18.2.3 正方形
知识点1 正方形的性质
1.下列说法中,是正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直
C.四个角都为直角 D.对角线互相平分
2.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6,则四边形EFGH的面积是( )
A.34 B.36 C.40 D.100
3.正方形的一条对角线长为8,则正方形的边长为 .
4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)若AF=1,求四边形BEDF的面积.
知识点2 正方形的判定
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件,能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A.AC=BD B.AC⊥BD
C.AD=AB D.AC平分∠DAB
6.在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:
①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是 .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A,D分别作BC与AB的平行线,相交于点E,连接EC,AD,DE与AC交于点O.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是正方形.
8.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是( )
A.20 B.25 C.30 D.35
9.如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为 .
10.(2024·河池期中)如图,将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)若AH=1,AB=2,求正方形EFGH的面积.
11.【问题提出】
(1)如图1,在△ABC中,作AB的垂直平分线l,交AC于E,交AB于F,若∠A=45°,连接BE,则∠EBF的度数为 °;
【问题探究】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的一点(不与端点重合),连接DE.过点E作EF⊥ED,交边AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG.求证:四边形DEFG是正方形;
【问题解决】
(3)如图3,现有一块△ABC板材,AB=AC= dm,BC=2 dm.工人师傅想用这块板材裁出一个形如△BCD的部件,并要求∠CBD=45°.工人师傅在这块板材上的作法如下:
①作AC的垂直平分线l,交AB于E,交AC于F;
②在EF上截取FD=FC;
③连接BD,CD,得△BCD.
请问,若按上述作法,裁得的形如△BCD的部件是否符合要求 请证明你的结论.18.2.3 正方形
知识点1 正方形的性质
1.下列说法中,是正方形具有而矩形不具有的性质是(B)
A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直
C.四个角都为直角 D.对角线互相平分
2.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6,则四边形EFGH的面积是(C)
A.34 B.36 C.40 D.100
3.正方形的一条对角线长为8,则正方形的边长为 4 .
4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)若AF=1,求四边形BEDF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠A=∠C=90°,
∵AF=CE,∴△ABF≌△CBE(SAS);
(2)∵正方形ABCD的边长为4,AF=1,
∴AB=BC=4,CE=AF=1,
∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE=42-×4×1-×4×1=16-2-2=12.
知识点2 正方形的判定
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件,能使菱形ABCD成为正方形的是(A)
A.AC=BD B.AC⊥BD
C.AD=AB D.AC平分∠DAB
6.在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:
①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是 ①③④ .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A,D分别作BC与AB的平行线,相交于点E,连接EC,AD,DE与AC交于点O.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是正方形.
【证明】(1)∵AB=AC,点D是边BC的中点,
∴BD=CD,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵AE∥BD,DE∥AB,
∴四边形AEDB为平行四边形,
∴AE=BD=CD,
又∵AE∥DC,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形;
(2)∵DE∥AB,∠BAC=90°,
∴∠DOC=∠BAC=90°,即AC⊥DE,
由(1)知四边形ADCE是矩形,
∴四边形ADCE是正方形.
8.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是(B)
A.20 B.25 C.30 D.35
9.如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为 2 .
10.(2024·河池期中)如图,将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)若AH=1,AB=2,求正方形EFGH的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG=90°,
又∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF,∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌
△BFE(SAS),
∴EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA,
∴四边形EFGH为菱形.
∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,
∴∠FEB+∠HEA=90°,即∠HEF=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
(2)∵AH=BE=1,AB=2,
∴AE=AB+BE=3,
∴HE===,
∴S正方形EFGH=HE2=10.
11.【问题提出】
(1)如图1,在△ABC中,作AB的垂直平分线l,交AC于E,交AB于F,若∠A=45°,连接BE,则∠EBF的度数为 °;
【问题探究】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的一点(不与端点重合),连接DE.过点E作EF⊥ED,交边AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG.求证:四边形DEFG是正方形;
【问题解决】
(3)如图3,现有一块△ABC板材,AB=AC= dm,BC=2 dm.工人师傅想用这块板材裁出一个形如△BCD的部件,并要求∠CBD=45°.工人师傅在这块板材上的作法如下:
①作AC的垂直平分线l,交AB于E,交AC于F;
②在EF上截取FD=FC;
③连接BD,CD,得△BCD.
请问,若按上述作法,裁得的形如△BCD的部件是否符合要求 请证明你的结论.
【解析】(1)∵EF垂直平分AB,∴AE=BE,
∴∠EBF=∠A=45°;
答案:45
(2)如图,过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,∠EAD=∠EAB,
∵EM⊥AD于M,EN⊥AB于N,∴EM=EN,
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,
∴四边形ANEM是矩形,
∴∠MEN=90°;
∵EF⊥DE,∴∠MEN=∠DEF=90°,
∴∠DEM=∠FEN,
∵∠EMD=∠ENF=90°,
∴△EMD≌△ENF(ASA),
∴ED=EF,
∵四边形DEFG是矩形,∴四边形DEFG是正方形.
(3)符合要求.如图,过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DM⊥AG于点M,作DN⊥BC于点N,连接AD,
∵EF是线段AC的垂直平分线,FD=FC,
∴DA=DC,∠DAC=∠ACD=∠CDF=45°,
∴∠ADC=90°,
∵AB=AC,AG⊥BC,
∴点G为BC的中点,
∴BG=CG=BC=1 dm,
∴AG==2 dm,
∵AG⊥BC,DM⊥AG,DN⊥BC,
∴∠MGN=∠DMG=∠DNG=90°,
∴四边形DNGM为矩形,
∴∠NDM=90°=∠ADC,
∴∠ADM=∠CDN.
在△ADM和△CDN中,∠AMD=∠CND,∠ADM=∠CDN,AD=CD,
∴△ADM≌△CDN(AAS),
∴DM=DN,AM=NC,
∴四边形DNGM为正方形,
∴DM=DN=NG=MG,
设DM=DN=NG=MG=x dm,则AM=NC=NG+GC=(x+1)dm,
∴AG=AM+MG=x+1+x=(2x+1)dm,即2x+1=2,
解得x=,
∴DN=NG= dm,
∴BN=BG-NG=1-= dm=DN,
∴△DNB是等腰直角三角形,且∠NBD=45°,即∠CBD=45°.
故裁得的形如△BCD的部件符合要求.
