18.2.2 菱形
第1课时
知识点1 菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是( )
A.(0,-8) B.(0,-5)
C.(-5,0) D.(0,-6)
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为 cm.
4.如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为 .
5.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE≌△CDF.
(2)ME=NF.
知识点2 菱形性质的实际应用
6.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.
7.(2024·成都质检)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,且BE=BF,连接DE,DF.若∠ADC=140°,∠CDF=50°,则∠EDF的大小为 .
8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为 .
9.在数学活动课上,学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板(△ABF和△CDE),按如图的方式放置,已知∠BAF=∠DCE=90°,AF=CE=3,AB=CD=4,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,求BD的长.
10.问题呈现:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.
求证:CD=AB.
证明:延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE……
(1)请根据提示,结合图1,写出完整的证明过程.
(2)结论运用:
①如图2,一根长度固定的木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,B端随之沿地面向右滑行,在此滑动过程中,点P到点O的距离 .
A.变小 B.变大
C.不变 D.无法判断
②如图3,点O为菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,过点C作CE⊥AB于点E,连接OE,OD=3,OE=2.则菱形ABCD的面积为 . 18.2.2 菱形
第2课时
知识点1 菱形的判定
1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
知识点2 菱形性质与判定的综合应用
4.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD⊥CE于点O,点M,N分别是OB,OC的中点,若OB=8,OC=6,则四边形DEMN的周长是( )
A.14 B.20 C.22 D.28
5.(2024·重庆中考A卷)在学习了矩形与菱形的相关知识后,小明同学进行了更深入的研究,他发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路,完成以下作图与填空:
(1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,且EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∴ ,∠OCF=∠OAE.
∵点O是AC的中点,
∴ .
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴ .
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢 请你模仿题中表述,写出你猜想的结论: .
6.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,要使四边形AECF为菱形,现有甲、乙、丙三种方案:
甲:只需要满足∠ABE=∠CBE;
乙:只需要满足AE=CF;
丙:只需要满足AC⊥EF.
则正确的方案是( )
A.甲、乙、丙 B.甲、丙
C.甲、乙 D.乙、丙
7.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,四边形ABFE是平行四边形,则
∠DAF=( )
A.18° B.24° C.30° D.36°
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD交于点O,且∠AOD=120°,DE∥OC,CE∥OD,则四边形OCED的周长为 .
9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点,下列结论:①BE⊥AC;②EG=GF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形,其中结论正确的是 .(填序号)
10.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0(1)四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形
素养提升攻略
数学史料
瓦里尼翁平行四边形
如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形.
实践学习小组查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:
证明:如图2,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点M,交HG于点N.
∵H,G分别为AD,CD的中点,
∴HG∥AC,HG=AC.(依据1)
∵DG=GC且GN∥CM,可证得GN为△DCM的中位线,
∴DN=NM=DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,
∴HE∥GF,即HP∥GQ.
∵HG∥AC,即HG∥PQ,
∴四边形HPQG是平行四边形.(依据2)
∴S HPQG=HG·MN=HG·DM.
∵S△ADC=AC·DM=HG·DM,
∴S HPQG=S△ADC.
同理,…
素养训练13推理能力、几何直观
(1)填空:材料中的依据1是指: .依据2是指: .
(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFGH为矩形;(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)若得出的四边形是菱形,则四边形ABCD满足什么关系 证明你的结论.
(4)如图,是在材料图1中分别连接AC,BD得到,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系,并证明你的结论.18.2.2 菱形
第2课时
知识点1 菱形的判定
1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(B)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A)
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
【解析】(1)△AOB是直角三角形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=OD=BD=4,∵OA=3,OB=4,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°;
(2)由(1)可知,∠AOB=90°,∴AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
知识点2 菱形性质与判定的综合应用
4.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD⊥CE于点O,点M,N分别是OB,OC的中点,若OB=8,OC=6,则四边形DEMN的周长是(B)
A.14 B.20 C.22 D.28
5.(2024·重庆中考A卷)在学习了矩形与菱形的相关知识后,小明同学进行了更深入的研究,他发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路,完成以下作图与填空:
(1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,且EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∴ ① ,∠OCF=∠OAE.
∵点O是AC的中点,
∴ ② .
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴ ③ .
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢 请你模仿题中表述,写出你猜想的结论: ④ .
【解析】(1)如图所示,即为所求;
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∴①∠OFC=∠OEA,∠OCF=∠OAE.
∵点O是AC的中点,
∴②OA=OC.
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴③OF=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
猜想的结论:④四边形AECF是菱形.
猜想:过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形;
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∴∠OFC=∠OEA,∠OCF=∠OAE.
∵点O是AC的中点,
∴OA=OC.
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴OF=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
6.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,要使四边形AECF为菱形,现有甲、乙、丙三种方案:
甲:只需要满足∠ABE=∠CBE;
乙:只需要满足AE=CF;
丙:只需要满足AC⊥EF.
则正确的方案是(B)
A.甲、乙、丙 B.甲、丙
C.甲、乙 D.乙、丙
7.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,四边形ABFE是平行四边形,则
∠DAF=(A)
A.18° B.24° C.30° D.36°
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD交于点O,且∠AOD=120°,DE∥OC,CE∥OD,则四边形OCED的周长为 8 .
