期中素养评估(第十六至第十八章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列式子中,是二次根式的是(B)
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是(C)
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
3.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是(D)
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD D.∠A=∠C
4.使式子有意义的x的取值范围在数轴上应表示为(B)
5.如图,数轴上点A表示的数是-2,点B表示的数是0,CB⊥AB于点B,且BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交数轴的正半轴于点D,则点D表示的数是(C)
A. B.2-1 C.2-2 D.-1
6.在△ABC中,已知AB=1,BC=2,AC=,则(A)
A.∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D.∠A=60°
7.(2024·哈尔滨期中)下列命题错误的是(C)
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
C.矩形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直且相等
8.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(D)
A. B.1 C. D.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为射线CD上一动点,△BCE沿BE折叠,得到△BFE,若∠FDE=90°,则CE的长为(A)
A. B. C. D.
10.已知,正方形ABCD的边长为8,点E,F分别在AD,CD上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为(D)
A.3 B.4 C.2 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.计算+的结果是 .
12.(2023·荆州中考)如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= 3 .
13.如图,在 ABCD中,∠B=72°,AC=AD,则∠DAC的度数是 36 °.
14.二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用.如图,在“神舟十八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形,已知长方形的长是 cm,宽是 cm,那么圆的半径应是 cm .
15.若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为 2.4或 .
16.如图,在△ABC中,AC=4,∠A=60°,∠B=45°,BC边的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则AB的长为 2+2 .
17.如图,菱形ABCD中,AC,BD相交于O,DE⊥BC于E,连接OE,∠BAD=40°,则
∠OED的度数为 20° .
18.(2023·枣庄中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
三、解答题(共66分)
19.(8分)计算:(1)÷×;
(2)|-2|-3-1-×+(π-5)0;
(3)(-1)2-(5+2)÷;
(4)(-)-(-2-).
【解析】(1)原式==1;
(2)原式=2--2+1=;
(3)原式=5-2+1--2=4-3;
(4)原式=-3-++4=-.
20.(6分)(2023·济南中考)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,点F.
求证:DE=BF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC,
∵点O为对角线AC的中点,
∴AO=CO,
∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,
∴DE=BF.
21.(6分)在四边形ABCD中,已知AB=AD=8,∠A=60°,BC=10,CD=6.
(1)连接BD,试判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)求∠ADC的度数.
【解析】(1)△ABD是等边三角形.
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形;
(2)∵△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,BD=AB=8,
在△BDC中,CD2+BD2=62+82=100=BC2
∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠BDC+∠ADB=90°+60°=150°.
22.(8分)(2024·贺州期中)有一块长方形木板,木工师傅采用如图所示的方式,在木板上裁出面积分别为3 dm2,8 dm2和12 dm2的三块正方形木板.
(1)截出的三块正方形木板的边长分别为 dm, dm和
dm;
(2)求长方形木板的面积;(结果保留根号)
(3)如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5 dm、宽为1 dm的长方形木块,最多能截出多少块这样的木块 (≈1.414,≈1.732)
【解析】(1)(dm)
=2(dm)
=2(dm)
答案: 2 2
(2)根据题意得,长方形的宽和长分别为(+2)dm,(2+2)dm;
∴长方形木板的面积为(+2)×(2+2)=2+6+8+4=(6+14)dm2;
(3)根据题意得,剩余的A木板的长为2dm,宽为(+2-2)dm,
∵2≈3.464(dm),+2-2=2-≈1.096(dm),
且3.464>1.5×2,1.096>1,
∴最多能截出2块这样的木块.
23.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.
【解析】(1)∵△ADE是等腰直角三角形,
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD=90°-∠DAC=∠CAE,
在△ABD与△ACE中
;
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴BC==,
∵∠BAC=90°,∠BAD=22.5°,
∴∠DAC=90°-∠BAD=67.5°,
∵AB=AC,
∴∠ACD=(180°-90°)=45°,
∴∠ADC=180°-∠ACD-∠DAC=67.5°,
∴∠ADC=∠ACD,
∴AC=DC=1,
∴BD=BC-DC=-1.
