18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时
知识点1 矩形的性质
1.下列性质中,矩形不一定具有的是(A)
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.邻边互相垂直
2.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为(C)
A.10 B.5
C.2.5 D.2.25
3.如图,在矩形ABCD中,AC,BD交于点O,DE⊥AC于点E,∠AOD=124°,则∠CDE的度数为 28° .
4.已知矩形的一边长为6 cm,一条对角线的长为10 cm,则矩形的面积为 48 cm2.
5.如图所示,在矩形ABCD中,A(-3,1),B(0,1),C(0,2),则点D的坐标是 (-3,2) .
6.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≌△ECF;
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
【解析】(1)将矩形ABCD沿对角线AC折叠,则AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°,
在△DAF和△ECF中,,
∴△DAF≌△ECF(AAS);
(2)∵△DAF≌△ECF,
∴∠DAF=∠ECF=40°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°,
∵∠EAC=∠CAB,
∴∠CAB=25°.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为(C)
A.26° B.52° C.56° D.64°
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,AC边上的中点,连接CD,DE.如果AB=5 cm,BC=3 cm,那么CD+DE的长是 4 cm.
9.如图,在△ABF中,D,E分别为AB,AF的中点,ED的延长线恰好经过Rt△ABC的直角顶点C,若AC=12,BC=5,BF=8,则CE的长为(B)
A.10 B.10.5 C.11 D.11.5
10.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为点E,F,则PE+PF的值是(A)
A. B. C. D.3
11.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 或2 .
12.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
【解析】 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=AC,OD=BD,AC=BD,
∴OC=OD,
∴∠ACD=∠BDC,
∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,
∴∠CDF=∠DCF,
∴DF=CF;
(2)由(1)可知,DF=CF,
∵∠CDF=60°,
∴△CDF是等边三角形,
∴CD=DF=6,
∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,
∴△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=6,∴BD=2OD=12,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,
∴BC===6,
∴=BC·CD=6×6=36.
13.综合与实践:折纸是一项有趣的活动,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以研究图形的运动和性质,也可以在思考问题的过程中,初步建立几何直观,现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.
定义:将纸片折叠,若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为完美矩形.
(1)操作发现:
如图①,将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若△ABC的面积为24,BC=8,则此完美矩形的边长FG= ,面积为 .
(2)类比探究:
如图②,将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG,若平行四边形ABCD的面积为30,BC=6,则完美矩形AEFG的周长为 .
(3)拓展延伸:
如图③,将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若EF∶EH=
3∶4,AD=15,求此完美矩形的周长为多少.
【解析】(1)由折叠可知,BF=DF,CG=DG,
∴FG=DF+DG=BF+CG=BC=4,
根据折叠可知:S△BEF=S△DEF,S△AEH=S△DEH,S△DHG=S△CHG,
∵S△ABC=S△BEF+S△DEF+S△AEH+S△DEH+S△DHG+S△CHG=24,
∴完美矩形的面积为:
S矩形EFGH=S△EFD+S△DHG+S△EDH
=S△ABC
=×24
=12;
答案:4 12
(2)由折叠可得:BE=HE,CF=HF,S△ABE=S△AHE,S四边形AHFG=S四边形DCFG,
∴EF=BC=×6=3,
∴S矩形AEFG=S平行四边形ABCD=×30=15,
又∵S矩形AEFG=EF·AE,∴AE=5,
∴矩形的周长为2×(5+3)=16;
答案:16
(3)连接EG,如图所示,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
由折叠可得:点E和G分别是AB和CD的中点,
∴AE=DG,AE∥DG,
∴四边形AEGD是平行四边形,
∴AD=EG,
∵四边形EFGH为矩形,
∴EG=FH,
∴FH=AD=15,
∵EF∶EH=3∶4,
∴设EF=3x,则EH=4x,
∵在Rt△HEF中,EF2+EH2=FH2,
∴(3x)2+(4x)2=152,
解得x=3,
∴EF=9,EH=12,
∴矩形的周长为2×(9+12)=42.
素养提升攻略
趣味数学
生活中的矩形
打四角是20世纪八九十年代儿童常玩的游戏,所谓四角是一种四四方方的纸质玩具.制作四角只需一张旧纸,先折叠成一个长边较长的矩形,再将矩形折叠成四四方方的四角,折叠四角要考究四角的体量大小,包括面积和重量.
