.042 4
B种树树叶 1.91 m 2.0 0.066 9
根据以上信息,回答下列问题:
(1)上述表格中:m= ,n= .
(2)①甲同学说:“从树叶的长宽比的中位数和众数来看,我发现B种树树叶的长约为宽的两倍.”②乙同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为A种树树叶的形状差别大.”这两位同学的说法中,合理的是 (填序号).
(3)现有一片长17 cm,宽4.5 cm的树叶,请判断这片树叶更可能来自A,B哪种树,并说明理由.
22.(8分)(2024·保定一模)如图,过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=6,AC=10,求EF的长.
23.(8分)(2024·南阳期末)如图,四边形ABCD为某工厂的平面图,经测量AB=BC=AD=80 m,CD=80 m,且∠ABC=90°.
(1)求∠DAB的度数;
(2)若直线AB为工厂的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况,已知摄像头能监控的最远距离为80 m,求被监控到的道路长度为多少米.
24.(10分)(2024·台州一模)强强和佳佳一起去旅游,在某个景点分别乘两个热气球观光.强强坐1号热气球从海拔40 m处出发,以1 m/min的速度上升.同一时刻,佳佳坐2号热气球从地面(海拔0 m)出发,以2 m/min的速度上升.
设两个热气球上升的时间为x min(0≤x≤80),上升过程中达到的海拔分别为y1 m,
y2 m.
(1)直接写出y1,y2关于x的函数解析式;
(2)出发后多长时间两个气球所在位置的海拔相差20 m
25.(10分)(2024·赤峰中考)一段高速公路需要修复,现有甲、乙两个工程队参与施工,已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米,且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米;
(2)为了保证交通安全,两队不能同时施工,要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍,那么15天的工期,两队最多能修复公路多少千米
26.(10分)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)求AG+AE的值;
(3)若F恰为AB的中点,请求出AE的长.期末素养评估(第十六至第二十章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列四个数,二次根式中x不可取的数是(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2023·佛山一模)给出下列判断,正确的是(D)
A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
3.(2024·长沙期中)如图,在△ABC中,D和E分别为所在边的中点,若DE=3,则AC的长为(A)
A.6 B.5 C.4 D.3
4.(2024·周口期末)下列运算正确的是(C)
A.+= B.3-=3
C.×= D.÷=4
5.(2024·潍坊期末)某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示,其中两个数据被遮盖,下列关于阅读课外读物的统计数中,与被遮盖的数据无关的是(D)
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A.平均数、方差 B.中位数、方差
C.平均数、众数 D.中位数、众数
6.下列叙述中,正确的是(B)
A.直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方
B.如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
C.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°
D.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若∠B=90°,则c2-a2=b2
7.(2023·长沙中考)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是(D)
A.y=2x+1 B.y=x-4
C.y=2x D.y=-x+1
8.(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(B)
A.- B.- C.2-2 D.2-
9.如图,在正方形ABCD中,AB=8,F是对角线AC,BD的交点,G,E分别是AD,CD上的动点,且保持AG=DE,连接GE,GF,EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:①△GFE是等腰直角三角形;②四边形DGFE可能为正方形;③GE长度的最小值为4;④四边形DGFE的面积保持不变.其中正确的是(D)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
10.如图,直线y=-x+6分别与x,y轴交于点A,B,点C在线段OA上,线段OB沿BC翻折,点O落在AB边上的点D处.以下结论:
①AB=10;
②直线BC的解析式为y=-2x+6;
③点D(,);
④若线段BC上存在一点P,使得以点P,O,C,D为顶点的四边形为菱形,则点P的坐标是(,).
正确的结论是(B)
A.①② B.①②③
C.①③④ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.计算:(-)×= .
12.为了弘扬古诗词文化,某校举办了主题为“赏中华诗词,寻文化基因,品文学之美”的古诗词知识竞赛,进入决赛的10名学生成绩统计如表,这10名学生决赛成绩的中位数应是 93 分.
决赛成绩/分 98 96 95 91 90
人数/名 1 2 2 4 1
13.(2024·重庆期中)近年来,越来越多的游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅,同时还会购买火锅底料作为伴手礼.洪崖洞某店推出活动:如果一次购买5包以上(不含5包)的火锅底料,超过5包的部分将打折,得到付款金额y(元)与购买火锅底料x(包)之间的关系如图所示,那么购买18包火锅底料需要付款 190 元.
