第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时
知识点1 平行四边形中有关线段和角的计算
1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,
若∠DCE=128°,则∠A=(C)
A.32° B.42° C.52° D.62°
2.在 ABCD中(如图),连接AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=(C)
A.80° B.100° C.120° D.140°
3.如图,四边形AECD是平行四边形,BE=AE,若AD=3,BC=7,则边CD的长是 4 .
知识点2 平行四边形中的有关证明
4.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF与△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF;
(2)∵△ADF≌△CBE,
∴∠AFD=∠CEB,∴BE∥DF.
5.如图,在 ABCD中,BD是它的一条对角线.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹);
(3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=CB,
∵BD=DB,
∴△ABD≌△CDB(SSS);
(2)如图所示,
(3)如图,
∵EF垂直平分BD,∠DBE=25°,∴EB=ED,
∴∠DBE=∠BDE=25°,
∵∠AEB是△BED的外角,
∴∠AEB=∠DBE+∠BDE=25°+25°=50°.
知识点3 平行线间的距离
6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是(C)
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
7.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,
FG=6 cm,则AB与CD间的距离为 6 cm.
8.将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC的度数为(B)
A.100° B.80° C.70° D.60°
9.如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 (4,2) .
10.如图,在 ABCD中,CE⊥AB,交BA的延长线于点E,若∠BCD=125°,则∠AFC的度数为 145° .
11.(易错警示题)平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为 20或22 .
12.如图,在 ABCD中,CB=2AB,∠DCB的平分线交DA于点E,交BA的延长线于点F,连接BE.
(1)求证:DE=AE;
(2)若∠DAF=70°,求∠BEA的度数.
【解析】(1)∵CE是∠DCB的平分线,∴∠DCE=∠BCF,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=DC,
∴∠DCE=∠CFB,∴∠BCF=∠CFB,
∴BC=BF,∵BC=2AB,∴BF=2AB,
∴A为BF的中点,∴AB=AF,
∴AB=DC=AF,在△DEC和△AEF中,
∴△DEC≌△AEF(AAS),
∴DE=AE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DA∥CB,
∴∠CBF=∠DAF=70°,∠BEA=∠EBC,
∵△DEC≌△AEF,∴CE=EF,
∵BC=BF,
∴∠EBC=∠FBE=∠CBF=35°,
∴∠BEA=35°.
13.(教材再开发·P50T10拓展)综合与实践
【问题情境】
(1)如图1,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,则EF的长为 ;
【知识拓展】
(2)把“问题情境”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长;
②当点E与点C重合时,求EF的长.
【综合运用】
(3)把“问题情境”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点E,F在C,D中间,且点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,如图2,图3所示,求的值.
【解析】【问题情境】(1)∵∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,
∴∠DAE=∠BAE,∠ABF=∠CBF,
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=8,AD=5,
∴AB∥CD,AD=BC=5,AB=CD=8,
∴∠DEA=∠BAE,∠ABF=∠CFB,
∴∠DEA=∠DAE,∠CBF=∠CFB,
∴AD=DE=5,CB=CF=5,∴EF=DE+CF-CD=2.
答案:2
【知识拓展】(2)①如图①所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD,
∴∠DEA=∠BAE,
∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,
∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5,
同理:BC=CF=5,
∵点E与点F重合,
∴AB=CD=DE+CF=10;
②如图②所示:
∵点E与点C重合,∴DE=AD=5,
∵CF=BC=5,∴点F与点D重合,∴EF=DC=5;
【综合运用】(3)分两种情况:
①如题图2所示:
同(2)得:AD=DE,
∵点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,
∴AD=DE=EF=CF,∴=;
②如题图3所示:
同(2)得:AD=DE=CF,
∵DF=FE=CE,∴=.
综上所述,的值为或.第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时
知识点1 平行四边形中有关线段和角的计算
1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,
若∠DCE=128°,则∠A=( )
A.32° B.42° C.52° D.62°
2.在 ABCD中(如图),连接AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
3.如图,四边形AECD是平行四边形,BE=AE,若AD=3,BC=7,则边CD的长是 .
知识点2 平行四边形中的有关证明
4.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
5.如图,在 ABCD中,BD是它的一条对角线.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹);
(3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数.
知识点3 平行线间的距离
6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是( )
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
7.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,
FG=6 cm,则AB与CD间的距离为 cm.
8.将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC的度数为( )
A.100° B.80° C.70° D.60°
9.如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 .
10.如图,在 ABCD中,CE⊥AB,交BA的延长线于点E,若∠BCD=125°,则∠AFC的度数为 .
11.(易错警示题)平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为 .
12.如图,在 ABCD中,CB=2AB,∠DCB的平分线交DA于点E,交BA的延长线于点F,连接BE.
(1)求证:DE=AE;
(2)若∠DAF=70°,求∠BEA的度数.
13.(教材再开发·P50T10拓展)综合与实践
【问题情境】
(1)如图1,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,则EF的长为 ;
【知识拓展】
(2)把“问题情境”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长;
②当点E与点C重合时,求EF的长.
