第一章 三角形的证明 单元测试 北师大版数学八年级下册 （含解析）

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第一章三角形的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点，，在直线上，点，，在轴上，，，都是等腰直角三角形，若已知点，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（　　）
A．AD＝CE B．MF＝CF C．∠BEC＝∠CDA D．AM＝CM
3．某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是（　　）
A．南偏东，千米 B．北偏西，千米
C．南偏东，100千米 D．北偏西，100千米
4．如图，在中点D、E为上的点，，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
5．在中，、、分别为的三条边，满足下列条件不能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．点M（2，3），N（﹣2，4），则MN应为（　　）
A．17 B．1 C． D．
7．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）
A． B． C． D．
9．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（　　）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
10．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于S，①AS＝AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP．其中正确的是（　　）
A．全部正确 B．①和② C．① D．②
11．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（　　）
A．95° B．140° C．50° D．40°
12．在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），则线段AB的中点到原点的距离是（　　）
A．2 B．1 C． D．2
二、填空题
13．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝4，则BE＋CF＝ .
14．《庄子 天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ．
15．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD DC，点D在 的垂直平分线上
16．如图，在中，点D是AB上一点，连接CD，，，，，则AB的长为 ．
17．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西的方向上，2小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西的方向上，在小岛周围18海里内有暗礁．若轮船仍按原方向继续向北航行，则有无触礁的危险？

19．在中，．
（1）若，则等于多少度？
（2）若，则等于多少度？
20．如图，中，，是高，，求证：．
21．如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且=．
(1)小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
(2)若已经摆放了3根小棒，则= ，= ，= ；（用含的式子表示）
(3)若只能摆放4根小棒，求的范围．
22．求证：有两条高线相等的三角形必有两个内角相等．
23．等腰直角三角形△ABC和等边三角形△ACD位置在平面直角坐标系中如图所示，A点在y轴，B点在x轴上且AB = BC，∠ABC = 90°．
(1)若点A的坐标为（0，5），B的为（2，0），C点坐标为 _________ ．
(2)过D作DE垂直y轴于E，连接OD、OC若∠EDO = 60°，求证：△OCD是等腰三角形；
(3)在（2）的条件下，判定线段和的数量关系并证明你的结论．
24．如图，已知△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为多少？
《第一章三角形的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C B C C B D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】作x轴， x轴， x轴，设纵坐标为m，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为，代入直线解析式算出m，再用同样的方法设，代入解析式求出n．
【详解】解：如图，作x轴， x轴， x轴，
把代入，求出，则直线解析式是，
已知，根据等腰直角三角形的性质，得到，
设纵坐标为m，，，得，代入直线解析式，得，解得，
设纵坐标为n，，，得，代入直线解析式，得，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解．
2．D
【分析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，即可得出A正确；
由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ACE，求出∠CFM＝∠AFE＝60°，得出∠FCM＝30°，即可得出B正确；由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；D不正确．
【详解】A正确；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC
又∵AE＝BD
在△AEC与△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD＝CE；
B正确；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠CFM＝∠AFE＝60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM＝30°，
∴MF＝CF；
C正确；理由如下：
∵∠BEC＝∠BAD+∠AFE，∠AFE＝60°，
∴∠BEC＝∠BAD+∠AFE＝∠BAD+60°，
∵∠CDA＝∠BAD+∠CBA＝∠BAD+60°，
∴∠BEC＝∠CDA；
D不正确；理由如下：
要使AM＝CM，则必须使∠DAC＝45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，
∴AM＝CM不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
3．B
【分析】根据题意得出AO＝BO以及∠BOA＝90°，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．
【详解】
解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向，
∴∠BOA＝90°，
∵BO＝AO＝50km，
∴AB＝ km，∠B＝∠OAB＝45°，
∵第二艘快艇沿南偏西20°方向，
∴∠1＝∠CAO＝20°，
∴∠2＝45° 20°＝25°，
∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25°，千米．
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及方向角，正确把握方向角的定义是解题关键．
4．C
【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理分别求解，，，，，，，，，再判断即可．
【详解】解：∵，，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，，，
∴，
∴，，
∴，，，
∴是等腰三角形，，，
∴是等腰三角形，是等腰三角形，
所以共有6个等腰三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的运用等腰三角形的判定与性质进行证明是解本题的关键．
5．B
【分析】根据直角三角形的判定条件逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故能构成直角三角形，不符合题意；
B. ，设，则，故不能构成直角三角形，符合题意；
C. ，则，故能构成直角三角形，不符合题意；
D. ，设，则，故能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理判断直角三角形，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
6．C
【详解】根据两点间的距离公式计算．
解：MN==．故选C．
7．C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OADE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大．
8．B
【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．根据作图痕迹逐项分析即可．
【详解】解：A．该图作的是的平分线，故不符合题意；
B．该图作的是的垂直平分线，故符合题意；
C．该图作的是的垂线，故不符合题意；
D．该图作的是的垂直平分线，故不符合题意；
故选B．
9．D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【详解】∵P为三边角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比＝6：4：4＝3：2：2．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．
10．B
【分析】根据已知条件PR＝PS可知AP为∠BAC的角平分线，利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的对应边相等可得AR＝AS；根据等边对等角的性质可得∠QAP＝∠QPA，从而得到∠BAP＝∠QPA，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AR，△BRP与△QSP只有一组边PR＝PS，一组角∠PSQ＝∠PRB＝90°，全等的条件不够，没法证明其全等，所以③错误．
【详解】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，PR＝PS．
∴AP为∠BAC的角平分线，
在△APR与△APS中，
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AR＝AS，故本小题正确；
②∵AP为∠BAC的角平分线，
∴∠RAP＝∠QAP，
∵AQ＝PQ，
∴∠QAP＝∠QPA，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR，故本小题正确；
③△BRP与△QSP只有一组边PR＝PS，一组角∠PSQ＝∠PRB＝90°，
全等的条件不够，没法证明其全等，故本小题错误．
综上所述，①②正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，做题时利用了平行线的判定，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
11．A
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB=50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=50°，
∴∠A=180°-50°×2=80°，
∵∠BPC=∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞∠A，
∴∠BPC＞80°，
∵∠B=50°，
∴∠BPC＜180°-50°=130°，
则50°＜∠BPC＜130°，
故∠BPC的值可能是95°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形两底角相等．
12．C
【详解】根据点A、B的坐标易求线段AB中点的坐标是（1，1），然后由两点间的距离公式求得该点到原点的距离．
解：∵在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），
∴线段AB中点的坐标是（1，1），
∴线段AB的中点到原点的距离是：=．
故选C．
13．2
【详解】设BD=x，则CD=4-x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=∠CDF=30°，
∴BE =BD=，CF=CD=，
∴BE+CF=+=2．
故答案为：2
【点睛】考点：等边三角形
14．2
【分析】先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，
，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果．
【详解】解：直线与轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点的坐标为，点的横坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
【点睛】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．
15． = AC
【分析】首先结合图形易得AD=DC，再根据线段垂直平分线的判定即可得出答案．
【详解】解：∵BC=BD+DC，
又BC=BD+AD，
∴AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
故答案为= AC．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，熟记知识点是解题的关键．
16．4
【分析】首先在△CDB中，BC2＝CD2＋DB2，由勾股定理的逆定理得到△CDB为直角三角形，所以∠CDB＝90°，在Rt△ADC中由勾股定理可求出AD的值，从而求出AB＝AD＋DB＝4.
【详解】解：在△CDB中，BC2＝22＝4，CD2＋DB2＝，
∴ BC2＝CD2＋DB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理可得，
∴AB＝AD＋DB＝4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理的应用方法是本题的解题关键.
17．9
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∴CE＝AC AE＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
18．有触礁的危险
【分析】过点作, 交的延长线于点,可以得到, 利用等角对等边得到海里, 在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到,由的长与比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁的危险作出判断.
【详解】解：有危险，理由如下：