24.(8分)(2023·青岛中考)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠DCB的平分线交AD于点F,点G,H分别是AE和CF的中点.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.若EF=AF,请判断四边形GEHF的形状,并证明你的结论.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∠BAD=∠DCB,∠B=∠D,
∴∠DAE=∠AEB,∠DFC=∠BCF,
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE,CF分别交BC,AD于点E,F,
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD,∠BCF=∠DCF=∠DCB,
∴∠BAE=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,
,
∴△BAE≌△DCF(ASA).
(2)∵△BAE≌△DCF,
∴AE=CF,∠AEB=∠DFC,
∴∠AEB=∠BCF,
∴AE∥CF,
∵点G,H分别为AE,CF的中点,
∴GE∥FH,GE=FH,
∴四边形FGEH是平行四边形,
∵EF=AF,G为AE的中点,
∴GF⊥AE,
∴四边形FGEH是矩形.
25.(10分)(2024·淄博期中)为推进乡村振兴,把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园,某地大力修建崭新的公路如图所示,现从A地分别向C,D,B三地修了三条笔直的公路AC,AD和AB,C地、D地、B地在同一笔直公路上,公路AC和公路CB互相垂直,又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接,且公路DH和公路AB互相垂直,已知AC=9千米,AB=15千米,BD=5千米.
(1)求公路CD的长度;
(2)若修公路DH每千米的费用是200万元,请求出修建公路DH的总费用.
【解析】(1)∵∠C=90°,AC=9千米,AB=15千米,
∴BC==12(千米),∵BD=5千米,∴CD=7千米;
(2)∵DH⊥AB,∴S△ABD=BD·AC=AB·DH,
∴DH===3(千米),
∴修建公路DH的费用为3×200=600(万元).
26.(12分)李明酷爱数学,勤于思考,善于反思.在学习八年级下册数学知识之后,他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联,并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题,提供了具体的数学方法.于是他撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考,帮助李明完成相关问题.
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班 李明
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”(唐·李颀《古从军行》),这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题:将军从A地出发到河边l饮马,然后再到B地军营视察,怎样走路径最短
【数学模型】如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
【问题解决】作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于点P,则点P即为所求.此时,PA+PB的值最小,且PA+PB=PA'+PB=A'B.
【模型应用】
问题1.如图2,经测量得A,B两点到河边l的距离分别为AC=300米,BD=900米,且CD=900米.请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长.
问题2.如图3,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是 .
问题3.如图4,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),点B(4,2).
请在x轴上确定一点P,使PA+PB的值最小,并求出PA+PB的最小值.
【模型迁移】
问题4.如图5,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12,BD=16.点P和点E分别为BD,CD上的动点,求PE+PC的最小值.
【解析】问题1:作点A关于直线l的对称点A',连接BA',过点A'作A'M⊥BD并交BD延长线于点M,
∴AC=A'C=300米,
在Rt△A'BM中,A'M=CD=900米,BM=BD+DM=BD+A'C=1 200(米), A'B==1 500(米),
∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1 500米;
问题2:如图,连接BE,
设BE与AC交于点P,
∵四边形ABCD是正方形,
∴点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度.
∵直角△CBE中,∠BCE=90°,BC=9,CE=CD=3,
∴BE==3.
答案:3
问题3:如图,作A点关于x轴的对称点A',连接BA'交x轴于P点,P点即为所求,
利用对称的性质得到PA=PA',则PA+PB=PA'+PB=BA',BA'的值最小;
A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-4),PA+PB的最小值=BA'==6;
问题4:过A作AE⊥CD,交BD于P,连接CP,
此时线段PE+PC最小,且PE+PC=AE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=BD=8,OC=AC=6,
∴BC==10,
设CE=x,则DE=10-x,AB=CD=AD=BC=10,
根据勾股定理得AC2-CE2=AD2-DE2,
即122-x2=102-(10-x)2,
解得x=,即CE=,
∴AE==,
∴线段PE+PC的最小值是.期中素养评估(第十六至第十八章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列式子中,是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
3.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是( )
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD D.∠A=∠C
4.使式子有意义的x的取值范围在数轴上应表示为( )
5.如图,数轴上点A表示的数是-2,点B表示的数是0,CB⊥AB于点B,且BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交数轴的正半轴于点D,则点D表示的数是( )
A. B.2-1 C.2-2 D.-1
6.在△ABC中,已知AB=1,BC=2,AC=,则( )
A.∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D.∠A=60°
7.(2024·哈尔滨期中)下列命题错误的是( )
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
C.矩形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直且相等
8.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为( )
