18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
知识点1 平行四边形判定定理的灵活选择
1.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠A=∠C,添加下列一个条件后,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠D
C.∠B=∠D D.AB=CD
2.在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是( )
A.BD∥CF B.DF=BC
C.BD=CF D.∠B=∠F
3.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这样做法的依据是 .
4.(2024·河池期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有以下条件:①∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC;②AB=CD,AD=AC;③AD∥BC,AB=CD;④OA=OC,OB=OD.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 .(填序号)
知识点2 平行四边形性质和判定的综合应用
5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F是对角线AC上的点.下列条件中,不能判定四边形BEDF是平行四边形的是( )
A.DE=BF B.AF=CE
C.∠ABE=∠CDF D.DF∥BE
6.(2024·泉州质检)如图,将 ABCD(AB>BC)折叠,使点A落在边CD上的点F处,折痕为DE.已知CD=8,则四边形CBEF的周长为 .
7.如图,G,H是平行四边形ABCD对角线AC上的点,且AG=CH,E,F分别是AB,CD的中点.
求证:四边形EHFG是平行四边形.
8.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是( )
A.32 B.24 C.16 D.8
9.如图,在四边形ABCD中,AB=12,AO=CO=5,BO=DO=13,则∠ACD的度数为
.
10.(易错警示题)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则此平行四边形的周长为 .
11.如图,∠CAE是△ABC的一个外角,AB=AC,CF∥BE.
(1)尺规作图:作∠CAE的平分线,交CF于点D(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
12.(2024·江西中考)追本溯源:
题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
方法应用:
(2)如图2,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
知识点1 平行四边形判定定理的灵活选择
1.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠A=∠C,添加下列一个条件后,能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.∠A=∠B B.∠C=∠D
C.∠B=∠D D.AB=CD
2.在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是(C)
A.BD∥CF B.DF=BC
C.BD=CF D.∠B=∠F
3.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这样做法的依据是 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
4.(2024·河池期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有以下条件:①∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC;②AB=CD,AD=AC;③AD∥BC,AB=CD;④OA=OC,OB=OD.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ①④ .(填序号)
知识点2 平行四边形性质和判定的综合应用
5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F是对角线AC上的点.下列条件中,不能判定四边形BEDF是平行四边形的是(A)
A.DE=BF B.AF=CE
C.∠ABE=∠CDF D.DF∥BE
6.(2024·泉州质检)如图,将 ABCD(AB>BC)折叠,使点A落在边CD上的点F处,折痕为DE.已知CD=8,则四边形CBEF的周长为 16 .
7.如图,G,H是平行四边形ABCD对角线AC上的点,且AG=CH,E,F分别是AB,CD的中点.
求证:四边形EHFG是平行四边形.
【证明】连接EF交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,
∵E,F分别是AB,CD的中点,
∴AE=DF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴AD∥EF∥BC,
∴OA=OC,
∴OE=BC,OF=AD,
∴OE=OF,
∵AG=CH,OA=OC,
∴OA-AG=OC-CH,
即OG=OH,
∴四边形EHFG是平行四边形.
8.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是(C)
A.32 B.24 C.16 D.8
9.如图,在四边形ABCD中,AB=12,AO=CO=5,BO=DO=13,则∠ACD的度数为
90° .
10.(易错警示题)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则此平行四边形的周长为 36或32或28 .
11.如图,∠CAE是△ABC的一个外角,AB=AC,CF∥BE.
(1)尺规作图:作∠CAE的平分线,交CF于点D(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
【解析】(1)如图,AD为所作;
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∵AD平分∠CAE,∴∠CAD=∠EAD,
∵∠CAE=∠B+∠ACB,
即∠CAD+∠EAD=∠B+∠ACB,
∴∠EAD=∠B,∴AD∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
12.(2024·江西中考)追本溯源:
题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
方法应用:
(2)如图2,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
【解析】(1)△BDE是等腰三角形.理由如下:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵DE∥BC,
∴∠BDE=∠CBD,
∴∠BDE=∠ABD,∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形;
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥BC,AB∥CD,
同(1)∠ABE=∠CBE=∠AEB,
∴AB=AE,
∵AF⊥BE,
∴∠BAF=∠EAF,
∵AE∥BC,AB∥CD,
∴∠BGA=∠EAF,∠BAF=∠F,
∵∠BGA=∠CGF,
∴∠BGA=∠BAG,∠DAF=∠F,∠CGF=∠F,
∴AB=BG,DA=DF,CG=CF,
即△ABE,△ABG,△ADF,△CGF是等腰三角形;共有4个.
答案:B
②∵ ABCD中,AB=3,BC=5,
∴AB=CD=3,BC=AD=5,
由①得DA=DF,
∴CF=DF-CD=5-3=2.18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
知识点1 利用三角形中位线定理求角的度数
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为(C)
A.40° B.50° C.140° D.150°
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是(B)
A.70° B.60° C.30° D.20°
知识点2 利用三角形中位线定理求线段长
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,以点A为圆心,AD为半径作圆弧交AB于点F.若AD=7,DE=5,则BF的长为(C)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
4.(2023·金华中考)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,点C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内槽宽AB的长为 8 cm.
5.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为 3 .
知识点3 三角形中位线定理与平行四边形的综合应用
6.如图,在 ABCD中,AD=10,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图,O是平行四边形ABCD的对角线的交点,E,F,G分别是OA,OB,CD的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)当∠DEF=90°,AB=6,BD=8时,求四边形DEFG的周长.
