九年级下册第一章回顾与思考
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九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考 学案:课时
1、 知识要点：
1. 锐角三角函数的定义
2. 特殊角的三角函数值
锐角α 30 45 60
sinα
cosα
tanα
cotα
3. 运用直角三角形的边角关系解决问题：
有关边： ①勾股定理及逆定理，如图1， ；
②如图2，D为AB边中点，则有CD= ；
③如图3，∠A=30 ，则有BC= 。
有关角： ①直角三角形两锐角 ；
②等腰直角三角形每个锐角都等于 。
有关边与角：，如图1，SinA= ；cosA= , tanA , cotA .
4. 数形结合思想的运用
二、典型例题及分析：
1．利用三角函数的定义计算：
例1：在△ABC中，∠C=90 ，SinA=，求cotB
思路分析：可利用三角函数的定义或同角三角函数关系来求
跟踪练习：
已知在中，，直角边是直角边的2倍，则的值是 ．
2．构造直角三角形：
例2：等腰三角形两边长分别是10和13，求底角的余弦。
思路分析：关注条件中没指明腰和底，注意分类。当题目所给条件不明确，常考虑分类；有关等腰三角形的问题，底边上的高，底边上中线，顶角平分线，是常加的辅助线之一，这样可以把等腰三角形问题转化为直角三角形问题去解决；若三角形不是直角三角形，常作辅助线构成直角三角形，使特殊角成为直角三角形的锐角。
跟踪练习：.自己推导15 角的三角函数值
思路分析：求三角函数值必然要构造直角三角形。
3.解决实际问题
如图，某居民小区内两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，楼在楼正南，楼窗户朝南．楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米．当正午时刻太阳光线与地面成角时，楼的影子是否影响楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．
（参考数据：，，）
分析：过A楼最高点作出光线，利用特殊的直角三角形求出影长，再求出光线落在B楼墙上的影厂
跟踪练习：如图，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲、乙两人分别在相距8米的两处测得点和点的仰角分别为和，且三点在一条直线上．若米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）
基础练习：
1.在中，，，则 ．
2. 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=,△ABC的周长为60，求△ABC的面积。
3. 如图，在 中， ，，点D在BC边上，且∠ADC＝45°，DC＝6，求∠BAD的正切值。
4. （山东）如图，在四边形ABCD中，∠A=135 ，∠B=∠D=90 ，BC=4，AD=，求S四边形ABCD的面积
知识延伸：
1. 如图，甲、乙两栋高楼的水平距离为90米，从甲楼顶部点测得乙楼顶部点的仰角为，测得乙楼底部点的俯角为，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）
2.美丽的东昌湖赋于江北水城以灵性，周边景点密布．如图，为湖滨的两个景点，为湖心一个景点．景点在景点的正东，从景点看，景点在北偏东方向，景点在北偏东方向．一游客自景点驾船以每分钟米的速度行驶了分钟到达景点，之后又以同样的速度驶向景点，该游客从景点到景点需用多长时间（精确到分钟）？
分析：要求该游客从景点到景点需用多长时间，需要先求出BC的长度。
2. 3.一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛，继续向东航行60海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？
（参考数据：）
拓展提高：
1、直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4、
将△ABC沿BD折叠，使点C 落在AB上，然后沿
着EF折叠，使点B与点D重合，则
A、 B、 C、 D、
2．如右图，在□ABCD中，AB: AD = 3:2，∠ADB=60°，
那么cosＡ的值等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4、
将△ABC沿BD折叠，使点C 落在AB上，然后沿
着EF折叠，使点B与点D重合，则
A、 B、 C、 D、
4.如图，△ABC中D为AB的中点，CD⊥AC于C，过D作DE∥AC交BC于E，若DE=DB，求cosA的值。
【中考链接】
1．（湖北鄂州）如图，△ABC中，∠B=30 ，∠C=45 ，AB–AC=2–，求BC的长．
2．（黑龙江）“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花园的面积。
3．(玉林)阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，
于是csinB=bsinC，即．
同理有，．
所以………(*)
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A ∠B；
第二步：由条件 ∠A、∠B． ∠C；
第三步：由条件． c．
(2) 一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．643，sin65°=0．906，sin70°=0．940，
A楼
B楼
Ｃ
D
M
N
E
A
B
C
D
C
B
A
北
东
东
北
C
B
A
A
B
C
D
A
B
C
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九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考 学案:课时
1、 知识要点：
1. 锐角三角函数的定义
2. 特殊角的三角函数值
锐角α 30 45 60
sinα
cosα
tanα
cotα
3. 运用直角三角形的边角关系解决问题：
有关边： ①勾股定理及逆定理，如图1， ；
②如图2，D为AB边中点，则有CD= ；
③如图3，∠A=30 ，则有BC= 。
有关角： ①直角三角形两锐角 ；
②等腰直角三角形每个锐角都等于 。
有关边与角：，如图1，SinA= ；cosA= , tanA , cotA .
