5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)
一、教学目标
1.通过观察正弦函数、余弦函数的图象，感悟正、余弦函数的周期性，理解周期函数的概念，掌握正弦函数、余弦函数以及、等函数周期的一般求解方法．
2. 经历正弦函数、余弦函数奇偶性的证明过程，掌握与相关函数的奇偶性判断及对称轴、对称中心的问题求解。
3. 感悟函数的周期性、奇偶性对研究函数图象和性质的作用，为后续利用三角函数性质解决问题作铺垫。
二、教学重难点
1. 利用正弦函数和余弦函数的图象，得到其周期性、奇偶性，并给予代数证明
2. 用正弦函数和余弦函数的性质解决有关的问题
三、教学过程
1.直观感知，新课导入
引导语：同学们，前面我们学习了正弦函数、余弦函数的定义，并掌握了利用“五点作图法”绘制正弦、余弦函数的图象，现在同学们观察其图象，用自己的语言描述一下正、余弦函数的图象具有哪些特点？
：
：
生：函数图象循环往复，周而复始地向两边延伸，而且有起有伏，具有很好的对称性。
师：图象的这些特点其实蕴藏着正弦函数、余弦函数丰富的规律性，即函数的性质，与“周而复始”相对应的是周期性，而与“对称”相对应的是函数的奇偶性。下面我们一起来探索学习这两大性质——周期性、奇偶性。
设计意图：正弦函数、余弦函数的图象形态优美，波浪起伏，周而复始，既是轴对称图形也是中心对称图形。学生首先通过直观感知函数图象，发现其中所蕴含的规律，从而激发起探索的欲望。
2.师生互动，新知探究
2.1周期性
师生活动：观察正弦函数的图象，可以发现，图象上横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，即自变量的值增加的 整数倍时所对应的函数值保持不变，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。
定义：一般地，设函数的定义域为,如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期。
师：根据周期的定义，正弦函数的周期是多少？其周期唯一吗？
生： 以及都是正弦函数的周期。事实上且，常数都是它的周期。
师：这一点可从定义看出，也能从诱导公式中体现出来。咱们都知道：，那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？
生：不是，比如，并不是对定义域内的每一个都有。
师：若一个函数的一个周期是,则都是函数的周期吗？
生：是的，由定义可知：。
师：这说明周期函数的周期不止一个。
定义：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。
注：①如果不加特别说明，所说的周期一般都是指函数的最小正周期。
②并非所有的周期函数都有最小正周期，例如，对于常数函数（是常数），所有的非零实数都是它的周期，显然在非零实数集中并不存在最小的正数。
根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是。类似地，余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是。
教师指出：最小正周期是函数最具代表性的一个周期，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期。但并非所有的周期函数都有最小正周期，例如，常函数（为常数），所有的非零常数都是它的周期，显然在非零实数组成的集合中并不存在最小的正数，所以常函数并不存在最小正周期。
设计意图：从正弦函数的图象入手分析其规律，归纳一般得到周期函数的定义，全方位理解周期及最小正周期的含义，为下面研究做铺垫。
例1求下列函数的周期：
师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解．
求解的步骤如下：
第一步，先用换元法转换.比如对于“（1），”，令，所以；
第二步，利用已知三角函数的周期找关系.有，代入可得；
第三步，根据定义变形.变形可得，于是就有；
第四步，确定结论.根据定义可知其周期为．
师：回顾例1的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪个量有关？
生：周期和自变量的系数有关。
师：一般地，你能说出函数与的周期吗？（其中A，，为常数，且），请给出证明。
师生探究：令，由得，且函数及函数的周期都是，由于，所以，自变量增加时，函数值不变，从而函数的周期为。同理，函数的周期也为。
师：上述求函数与周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即命题“如果函数的周期是，那么函数的周期是”是否成立？
师生活动：由猜想到证明，教师引导学生利用周期性定义证明猜想。
设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数的周期，为后续学习作准备。从特殊到一般，进一步研究函数的性质，从三角函数推向一般函数的周期研究。
2.1奇偶性
师生活动：观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称。余弦曲线关于 y 轴对称。这一事实，也可由诱导公式 =；= 得到。所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
例2（1）函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为 ( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2) 判断函数的奇偶性．
解：(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．
(2)，
所以函数为偶函数
方法提炼：
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系。
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简
师：今天我们学习了正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，那么，知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助
生：可以根据周期函数图象的重复性，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，另外奇偶性也可起到简化研究函数性质的作用。
设计意图：进一步加深对周期性和奇偶性的认识与理解，学会运用从部分到整体的思想解决问题。
3.活学活用，及时巩固
1.求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验：
（1），； （2），；
（3），； （4），.
（5），
2.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
（1）； （2）；
（3）； （4），.
3.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且时，，则的值为_____．
设计意图：学生当堂限时训练并派代表上台板演，老师评价并针对性讲解，夯实基础，及时巩固本节课内容。
4.课堂小结，知识升华
本节课我们利用正弦函数和余弦函数的图象学习了周期性和奇偶性，并应用这些性质解决了相关问题，希望大家在今后的学习中不断深化对正弦函数和余弦函数周期性和奇偶性的理解，下节课我们将在此基础上继续探究正、余弦函数的其他性质。5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)
一、教学目标
1理解正弦函数、余弦函数的单调性与最值的概念，会用整体法求正弦函数、余弦函数的单调区间与最值.