【解析】(1)∵E,F,G分别是OA,OB,CD的中点,∴EF=AB,EF∥AB,DG=CD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DG∥EF,AB=CD,∴EF=DG,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵AB=6,∴EF=AB=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB=BD=4,
∵F为OB中点,OF=OB=2,∴DF=6,
∴在Rt△DEF中,DE==3,
∴四边形DEFG的周长为2×(3+3)=6+6.
8.如图,点D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE沿着DE对折,点A落在BC边上的点F,若∠B=50°,则∠BDF的度数为(A)
A.80° B.75° C.70° D.60°
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是(B)
A.2 B. C.3 D.
10.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接BE,若AE=6,DE=5,∠BEC=90°,则BE= 8 .
11.如图,在周长为300米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠,则水渠的总长为 150米 .
12.(2024·广州期中)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,∠ABC的平分线BF交DE于点F,若AB=4,BC=6,则EF的长为 1 .
13.综合与实践:
【问题背景】
(1)三角形中位线定理:如图①,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点.请直接写出中位线DE和第三条边BC的位置关系和数量关系;
【知识应用】
(2)如图②,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=10,CD=8,EF=3,∠AFE=43°,求∠ADC的度数.
【解析】(1)∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC;
(2)如图,连接BD,
∵E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF∥BD,BD=2EF=6,
∴∠ADB=∠AFE=43°.
∵BC=10,CD=8,
∴BD2+CD2=100,BC2=100,
∴BD2+CD2=BC2,
∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=133°.
素养提升攻略
涨知识了
平面直角坐标系中的中点坐标公式
小明偶然发现线段MN的端点M的坐标为(1,2),端点N的坐标为(3,4),则这条线段MN中点的坐标为(2,3).通过进一步探究,在平面直角坐标系中,以任意点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(,).
素养训练9几何直观、模型观念、应用意识
如图,平行四边形OEFG的对角线相交于点H,点E在x轴上,O为坐标原点,点F的坐标为(4,3),则点H的坐标为 (2,) .
开放探索
三点法构造平行四边形
已知三点A,B,C,构造点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形 AC为对角线 AB为对角线 BC为对角线
素养训练10模型观念、推理能力
如图,平面直角坐标系中的网格由边长为1的小正方形构成.△ABC中,点A坐标为(-2,3),点B坐标为(2,0),点C坐标为(0,-1).
(1)边BC的长为 ;
(2)△ABC的形状为 三角形;
(3)若以点A,B,C及点D为顶点的四边形是平行四边形,请在图中画出符合条件的平行四边形,并写出点D的坐标.
【解析】(1)BC===;
答案:
(2)∵AC2=42+22=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC的形状为直角三角形;
答案:直角
(3)如图,
当AC为对角线时,四边形ABCD是平行四边形,点D的坐标为(-4,2);
当AB为对角线时,四边形ACBD是平行四边形,点D的坐标为(0,4);
当BC为对角线时,四边形ABDC是平行四边形,点D的坐标为(4,-4);
综上所述,D的坐标为(0,4)或(-4,2)或(4,-4).18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
知识点1 利用三角形中位线定理求角的度数
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为( )
A.40° B.50° C.140° D.150°
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是( )
A.70° B.60° C.30° D.20°
知识点2 利用三角形中位线定理求线段长
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,以点A为圆心,AD为半径作圆弧交AB于点F.若AD=7,DE=5,则BF的长为( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
4.(2023·金华中考)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,点C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内槽宽AB的长为 cm.
5.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为 .
知识点3 三角形中位线定理与平行四边形的综合应用
6.如图,在 ABCD中,AD=10,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图,O是平行四边形ABCD的对角线的交点,E,F,G分别是OA,OB,CD的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)当∠DEF=90°,AB=6,BD=8时,求四边形DEFG的周长.
8.如图,点D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE沿着DE对折,点A落在BC边上的点F,若∠B=50°,则∠BDF的度数为( )
A.80° B.75° C.70° D.60°
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是( )
A.2 B. C.3 D.
10.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接BE,若AE=6,DE=5,∠BEC=90°,则BE= .
11.如图,在周长为300米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠,则水渠的总长为 .
12.(2024·广州期中)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,∠ABC的平分线BF交DE于点F,若AB=4,BC=6,则EF的长为 .
13.综合与实践:
【问题背景】
(1)三角形中位线定理:如图①,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点.请直接写出中位线DE和第三条边BC的位置关系和数量关系;
【知识应用】
(2)如图②,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=10,CD=8,EF=3,∠AFE=43°,求∠ADC的度数.
素养提升攻略
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平面直角坐标系中的中点坐标公式
小明偶然发现线段MN的端点M的坐标为(1,2),端点N的坐标为(3,4),则这条线段MN中点的坐标为(2,3).通过进一步探究,在平面直角坐标系中,以任意点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(,).
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如图,平行四边形OEFG的对角线相交于点H,点E在x轴上,O为坐标原点,点F的坐标为(4,3),则点H的坐标为 .
开放探索
三点法构造平行四边形
已知三点A,B,C,构造点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形 AC为对角线 AB为对角线 BC为对角线
素养训练10模型观念、推理能力
如图,平面直角坐标系中的网格由边长为1的小正方形构成.△ABC中,点A坐标为(-2,3),点B坐标为(2,0),点C坐标为(0,-1).
(1)边BC的长为 ;
(2)△ABC的形状为 三角形;
(3)若以点A,B,C及点D为顶点的四边形是平行四边形,请在图中画出符合条件的平行四边形,并写出点D的坐标.
