北师大八下2.5.2一元一次不等式与一次函数（2）

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第二章 一元一次不等式及一元一次不等式组
2.5.2一元一次不等式与一次函数（2）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题.
2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.
3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想.
情景导入
一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．
从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集是使直线y＝ax＋b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？
核心知识点一：
一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
在题目中你能得到哪些信息？
如何解决方案选择问题？
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(1)根据题意分别写出方案甲、乙的函数解析式y1、y2；
解：设顾客每月通话时长为x 分钟，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，
根据题意可知
y1=10+0.3x ， y2=0.4x
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(2)将方案甲、乙进行比较。
当甲、乙两种业务消费额 一样时，
即y1= y2，得10+0.3x=0.4x，解得x=100；
当甲、乙两种业务消费额不一样时，
①由y1>y2，得10+0.3x>0.4x，解得x<100；
此时选择乙种业务比较合算.
②由y1100.
此时选择甲种业务比较合算.
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(3)根据实际情况选择方案.
当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲、乙两种业务一样合算；
如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；
如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业务比较合算.
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归纳总结
一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答：
(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；
(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；
(3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．
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例2. 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10至25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给与每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,然后给与其余游客八折优惠.
该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
思考：10至25人的含义是什么？
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解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y 2 元，则
y 1 = 200 × 0.75 x， 即 y 1 = 150 x；
y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
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由 y 1 = y 2 ，得150 x = 160 x - 160，解得 x = 16；
由 y 1 > y 2 ，得150 x > 160 x - 160，解得 x < 16；
由 y 1 < y 2 ， 得150 x < 160 x - 160，解得 x > 16
因为参加旅游的人数为 10 至 25 人，所以，当 x = 16 时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当 17≤x≤ 25 时，选择甲旅行社费用较少；当 10≤ x ≤15 时，选择乙旅行社费用较少．
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例3：为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
(1)y与x的函数关系式为________；
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
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分析：本题中的等量关系为“所需费用＝购进A，B两种树苗的费用和”，列出函数关系式，进而利用函数的性质求解．
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解：(1)y＝－20x＋1 890
(2)由题意，得x＜21－x，解得x＜10.5.又∵x≥1，
∴1≤x＜10.5且x为整数，
由一次函数的性质，得当x＝10时，y有最小值，
为－20×10＋1 890＝1 690，
∴最省方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，
所需费用为1 690元．
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归纳总结
在本节问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态．因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题。
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当堂检测
1．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y( 元 )与销售量
x( 件 )之间的函数图象．给出下列说法：①买2件时甲、乙两家售价相
同；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件
售价约为3元．其中正确的个数为（　D　）
A.0 B．1
C．2 D．3
D
当堂检测
2．暑假期间，李老师计划带领本班学生到北京旅游，他联系了报价
均为240元/人的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠方案是老师
买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠方案是老师、学生
都按六折优惠．设李老师带领x名学生去旅游，甲旅行社的收费为y1元，
乙旅行社的收费为y2元．
(1)y1＝ ，y2＝ ；
(2)当学生人数 时，选择甲旅行社更划算；
(3)当学生人数 时，选择乙旅行社更划算．
120x＋240　
144x＋144　
多于4人　
少于4人　
当堂检测
3．某电影院门票：成人每张30元，学生每张15元，暑假中电影院门票制定两种优惠方案：方案一：购一张教师票赠送一张学生票；方案二：按总价的80%付款．某校有4名教师与若干学生( 不小于4名 )看电影．
( 1 )设学生人数为x( x≥4 )名，付款总金额为y元，则方案一的函数关
系式是 ，方案二的函数关系式是 ；
( 2 )请你确定最节省费用的购票方案：
①当 时，两种方案付款一样多；
②当 时，选方案一较划算；
③当 时，选方案二较划算．
y＝15x＋60　
y＝12x＋96　
x＝12　
4≤x＜12　
x＞12　
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4．暑假全家准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“每个家庭一人买全票，其余成员按半价优惠．”乙旅行社告知：“每个家庭旅游可按团体票价，即每人均按原价的六折收费．”若这两家旅行社每人的全票价都是400元，问选择哪家旅行社划算？
当堂检测
解：设这家有x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元．
由题意，得y甲＝400＋400×0.5( x－1 )＝200x＋200，
y乙＝400×0.6x＝240x.
当y甲＝y乙时，200x＋200＝240x.解得x＝5.
当y甲＞y乙时，200x＋200＞240x.解得x＜5.
当y甲＜y乙时，200x＋200＜240x.解得x＞5.
∴当x＞5时，甲旅行社划算；
当x＝5时，甲、乙旅行社费用一样；
当0＜x＜5时，乙旅行社划算．
当堂检测
5．某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输，每千克只需运费0.58元；由公路运输，每千克需运费0.28元，运完这批牛奶还需其他费用600元．设该公司运输的这批牛奶为x kg，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元．
(1)请直接写出y1，y2与x之间的关系式；
解：(1)y1＝0.58x，y2＝0.28x＋600.
当堂检测
解：(2)当y1＝1 500时，1 500＝0.58x.解得x＝.
当y2＝1 500时，1 500＝0.28x＋600.解得x＝.
∵＜，∴选择公路运输运送的牛奶多．
当x＝1 500时，y1＝0.58×1 500＝870，y2＝0.28×1 500＋600＝1 020.
∵y1＜y2，∴选择铁路运输所需费用较少．
(2)若公司只支出运费1 500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？
若公司运送1 500 kg牛奶，则选用哪种运输方式所需费用较少？
当堂检测
6．某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨，将这些猕猴桃全部运到甲、乙两个冷藏仓库．已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两个仓库的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两个仓库的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，从A，B两地运往两个仓库的猕猴桃费用分别为yA元和yB元．
当堂检测
( 1 )分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
解：( 1 )从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，则从A地运往乙仓库的猕猴桃为( 200－x )吨，从B地运往甲仓库的猕猴桃为( 240－x )吨，从B地运往乙仓库的猕猴桃为( x＋60 )吨．
由题意，得yA＝20x＋25( 200－x )＝－5x＋5 000.
yB＝15( 240－x )＋18( x＋60 )＝3x＋4 680.
当堂检测
( 2 )试讨论A，B两地中，哪个的运费较少．
( 2 )当yA>yB时，－5x＋5 000>3x＋4 680.解得x<40.
当yA＝yB时，－5x＋5 000＝3x＋4 680.解得x＝40.
当yA40.
∴当0≤x<40时，B地的运费较少；
当x＝40时，两地的运费一样；
当40方案选择问题：
(1)根据题意分别写出方案A、B的函数解析式yA、yB；
(2)将方案A、B进行比较：①yA>yB , ②yA(3)根据实际情况选择方案.
感谢收看