2.观察正弦函数、余弦函数图像，研究出单调性、最值性质.
3.经历从一般到特殊的抽象过程，培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力.
二、教学重难点
1.重点：通过三角函数图像，得到三角函数的单调性、最值等性质.
2.难点：如何从一个周期的单调性推广到整个定义域上的单调性.
三、教学过程
1.创设情境，揭示课题
【生活情境】：观察正弦函数、余弦函数图像，我们发现，它不仅有“周而复始”的变化特征，还有“波浪起伏”的特点。正如我们的人生，并不是一帆风顺，而是起起伏伏，明白了这一道理就可以更好地把握人生。研究这种“波浪起伏”的特点，就是要研究正弦函数、余弦函数的单调性.
【设计意图】揭示主题，同时让学生感受到数学是来源生活的，我们要会用数学的语言表达世界.
问题1 请同学们回顾一下，上节课我们研究了正弦函数、余弦函数的什么性质？是通过什么方式研究的.
【预设的答案】周期性，奇偶性；图像，定义，单位圆
【设计意图】回顾旧知，一是为了引入本节课的主要研究内容，二是为了让学生复习研究函数性质的一般方法.
2.构建知识，形成概念
问题2 同样地，我们也可以借助于正弦函数的图像来研究它的单调性，请同学们观察图像，思考下列问题.
问题2.1 观察正弦函数的图像，请你写出它的单调增区间.
【设计意图】从学生熟悉的“形”入手来研究函数单调性.
问题2.2 还有其他单调增区间吗？你能一一列举出来吗？
【设计意图】根据图像写出单调增区间，但是因为图像是无限延展的，学生就会意识到不可能一一列举出来.
问题2.3 那能否找一个形式将这些单调增区间统一起来？请观察你列出来的单调增区间，他们的左、右端点之间有关系吗？有何关系？你能得到单调增区间的一般结论吗？
【预设的答案】，
【设计意图】既然无数个单调增区间，不可能一一列举，那我们就迫切需要将这些单调增区间进行整合，寻找一个统一的形式来表示，这里主要引导学生从“数”的角度归纳出单调增区间.
问题2.4 你写的单调增区间与你周围同学的一样吗？如果不一样，请思考是什么原因.
【预设的答案】形式不一样，但是本质是一样的，区别在于所选的周期不一样。
【设计意图】引导学生发现单调增区间的写法可能不一样，这与我们选择的周期有关，但是本质是一样的.也就是说我们研究单调增区间与所选的周期无关.
问题2.5 既然正弦函数的单调增区间与所选的周期无关，那如果我们选择这个周期，能否直接根据这个周期的图像得到正弦函数在整个定义域上的单调增区间呢？
【设计意图】刚才是通过归纳法得到的单调增区间，现在通过周期性的性质，进行说理证明.
问题2.6 因此，我们可以通过研究正弦函数一个周期的图像进而研究出整个定义域上的单调增区间.观察你写的单调增区间上函数值的有何变化特点？
【预设的答案】函数值从-1变为0再变为1
【设计意图】引导学生发现单调增区间上函数值的变化特点
问题2.7 那我们如果选择这个周期，请你再试着写它的单调增区间？函数值又是如果变化的？对你有什么启发.
【设计意图】虽然也是一个周期，但是一是单调增区间被割裂了，比较复杂；二是函数值并不是从-1连续变为1.因此引导学生在寻找单调增区间的时候，函数值是从-1连续变为1，而不是断开的.
问题3 你能仿照刚才的方法，写出正弦函数的单调减区间吗？函数值又有何变化特点？
【设计意图】将研究单调增区间的方法迁移，学生自然而然知道如何研究单调减区间.
问题4 通过研究一个周期的单调性就可以研究出整个定义域上的单调性，请大家仿照同样的方法，研究出正弦函数的最值.
【设计意图】研究出了单调性，最值的研究就水到渠成了.
3.合作交流，类比迁移
问题5 请你类比正弦函数单调性和最值的研究方法，研究出余弦函数的单调性和最值.请大家自主研究，完成以下表格，然后小组讨论.
单调增区间 单调减区间 最大值 最大值时自变量的值 最小值 最小值时自变量的值
运用新知，巩固提高
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.
（1），；
（2），.
【活动预设】学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，教师点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1），因为1是确定值，因此问题转化为求的最值；对于（2），令，转化为求的最值;对于（3），它与（2）的不同之处在于自变量的范围有限制．
【设计意图】巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用．
例2 不通过求值，比较下列各组数的大小：
与 （2）与
【活动预设】学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．
【设计意图】初步应用函数的单调性解决比较大小的问题．
例3 求函数，的单调递增区间．
【活动预设】师生共同分析此问题，然后共同完成求解、本题中，令，，当自变量x的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增．
在解题完成后，教师可进一步提出此问题的变式问题：求函数，的单调递增区间．此变式问题让学生独立完成，可能会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．
【设计意图】类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
归纳总结，形成能力
本节课我们利用正弦函数和余弦函数的图象、在上节课研究完周期性和奇偶性的基础上，研究了函数正弦函数和余弦函数的单调性和最值，并应用这些性质解决了相关问题，希望大家在今后的学习中不断深化对正弦函数和余弦函数性质的理解．
知识 通过图象直观研究函数的性质，周期性、奇偶性、单调性；
方法 换元法
思想 化归思想 数形结合
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