素养训练11抽象能力、几何直观
将矩形纸片按如图所示折叠(BD⊥CD).
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若矩形纸片的宽为2,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形EGHF是矩形,
∴EF∥GH,又∵BD⊥CD,
∴∠EDB=∠DBH=90°,由折叠可得∠EDA=∠ADB=45°,∠DBC=∠CBH=45°,
∴∠ADB=∠DBC,
∴AD∥BC,又∵CD∥AB,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)∵DB⊥AB,∠ADB=45°,
∴AB=DB=2,∴S ABCD=2×2=4.
链接生活
生活中的“绿丝带”
绿丝带——中国精神卫生标志,绿色代表健康,使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望;绿丝带寓意爱心,既是社会和公众对精神病患者的理解与爱心的表达,更是一种倾力支持精神卫生工作和不断完善自身精神健康,共创和谐社会的行动标志;轻盈飘动的绿丝带,象征着快乐和愉悦的心情,这是我们实现生命价值、创造美好生活的生生不息的源泉.
素养训练12几何直观、应用意识
若绿丝带交叉重叠部分四边形ABCD是菱形,且∠D=120°,要使交叉重叠后AC=8,求绿丝带的宽度.
【解析】连接BD,AC,BD相交于点O,过D点作AB的垂线,交AB于点E.
方法一:∵四边形ABCD为菱形,∠ADC=120°,∴BD⊥AC,∠DAB=60°,
∴∠BAO=∠BAD=30°,AB=2BO,
∵AC=8,∴AO=4,
∵BO2+AO2=,
∴BO=,BD=,AB=,
∵S菱形ABCD=AC·BD=DE·AB,
∴DE=4,∴绿丝带的宽度为4.
方法二:∵四边形ABCD为菱形,∠ADC=120°,∴BD⊥AC,∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形,∴BD=AB,
∵S△ABD=BD·AO=AB·DE,∴AO=DE,
∵AC=8,∴DE=AO=4.
∴绿丝带的宽度为4.18.2.1 矩形
第2课时
知识点1 矩形的判定
1.在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是(D)
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时,若△ABE平移到△DCF,a=4,h=3,则△ABE的平移距离为(B)
A.3 B.4 C.5 D.12
3.平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF.
求证:四边形BFDE是矩形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴DF∥BE,
∵CF=AE,∴DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形.
知识点2 矩形性质和判定的综合
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90°.对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若CD=2,∠DBC=30°,求△BED的面积.
【解析】(1)∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠DBC=30°,CD=2,
∴BD=2CD=4,BC==2,
由(1)已证:四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,
∵DE平分∠ADC,
∴∠CDE=∠ADC=45°,
∴∠CED=90°-∠CDE=45°=∠CDE,
∴CE=CD=2,
∴BE=BC-CE=2-2,
则S△BED=BE·CD=×(2-2)×2=2-2.
5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件后,不能得出四边形ABCD是矩形的是(D)
A.∠DAB+∠DCB=180°
B.AB2+BC2=AC2
C.AC=BD
D.AC⊥BD
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为 4.8 .
7.如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点.
(1)求证:OE=OF;
(2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形.
【证明】(1)∵∠ABO=∠DCO=90°,
∴AB∥CD,∴∠A=∠D,
在△AOB与△DOC中,,
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴AO=DO,
∵点E,F分别是AO,DO的中点,
∴OE=OA,OF=OD,∴OE=OF;
(2)∵OB=OC,OE=OF,
∴四边形BECF是平行四边形,
∵∠A=30°,∴OB=OA=OE,
∵OE=OF,∴OB=EF,∵OB=BC,
∴EF=BC,∴四边形BECF是矩形.
8.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t s.
(1)当t= 时,四边形CDEF为平行四边形
(2)求当t为何值时,四边形ABFE为矩形
【解析】(1)由题意得:AE=t cm,CF=2t cm,
则DE=(6-t)cm,BF=(12-2t)cm,
∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,当DE=CF时,四边形CDEF为平行四边形,则6-t=2t,解得t=2,
即当t=2时,四边形CDEF为平行四边形;
答案:2
(2)∵AD∥BC,∴当AE=BF时,四边形ABFE为平行四边形,
∵∠A=90°,∴当AE=BF时,四边形ABFE为矩形,则t=12-2t,解得t=4,
即当t=4时,四边形ABFE为矩形.