【综合运用】
(3)把“问题情境”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点E,F在C,D中间,且点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,如图2,图3所示,求的值.18.1.1 平行四边形的性质
第2课时
知识点1 平行四边形对角线互相平分
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长为(D)
A.12 B.9 C.8 D.6
2.如图,在 ABCD中,AC⊥BC,AC与BD相交于O,若AB=5,BC=3,则BD的长为(A)
A.2 B. C.2 D.
3.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,∠BAO=90°,BD=10 cm,AC=6 cm,则AB的长为 4 cm .
4.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AD=12 cm,CD=10 cm,则△AOD的周长比△OCD的周长多 2 cm.
5.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
(2)在 ABCD中,OB=OD=BD=6.5,
在Rt△BOE中,∠BEO=90°,OB=6.5,BE=6,
由勾股定理知:OE===2.5,由(1)知,OE=OF,故EF=2OE=5.
知识点2 平行四边形的面积
6.如图,点E在 ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是(A)
A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3
C.S1+S2
7.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD交于点O,BC=8,DB=12,AC=20,则四边形ABCD的面积是(D)
A.48 B.40 C.24 D.96
8.如图,直线EF经过 ABCD的对角线的交点,若四边形ABCD的面积为30 cm2,则四边形EDCF的面积为(A)
A.15 cm2 B.20 cm2 C.25 cm2 D.30 cm2
9.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若AC=2AB,
∠BAO=94°,则∠AOD的度数为(C)
A.157° B.147° C.137° D.127°
10.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为 1411.如图,已知 ABCD的周长为18,对角线AC和BD相交于点O,AC⊥BC,若AC=3,S△AOD= 3 .
12.如图,EF过 ABCD对角线的交点O,分别交AD,BC于点E,F,若 ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 12 .
13.(2024·达州期末)如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于点O,延长EF交AD的延长线于点G.
(1)求证:BO=DO;
(2)若BD⊥AD,∠BEG=90°,∠A=45°,FG=,求AD的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∴∠ODF=∠OBE,
在△ODF与△OBE中,
,
∴△ODF≌△OBE(AAS),
∴BO=DO;
(2)∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵∠A=45°,
∴∠DBA=∠A=45°,
∵EF⊥AB,
∴∠G=∠A=45°,
∴△ODG是等腰直角三角形,
∵AB∥CD,∠BEG=90°,
∴DF⊥OG,
∴DF=OF=FG,△DFG是等腰直角三角形,
∵△ODF≌△OBE,
∴OD=OB,
∵△DFG是等腰直角三角形,
∴DF=FG=,则由勾股定理得到DG=DF=2,
∴DO=DG=2,
∴在等腰Rt△ADB中,DB=2DO=4=AD,
∴AD=4.
14.综合与实践:
【问题情景】如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD⊥AD于点D,
∠BAD=30°,BD=4.E为AB上的一动点,连接EO并延长,交CD于点F.
(1)【独立思考】当EF⊥AB时,求∠BOE的度数;
(2)【实践探究】当四边形ADFE为平行四边形时,求AE的长;
(3)【问题解决】当点O在BE的垂直平分线上时,连接DE,求△BDE的面积.
【解析】(1)∵BD⊥AD,∠BAD=30°,
∴∠ADB=90°,∠ABD=60°.
∵EF⊥AB,
∴∠OEB=90°.
∴∠BOE=30°.
(2)在 ABCD中,AB∥CD,AB=CD,OD=OB,
∴∠DBA=∠BDC.
∵∠DOF=∠BOE,
∴△DOF≌△BOE(ASA).
∴DF=BE.
∵四边形ADFE为平行四边形,
∴AE=DF.
∴AE=BE=AB.
∵BD⊥AD,∠BAD=30°,BD=4,
∴AB=2BD=8.
∴AE=4.
(3)如图,连接DE,
∵DO=BO,BD=4,
∴DO=BO=2.
∵点O在线段BE的垂直平分线上,
∴OE=OB.
∵∠ABD=60°,∴△BOE是等边三角形.
∴BE=BO=2,∠BEO=∠BOE=60°.
∵OE=OD=2,
∴∠OED=∠ODE=30°=∠BOE.
∴∠DEB=90°.
∴DE==2.
∴S△BDE=BE·DE=×2×2=2.
素养提升攻略
数学史料
距离与面积
距离是几何中的重要度量单位之一.回顾几何的学习,我们知道距离是几何学习中的重要起点.七年级上册中,我们学过一个关于线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短.因此我们可以得出,两点之间的距离是存在的,并且是唯一的.
在几何的学习中,仅仅有距离是不够的.如图,线段AB和AC是相等的,如何把点B和点C区别,这时就引进了角的概念.这样就可以把点B和点C进行区分.
有了点和点之间的距离,就可以定义点与直线的距离.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.进而得到两平行线之间的距离.
在距离的基础上,再谈图形的面积就顺理成章了.单位正方形的面积我们定义为1个单位面积.有了面积单位,我们得到长方形、平行四边形、三角形、梯形等多边形和圆的面积,以及它们的计算公式.