A. B.1 C. D.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为射线CD上一动点,△BCE沿BE折叠,得到△BFE,若∠FDE=90°,则CE的长为( )
A. B. C. D.
10.已知,正方形ABCD的边长为8,点E,F分别在AD,CD上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为( )
A.3 B.4 C.2 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.计算+的结果是 .
12.(2023·荆州中考)如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= .
13.如图,在 ABCD中,∠B=72°,AC=AD,则∠DAC的度数是 °.
14.二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用.如图,在“神舟十八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形,已知长方形的长是 cm,宽是 cm,那么圆的半径应是 .
15.若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为 .
16.如图,在△ABC中,AC=4,∠A=60°,∠B=45°,BC边的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则AB的长为 .
17.如图,菱形ABCD中,AC,BD相交于O,DE⊥BC于E,连接OE,∠BAD=40°,则
∠OED的度数为 .
18.(2023·枣庄中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
三、解答题(共66分)
19.(8分)计算:(1)÷×;
(2)|-2|-3-1-×+(π-5)0;
(3)(-1)2-(5+2)÷;
(4)(-)-(-2-).
20.(6分)(2023·济南中考)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,点F.
求证:DE=BF.
21.(6分)在四边形ABCD中,已知AB=AD=8,∠A=60°,BC=10,CD=6.
(1)连接BD,试判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)求∠ADC的度数.
22.(8分)(2024·贺州期中)有一块长方形木板,木工师傅采用如图所示的方式,在木板上裁出面积分别为3 dm2,8 dm2和12 dm2的三块正方形木板.
(1)截出的三块正方形木板的边长分别为 dm, dm和
dm;
(2)求长方形木板的面积;(结果保留根号)
(3)如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5 dm、宽为1 dm的长方形木块,最多能截出多少块这样的木块 (≈1.414,≈1.732)
23.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.
24.(8分)(2023·青岛中考)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠DCB的平分线交AD于点F,点G,H分别是AE和CF的中点.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.若EF=AF,请判断四边形GEHF的形状,并证明你的结论.
25.(10分)(2024·淄博期中)为推进乡村振兴,把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园,某地大力修建崭新的公路如图所示,现从A地分别向C,D,B三地修了三条笔直的公路AC,AD和AB,C地、D地、B地在同一笔直公路上,公路AC和公路CB互相垂直,又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接,且公路DH和公路AB互相垂直,已知AC=9千米,AB=15千米,BD=5千米.
(1)求公路CD的长度;
(2)若修公路DH每千米的费用是200万元,请求出修建公路DH的总费用.
26.(12分)李明酷爱数学,勤于思考,善于反思.在学习八年级下册数学知识之后,他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联,并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题,提供了具体的数学方法.于是他撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考,帮助李明完成相关问题.
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班 李明
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”(唐·李颀《古从军行》),这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题:将军从A地出发到河边l饮马,然后再到B地军营视察,怎样走路径最短
【数学模型】如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
【问题解决】作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于点P,则点P即为所求.此时,PA+PB的值最小,且PA+PB=PA'+PB=A'B.
【模型应用】
问题1.如图2,经测量得A,B两点到河边l的距离分别为AC=300米,BD=900米,且CD=900米.请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长.
问题2.如图3,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是 .
问题3.如图4,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),点B(4,2).
请在x轴上确定一点P,使PA+PB的值最小,并求出PA+PB的最小值.
【模型迁移】
问题4.如图5,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12,BD=16.点P和点E分别为BD,CD上的动点,求PE+PC的最小值.