14.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 x2+22= .
15.(2024·镇江期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,AE平分∠BAD交BC于点E,点F,G分别为AD,AE的中点,则FG= .
16.如图是一个有盖的盒子,长、宽、高如图中标注,若在盒中放一根细棒,则细棒的最大长度是 17 .
17.(2024·扬州一模)如图,在边长为8的菱形ABCD中,E为AD边的中点,连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱形的面积为 24 .
18.(2024·广安中考)已知,直线l:y=x-与x轴相交于点A1,以OA1为边作等边三角形OA1B1,点B1在第一象限内,过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2,与y轴交于点C1,以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方),以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3,等边三角形C3A4B4……则点A2 024的横坐标为
()2 023 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)(2024·西安模拟)计算:
(1)|1-|+(-1)2 024-÷.
(2)+÷.
【解析】(1)原式=-1+1-
=-1+1-
=0.
(2)+÷
=4-4+3+18-16
=7-2.
20.(6分)如图,一次函数y1=kx+b的图象交x轴于点B,OB=,并与一次函数y2=-x+4的图象交于点A,点A的横坐标为1.
(1)求一次函数y1=kx+b的解析式;
(2)请直接写出kx+b>-x+4时自变量x的取值范围.
【解析】(1)∵OB=,∴B(-,0).
∵点A的横坐标为1,点A在一次函数y2=-x+4的图象上,
∴x=1时,y=3,即A(1,3).
将A(1,3),B(-,0)代入,得,解得,
∴一次函数的解析式为y1=2x+1.
(2)由题图可知,当x>1时,直线y1=kx+b在直线y2=-x+4的上方,
∴kx+b>-x+4时自变量x的取值范围为x>1.
21.(8分)(2024·洛阳一模)生物活动课上,为更好利用树叶的特征对树木进行分类,老师带领同学们随机收集A,B两种树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,并整理、分析如下:
a.计算树叶的长宽比:
种类 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A种树树叶长宽比 3.5 3.4 3.8 3.8 3.7 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
B种树树叶长宽比 1.9 2.0 2.4 1.8 2.0 2.0 1.3 1.9 2.0 1.8
b.分析数据如下:
种类 平均数 中位数 众数 方差
A种树树叶 3.74 3.75 n 0.042 4
B种树树叶 1.91 m 2.0 0.066 9
根据以上信息,回答下列问题:
(1)上述表格中:m= ,n= .
(2)①甲同学说:“从树叶的长宽比的中位数和众数来看,我发现B种树树叶的长约为宽的两倍.”②乙同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为A种树树叶的形状差别大.”这两位同学的说法中,合理的是 (填序号).
(3)现有一片长17 cm,宽4.5 cm的树叶,请判断这片树叶更可能来自A,B哪种树,并说明理由.
【解析】(1)A种树树叶的众数n=4.0,B种树叶的长宽比重新排列为1.3,1.8,1.8,1.9,1.9,2.0,2.0,2.0,2.0,2.4,
所以B种树叶的中位数m==1.95.
答案:1.95 4.0
(2)∵B种树叶的长宽比的平均数是1.91,中位数是1.95,众数是2.0,
∴甲同学说法合理,
∵0.042 4<0.066 9,
∴A种树叶的形状差别小,
故乙同学说法不合理.
答案:①
(3)这片树叶更可能来自A种树,
∵一片长17 cm,宽4.5 cm的树叶,长宽比接近3.8,
∴这片树叶更可能来自A种树.
22.(8分)(2024·保定一模)如图,过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=6,AC=10,求EF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
∵O是AC的中点,
∴AO=CO,
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴平行四边形AECF是菱形.
(2)在Rt△ABC中,BC==8,
由(1)知四边形AECF是菱形,
∴AE=CE,EF⊥AC,且EF,AC互相平分,
设AE=CE=x,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,
解得x=,
在Rt△AOE中,AO=AC=5,AO2+OE2=AE2,
即52+OE2=,解得OE=,
∴EF=2OE=.
23.(8分)(2024·南阳期末)如图,四边形ABCD为某工厂的平面图,经测量AB=BC=AD=80 m,CD=80 m,且∠ABC=90°.
(1)求∠DAB的度数;
(2)若直线AB为工厂的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况,已知摄像头能监控的最远距离为80 m,求被监控到的道路长度为多少米.