面积非常直观,看得见,摸得着,其计算公式涉及垂直等图形的位置关系,在几何证明中具有非常广泛的应用.
素养训练8几何直观、推理能力、模型观念
如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形.
(1)如图①,点P为AD边上任意一点,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与 ABCD的面积S之间的数量关系是 ;
(2)如图②,设AC,BD交于点P,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与 ABCD的面积S之间的数量关系是 ;
(3)如图③,点P为 ABCD内任意一点时,试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与 ABCD的面积S之间的数量关系,并加以证明;
(4)如图④,已知点P为 ABCD内任意一点,△PAB的面积为2,△PBC的面积为8,连接PD,BD,求△PBD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴S△PBC=S,∴S△ABP+S△DCP=S,∴S1+S2=S.
答案:S1+S2=S
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADP=∠CBP,∠DAC=∠ACB,∴△ADP≌△CBP,
∴PA=PC,BP=DP,∴S△ABP=S△ADP=S△DPC=S△BCP,∴S1+S2=S.
答案:S1+S2=S
(3)S1+S2=S.
理由:如图,作PE⊥AB于E,延长EP交CD于F.
∵AB∥CD,PE⊥AB,∴PF⊥CD,∴S1+S2=AB·PE+CD·PF=AB·EF=S.
(4)设△PAD的面积为x,△PDC的面积为y,
则S△BCD=S△ABD=S平行四边形ABCD=2+y=x+8,
∴y-x=6,∴S△PBD=8+y-(2+x+y+8)=3+(y-x)=6.18.1.1 平行四边形的性质
第2课时
知识点1 平行四边形对角线互相平分
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长为( )
A.12 B.9 C.8 D.6
2.如图,在 ABCD中,AC⊥BC,AC与BD相交于O,若AB=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2 B. C.2 D.
3.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,∠BAO=90°,BD=10 cm,AC=6 cm,则AB的长为 .
4.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AD=12 cm,CD=10 cm,则△AOD的周长比△OCD的周长多 cm.
5.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长.
知识点2 平行四边形的面积
6.如图,点E在 ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是( )
A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3
C.S1+S27.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD交于点O,BC=8,DB=12,AC=20,则四边形ABCD的面积是( )
A.48 B.40 C.24 D.96
8.如图,直线EF经过 ABCD的对角线的交点,若四边形ABCD的面积为30 cm2,则四边形EDCF的面积为( )
A.15 cm2 B.20 cm2 C.25 cm2 D.30 cm2
9.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若AC=2AB,
∠BAO=94°,则∠AOD的度数为( )
A.157° B.147° C.137° D.127°
10.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为 .
11.如图,已知 ABCD的周长为18,对角线AC和BD相交于点O,AC⊥BC,若AC=3,S△AOD= .
12.如图,EF过 ABCD对角线的交点O,分别交AD,BC于点E,F,若 ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 .
13.(2024·达州期末)如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于点O,延长EF交AD的延长线于点G.
(1)求证:BO=DO;
(2)若BD⊥AD,∠BEG=90°,∠A=45°,FG=,求AD的长.
14.综合与实践:
【问题情景】如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD⊥AD于点D,
∠BAD=30°,BD=4.E为AB上的一动点,连接EO并延长,交CD于点F.
(1)【独立思考】当EF⊥AB时,求∠BOE的度数;
(2)【实践探究】当四边形ADFE为平行四边形时,求AE的长;
(3)【问题解决】当点O在BE的垂直平分线上时,连接DE,求△BDE的面积.
素养提升攻略
数学史料
距离与面积
距离是几何中的重要度量单位之一.回顾几何的学习,我们知道距离是几何学习中的重要起点.七年级上册中,我们学过一个关于线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短.因此我们可以得出,两点之间的距离是存在的,并且是唯一的.
在几何的学习中,仅仅有距离是不够的.如图,线段AB和AC是相等的,如何把点B和点C区别,这时就引进了角的概念.这样就可以把点B和点C进行区分.
有了点和点之间的距离,就可以定义点与直线的距离.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.进而得到两平行线之间的距离.
在距离的基础上,再谈图形的面积就顺理成章了.单位正方形的面积我们定义为1个单位面积.有了面积单位,我们得到长方形、平行四边形、三角形、梯形等多边形和圆的面积,以及它们的计算公式.
面积非常直观,看得见,摸得着,其计算公式涉及垂直等图形的位置关系,在几何证明中具有非常广泛的应用.
素养训练8几何直观、推理能力、模型观念
如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形.
(1)如图①,点P为AD边上任意一点,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与 ABCD的面积S之间的数量关系是 ;
(2)如图②,设AC,BD交于点P,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与 ABCD的面积S之间的数量关系是 ;
(3)如图③,点P为 ABCD内任意一点时,试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与 ABCD的面积S之间的数量关系,并加以证明;
(4)如图④,已知点P为 ABCD内任意一点,△PAB的面积为2,△PBC的面积为8,连接PD,BD,求△PBD的面积.