9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点,下列结论:①BE⊥AC;②EG=GF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形,其中结论正确的是 ①③④ .(填序号)
10.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0(1)四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形
【解析】(1)能.
理由如下:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,∴DF=2t,
又∵AE=2t,∴AE=DF,
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,
即60-4t=2t,解得t=10.
∴当t=10时,四边形AEFD为菱形.
(2)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°,
∵∠A=60°,∴∠AED=30°,
∴AD=AE=t,
又∵AD=60-4t,即60-4t=t,
解得t=12;
②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,∴AD=2AE,即60-4t=4t,
解得t=;
③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.
综上所述,当t=或12时,△DEF为直角三角形.
素养提升攻略
数学史料
瓦里尼翁平行四边形
如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形.
实践学习小组查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:
证明:如图2,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点M,交HG于点N.
∵H,G分别为AD,CD的中点,
∴HG∥AC,HG=AC.(依据1)
∵DG=GC且GN∥CM,可证得GN为△DCM的中位线,
∴DN=NM=DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,
∴HE∥GF,即HP∥GQ.
∵HG∥AC,即HG∥PQ,
∴四边形HPQG是平行四边形.(依据2)
∴S HPQG=HG·MN=HG·DM.
∵S△ADC=AC·DM=HG·DM,
∴S HPQG=S△ADC.
同理,…
素养训练13推理能力、几何直观
(1)填空:材料中的依据1是指: .依据2是指: .
(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFGH为矩形;(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)若得出的四边形是菱形,则四边形ABCD满足什么关系 证明你的结论.
(4)如图,是在材料图1中分别连接AC,BD得到,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系,并证明你的结论.
【解析】(1)三角形中位线定理(或三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)
平行四边形的定义(或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形)
(2)答案不唯一,只要是对角线互相垂直的四边形,它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可.例如:如图即为所求.
(3)对角线相等时是菱形.
证明:∵H,G分别为AD,CD的中点,∴HG=AC.
同理CF=BD,∵AC=BD,
∴HG=GF,又因为四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH是菱形.
(4)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和,
证明如下:∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF=AC,GH=AC.
∴EF+GH=AC.
同理EH+FG=BD.
∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=AC+BD.
即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和.18.2.2 菱形
第1课时
知识点1 菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是(C)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是(B)
A.(0,-8) B.(0,-5)
C.(-5,0) D.(0,-6)
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为 8 cm.
4.如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为 30° .
5.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE≌△CDF.
(2)ME=NF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,
∵BE=BF,∴AE=CF,在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(SAS);
(2)由(1)知△ADE≌△CDF,
∴∠ADM=∠CDN,DE=DF,
∵DA=DC,∴∠DAM=∠DCN,
∴∠DMA=∠DNC,∴∠DMN=∠DNM,
∴DM=DN,
∴DE-DM=DF-DN,
∴ME=NF.
知识点2 菱形性质的实际应用
6.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 60 °.
7.(2024·成都质检)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,且BE=BF,连接DE,DF.若∠ADC=140°,∠CDF=50°,则∠EDF的大小为 40° .
8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为 .
9.在数学活动课上,学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板(△ABF和△CDE),按如图的方式放置,已知∠BAF=∠DCE=90°,AF=CE=3,AB=CD=4,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,求BD的长.
【解析】(1)在△ABF和△CDE中,
,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠AFB=∠CED,
∴AF∥CE,
∵AF=CE,
∴四边形AECF为平行四边形;
(2)连接AC交EF于点O,
∵四边形AECF为菱形,
∴AC⊥EF,OE=OF,OA=OC,
在Rt△ABF中,BF===5,
由(1)知,△ABF≌△CDE,
∴BF=DE=5,
∵S△ABF=AB·AF=BF·AO,
∴AO===,
∴AC=2AO=.
在Rt△AOF中,
OF===,
∴EF=2OF=,
∴BE=BF-EF=5-=,
∴BD=BE+ED=+5=.
10.问题呈现:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.
求证:CD=AB.
证明:延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE……
(1)请根据提示,结合图1,写出完整的证明过程.
(2)结论运用:
①如图2,一根长度固定的木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,B端随之沿地面向右滑行,在此滑动过程中,点P到点O的距离 .
A.变小 B.变大
C.不变 D.无法判断
②如图3,点O为菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,过点C作CE⊥AB于点E,连接OE,OD=3,OE=2.则菱形ABCD的面积为 .
【解析】(1)证明:延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE,则CD=CE,
∵CD是斜边AB上的中线,∴AD=BD,
∴四边形ACBE是平行四边形,
∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE是矩形,
∵CE=AB,∴CD=AB;
(2)①如图,连接OP,
由题意得:NO⊥OM,
在Rt△AOB中,点P是AB的中点,
∴OP=AB,
∴在此滑动过程中,点P到点O的距离不变.
答案:C
②∵四边形ABCD是菱形,∴BD=2OD=6,
∴AB=BC=CD=AD,OB=OD=3,BD⊥AC,
∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴OE=AC=2,∴AC=4,
∴菱形ABCD的面积为AC·BD=×4×6=12.
答案:12