【解析】(1)连接AC,
∵AB=BC=AD=80 m,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AC===80(m),∠CAB=45°,
∵CD=80 m,
在△ACD中,AD2+AC2=802+(80)2=(80)2=CD2,
∴△ACD是直角三角形,
∴∠CAD=90°,
∴∠DAB=90°+45°=135°;
(2)过点D作DE⊥AB于E,作点A关于DE的对称点F,连接DF,
由对称的性质,得DF=DA=80 m,AE=EF,
由(1)知,∠BAD=135°,
∴∠DAE=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=DE=AD=40(m),
∴AF=2AE=80(m),
∴被监控到的道路长度为80 m.
24.(10分)(2024·台州一模)强强和佳佳一起去旅游,在某个景点分别乘两个热气球观光.强强坐1号热气球从海拔40 m处出发,以1 m/min的速度上升.同一时刻,佳佳坐2号热气球从地面(海拔0 m)出发,以2 m/min的速度上升.
设两个热气球上升的时间为x min(0≤x≤80),上升过程中达到的海拔分别为y1 m,
y2 m.
(1)直接写出y1,y2关于x的函数解析式;
(2)出发后多长时间两个气球所在位置的海拔相差20 m
【解析】(1)∵1号热气球从海拔40 m处出发,以1m/min的速度上升,
∴y1=40+x;
∵2号热气球从地面(海拔0 m)出发,以2 m/min的速度上升,
∴y2=2x;
(2)∵两个气球所在位置的海拔相差20 m,
∴(40+x)-2x=20或2x-(40+x)=20,
解得x=20或x=60,
∴出发20 min或60 min,两个气球所在位置的海拔相差20 m.
25.(10分)(2024·赤峰中考)一段高速公路需要修复,现有甲、乙两个工程队参与施工,已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米,且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米;
(2)为了保证交通安全,两队不能同时施工,要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍,那么15天的工期,两队最多能修复公路多少千米
【解析】(1)设甲队平均每天修复公路x千米,则乙队平均每天修复公路(x+3)千米,
由题意得=,解得x=6,
经检验,x=6是原方程的解,且符合题意,
x+3=9.
答:甲队平均每天修复公路6千米,乙队平均每天修复公路9千米.
(2)设甲队的工作时间为m天,则乙队的工作时间为(15-m)天,15天的工期,两队能修复公路w千米,
由题意得w=6m+9(15-m)=-3m+135,
m≥2(15-m),
解得m≥10,
∵-3<0,
∴w随m的增加而减少,
∴当m=10时,w有最大值,最大值为w=-3×10+135=105,
答:15天的工期,两队最多能修复公路105千米.
26.(10分)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)求AG+AE的值;
(3)若F恰为AB的中点,请求出AE的长.
【解析】(1)作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N,如图1所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAC=∠BAC,∠BAD=90°,∵EM⊥AD,EN⊥AB,
∴EM=EN,∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,
∴四边形ANEM是矩形,又∵EM=EN,
∴矩形ANEM是正方形,又∵四边形DEFG是矩形,
∴∠DEF=∠MEN=90°,
∴∠DEM+∠MEF=90°,∠MEF+∠FEN=90°,
∴∠DEM=∠FEN,
在△EMD和△ENF中,,
∴△EMD≌△ENF(ASA),∴ED=EF,
∴矩形DEFG是正方形;
(2)∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴DG=DE,AD=CD=4,∠GDE=∠ADC=90°,
∴∠ADG+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠ADG=∠CDE,
在△ADG和△CDE中,
,
∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE,
∴AG+AE=CE+AE=AC,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC==4,
∴AG+AE=4;
(3)连接DF,如图2所示:
∵点F恰为AB的中点,AB=4,∴AF=AB=2,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:DF2=AD2+AF2=20,
由(1)可知:四边形DEFG是正方形,则DE=EF,
在Rt△EFD中,由勾股定理得:DF2=DE2+EF2=2EF2,
∴2EF2=20,
∴EF=,
设EN=x,
由(1)可知:四边形ANEM是正方形,
∴AN=EN=x,
∴FN=AN-AF=x-2,
在Rt△EFN中,由勾股定理得:EN2+FN2=EF2,
即x2+(x-2)2=()2,
整理得:x2-2x-3=0,
解得:x1=3,x2=-1(不符合题意,舍去),
∴AN=EN=3,
在Rt△AEN中,由勾股定理得:AE==3.