9.如图, ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:BE=DF;
(2)设=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形 请说明理由.
【解析】(1)如图,连接DE,BF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,AO=OC,
∵E,F分别为AO,OC的中点,
∴EO=OA,OF=OC,∴EO=FO,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BE=DF;
(2)当k=2时,四边形DEBF是矩形;理由如下:
当BD=EF时,四边形DEBF是矩形,
∴当OD=OE时,四边形DEBF是矩形,
∵AE=OE,∴当k=2时,四边形DEBF是矩形.18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时
知识点1 矩形的性质
1.下列性质中,矩形不一定具有的是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.邻边互相垂直
2.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为( )
A.10 B.5
C.2.5 D.2.25
3.如图,在矩形ABCD中,AC,BD交于点O,DE⊥AC于点E,∠AOD=124°,则∠CDE的度数为 .
4.已知矩形的一边长为6 cm,一条对角线的长为10 cm,则矩形的面积为 cm2.
5.如图所示,在矩形ABCD中,A(-3,1),B(0,1),C(0,2),则点D的坐标是 .
6.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≌△ECF;
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为( )
A.26° B.52° C.56° D.64°
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,AC边上的中点,连接CD,DE.如果AB=5 cm,BC=3 cm,那么CD+DE的长是 cm.
9.如图,在△ABF中,D,E分别为AB,AF的中点,ED的延长线恰好经过Rt△ABC的直角顶点C,若AC=12,BC=5,BF=8,则CE的长为( )
A.10 B.10.5 C.11 D.11.5
10.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为点E,F,则PE+PF的值是( )
A. B. C. D.3
11.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 .
12.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
13.综合与实践:折纸是一项有趣的活动,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以研究图形的运动和性质,也可以在思考问题的过程中,初步建立几何直观,现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.
定义:将纸片折叠,若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为完美矩形.
(1)操作发现:
如图①,将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若△ABC的面积为24,BC=8,则此完美矩形的边长FG= ,面积为 .
(2)类比探究:
如图②,将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG,若平行四边形ABCD的面积为30,BC=6,则完美矩形AEFG的周长为 .
(3)拓展延伸:
如图③,将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若EF∶EH=
3∶4,AD=15,求此完美矩形的周长为多少.
素养提升攻略
趣味数学
生活中的矩形
打四角是20世纪八九十年代儿童常玩的游戏,所谓四角是一种四四方方的纸质玩具.制作四角只需一张旧纸,先折叠成一个长边较长的矩形,再将矩形折叠成四四方方的四角,折叠四角要考究四角的体量大小,包括面积和重量.
素养训练11抽象能力、几何直观
将矩形纸片按如图所示折叠(BD⊥CD).
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若矩形纸片的宽为2,求 ABCD的面积.
链接生活
生活中的“绿丝带”
绿丝带——中国精神卫生标志,绿色代表健康,使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望;绿丝带寓意爱心,既是社会和公众对精神病患者的理解与爱心的表达,更是一种倾力支持精神卫生工作和不断完善自身精神健康,共创和谐社会的行动标志;轻盈飘动的绿丝带,象征着快乐和愉悦的心情,这是我们实现生命价值、创造美好生活的生生不息的源泉.
素养训练12几何直观、应用意识
若绿丝带交叉重叠部分四边形ABCD是菱形,且∠D=120°,要使交叉重叠后AC=8,求绿丝带的宽度.18.2.1 矩形
第2课时
知识点1 矩形的判定
1.在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时,若△ABE平移到△DCF,a=4,h=3,则△ABE的平移距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.12
3.平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF.
求证:四边形BFDE是矩形.
知识点2 矩形性质和判定的综合
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90°.对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若CD=2,∠DBC=30°,求△BED的面积.
5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件后,不能得出四边形ABCD是矩形的是( )
A.∠DAB+∠DCB=180°
B.AB2+BC2=AC2
C.AC=BD
D.AC⊥BD
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为 .
7.如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点.
(1)求证:OE=OF;
(2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形.
8.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t s.
(1)当t= 时,四边形CDEF为平行四边形
(2)求当t为何值时,四边形ABFE为矩形
9.如图, ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:BE=DF;
(2)设=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形 请说明理由.