4. 数形结合思想的运用
二、典型例题及分析：
1．利用三角函数的定义计算：
例1：在△ABC中，∠C=90 ，SinA=，求cotB
思路分析：可利用三角函数的定义或同角三角函数关系来求
跟踪练习：
已知在中，，直角边是直角边的2倍，则的值是 ．
2．构造直角三角形：
例2：等腰三角形两边长分别是10和13，求底角的余弦。
思路分析：关注条件中没指明腰和底，注意分类。当题目所给条件不明确，常考虑分类；有关等腰三角形的问题，底边上的高，底边上中线，顶角平分线，是常加的辅助线之一，这样可以把等腰三角形问题转化为直角三角形问题去解决；若三角形不是直角三角形，常作辅助线构成直角三角形，使特殊角成为直角三角形的锐角。
跟踪练习：.自己推导15 角的三角函数值
思路分析：求三角函数值必然要构造直角三角形。
3.解决实际问题
如图，某居民小区内两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，楼在楼正南，楼窗户朝南．楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米．当正午时刻太阳光线与地面成角时，楼的影子是否影响楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．
（参考数据：，，）
分析：过A楼最高点作出光线，利用特殊的直角三角形求出影长，再求出光线落在B楼墙上的影厂
跟踪练习：如图，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲、乙两人分别在相距8米的两处测得点和点的仰角分别为和，且三点在一条直线上．若米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）
基础练习：
1.在中，，，则 ．
2. 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=,△ABC的周长为60，求△ABC的面积。
3. 如图，在 中， ，，点D在BC边上，且∠ADC＝45°，DC＝6，求∠BAD的正切值。
4. （山东）如图，在四边形ABCD中，∠A=135 ，∠B=∠D=90 ，BC=4，AD=，求S四边形ABCD的面积
知识延伸：
1. 如图，甲、乙两栋高楼的水平距离为90米，从甲楼顶部点测得乙楼顶部点的仰角为，测得乙楼底部点的俯角为，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）
2.美丽的东昌湖赋于江北水城以灵性，周边景点密布．如图，为湖滨的两个景点，为湖心一个景点．景点在景点的正东，从景点看，景点在北偏东方向，景点在北偏东方向．一游客自景点驾船以每分钟米的速度行驶了分钟到达景点，之后又以同样的速度驶向景点，该游客从景点到景点需用多长时间（精确到分钟）？
分析：要求该游客从景点到景点需用多长时间，需要先求出BC的长度。
2. 3.一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛，继续向东航行60海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？
（参考数据：）
拓展提高：
1、直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4、
将△ABC沿BD折叠，使点C 落在AB上，然后沿
着EF折叠，使点B与点D重合，则
A、 B、 C、 D、
2．如右图，在□ABCD中，AB: AD = 3:2，∠ADB=60°，
那么cosＡ的值等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4、
将△ABC沿BD折叠，使点C 落在AB上，然后沿
着EF折叠，使点B与点D重合，则
A、 B、 C、 D、
4.如图，△ABC中D为AB的中点，CD⊥AC于C，过D作DE∥AC交BC于E，若DE=DB，求cosA的值。
【中考链接】
1．（湖北鄂州）如图，△ABC中，∠B=30 ，∠C=45 ，AB–AC=2–，求BC的长．
2．（黑龙江）“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花园的面积。
3．(玉林)阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，
于是csinB=bsinC，即．
同理有，．
所以………(*)
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A ∠B；
第二步：由条件 ∠A、∠B． ∠C；
第三步：由条件． c．
(2) 一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．643，sin65°=0．906，sin70°=0．940，
A楼
B楼
Ｃ
D
M
N
E
A
B
C
D
C
B
A
北
东
东
北
C
B
A
A
B
C
D
A
B
C
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