过点作, 交的延长线于点,如图所示
∵由题意可知: ，
∴, 即,
∴ (海里),
在中, ,海里,
海里海里,
则轮船不改变方向仍继续向前航行有触礁的危险.
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含直角三角形的性质，其中轮船有没有危险的关键由的长与比较大小决定.
19．（1）；（2）．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和为180°即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2），，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质三角形的内角和为180°，熟练掌握等腰三角形的等边对等角的性质是解题的关键．
20．见解析
【分析】根据直角三角形的性质，结合直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．
【详解】∵，，
∴，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
21．(1)不能；
(2))；；；
(3)18°≤＜22.5°．
【分析】（1）由于小棒的长度一定，依此即可求解；
（2）根据等边对等角可得∠BAC=，=，=，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（3）求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．
【详解】（1）当BC宽度大于小木棒长度时，小棒不能无限摆下去．
故答案为不能；
（2）∵小木棒长度都相等，
∴∠BAC=，=，=，
由三角形外角性质，=，=，=．
故答案为；；；
（3）∵只能摆放4根小木棒，
∴，
解得18°≤＜22.5°．
【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，（3）列出不等式组是解题的关键．
22．见解析
【分析】画出图形，根据全等三角形的判定与性质即可得出答案．
【详解】解：如图：在中，分别是边上的高，且，
∵分别是边上的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即有两条高线相等的三角形必有两个内角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）过点作轴于点，证明即可得出结论；
（2）过点作于，证明，得出，然后根据所对的直角边等腰斜边的一半可得垂直平分，结果可得；
（3）结合（1）（2）中结论即可得到结果．
【详解】（1）解：过点作轴于点，
，
，
，
，
在和中，
,
，
，
点A的坐标为（0，5），B的为（2，0），
，
，
故答案为：；
（2）过点作于，
为等边三角形，
，,
，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
垂直平分，
，
即是等腰三角形；
（3）过点作，垂足分别为，
，
由（2）得，
是的中点，，
∵轴，
由（1）得，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质以及所对的直角边等于斜边的一半，平行线间的距离相等，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
24．三角形的各边长为10、10、4
【详解】试题分析：分AB＞BC和AB＜BC两种情况求得AB、BC的长，再由三角形的三边关系进行取舍即可.
试题解析：
根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，
（1）若AB＞BC，则AB-BC=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=10，BC=4，
10、10、4三边能够组成三角形；
（2）若AB＜BC，则BC-AB=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=6，BC=12，
6、6、12三边不能够组成三角形；
因此三角形的各边长为10、10、4．
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