1.1 等腰三角形 同步练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.1等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为
A．5 B．7 C．5或7 D．6
2．如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，∠ABD=45°，BC=7，CD=3，则线段AF的长度为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
3．如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．如图，在中，，，，是边上一动点，连接，那么的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠DBC=30°，AD=5，则BC=
A．5 B．7.5 C． D．10
6．如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于点M，AD交CE于点N，AD，BE交于点P．则下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形、其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
8．在直角三角形中，如果一个锐角为，而斜边与较小直角边的和为，那么斜边长为（ ）．
A． B． C． D．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，则线段的长为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
11．如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
12．下列四张三角形纸片，剪一刀能得到等腰梯形的有（　　）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
二、填空题
13．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连接交于点O，，则＝ ；若＝5，则＝ ．
14．如图，在等腰中，，边上的高，腰上的高，则的周长等于 .
15．在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为 ．
16．一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，则它的底边长为 ．
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有 个．
三、解答题
18．如图，在中，已知，，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，且，求BC的长．
19．已知等腰中，，若边上的高与另一腰的夹角为，求顶角的度数．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．

21．如图，已知，在直角坐标系中，直线y＝ x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．
(1)求点A、C的坐标；
(2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．
(3)经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．
22．阅读下列文字，回答问题．
题目：在中，，若，所以．
证明：假设，
，，
，
，这与假设矛盾．
．
问题1：上面的证明方法用的是______．
问题2：上面的证明有错误，请予以纠正．
23．已知等腰三角形的周长等于，一边长等于，求其他两边的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
《1.1等腰三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D D D C C D A
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
【详解】①当3为底时，其它两边都为1，
∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去．
当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7．
故选:B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及三边关系，分类讨论是关键.
2．B
【分析】由“ASA”可证△ACD≌△BDF，可得DF=CD=3，即可求解．
【详解】解：∵AD⊥BC，∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵BC=7，CD=3，
∴BD=AD=4，
∵∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ACD和△BFD中，
，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF=CD=3，
∴AF=AD-DF=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．
根据题意可知，在直角三角形中求得的长，即可求得的长．
【详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若，
∴在直角三角形中，，，，
∴，
又∵D为的中点，
∴，
∴等边三角形的边长为12，
故选：A．
4．D
【分析】在中，利用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可求出的长，由点是边上一动点结合，的长，即可得出长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
．
点是边上一动点，
，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质通过解含度角的直角三角形，求出的长是解题的关键．
5．D
【详解】试题分析：根据平行线的性质推出∠ADB=∠ABD，得到AD=AB=CD，根据等腰梯形的性质求出∠C=60°，根据三角形的内角和定理求出∠BDC，根据直角三角形性质求出即可．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=CD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠C=∠ABC=2∠DBC=60°，
∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=90°，
∴BC=2AD=10，
故选D．
点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出∠BDC=90°是解此题的关键．
6．D
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△B CE，则AD=BE；由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，再由对顶角相等知∠AMP=∠BMC，所以∠APM==∠ACB=60°，再根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN=BM，∠BMC=∠ANC；由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形．
【详解】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE；
又∵∠AMP=∠BMC，
∴∠APM==∠ACB=60°；
故③正确；
在△ACN和△BCM中，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM，∠BMC=∠ANC；
故②，④正确；
∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形．
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质和周长，分情况讨论：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为4cm，又因为，，所以能构成三角形，即可得；②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），又因为，，所以能构成三角形，即可得．
【详解】解：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为（cm），
∵，，
∴能构成三角形；
②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），
∵，，
∴能构成三角形，
综上，等腰三角形的腰长为11cm或7.5cm，
故选C．
8．C
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得较小直角边是斜边的一半，列出关系式求解即可.
【详解】设较小直角边为a,则斜边长为2a，
由题意可得：
a+2a=12,
解得：a=4，
所以斜边长为8cm.
故答案为C.
【点睛】本题主要考查了对含30°的直角三角形的性质的理解和掌握，能得出直角边是斜边的一般是解题的关键.
9．D
【分析】此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是钝角，等腰三角形的顶角是锐角，分别画出图形进行求解即可．
【详解】如图1
；
如图2
，故顶角．
故选D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
10．A
【分析】先根据角平分线的定义、平行线的性质可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】平分
同理可得：
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握理解并灵活运用各性质是解题关键．
11．C
【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．
【详解】
解：过点B作于点F，过点D作于点E，
∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，
∴AC=4，，
∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高，
∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，
∴，，
∴AB=BC=，
∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高，
∵，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为，
∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，
即满足条件的点P有3处．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条件的点P所在的位置．
12．B
【分析】由等腰梯形的判定，在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，可以判断第一张和第三张纸片能得到等腰梯形．
【详解】解：第一张：，三角形的三个角为、、，此图能剪出等腰梯形；
第二张：，三角形的三个角为、、，此图不能剪出等腰梯形；
第三张：；三角形的三个角为、、，此图能剪出等腰梯形；
第四张：，三角形的三个角为、、，此图不能剪出等腰梯形；
所以剪一刀能得到等腰梯形的有第一张和第三张，共两张．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰梯形的判定，又用到了三角形的内角和定理，掌握等腰梯形的定义是关键．
13． 7
【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求出，过点A作于D，求出和的长，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点A作于D，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．
【详解】试题分析：因为AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，所以,因为AD=6，CE=8，所以,因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC=BC,设AB=AC=3x,则BC=4x，CD=2x，在△ACD中由勾股定理可得：，解得：x=，所以△ABC的周长=2AB+BC=10x=×10=,故答案为.
考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质．
15．
【分析】作、垂直于轴于、，证明≌，推出，，设，得，求出点的运动轨迹，找到最小值的情况，求出的解析式，再和联立，即可求出点H坐标．
【详解】解：作、垂直于轴于、，
则，
则，
为等腰直角三角形，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，，设，得，
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连交于点，
当点与点重合时最小，
此时F，设直线的解析式为，将F代入，得：
，解得：，
，
联立：，解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．6cm或8cm
【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
【详解】解：①6cm是底边时，腰长=（20-6）=7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20-6×2=8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6cm或8cm．
故答案为：6cm或8cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
17．8
【详解】解：如图，共有8个，故答案为8．
18．．
【详解】解析：根据等腰三角形的性质求出，，根据线段垂直平分线的性质求出，根据“等边对等角”得出，进而得出，根据含角的直角三角形的性质求出CD的长，即可得出答案．
答案：解：∵，，∴，
∴，
∵DE垂直平分AB，∴，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，∴（）．
题型解法：在利用含角的直角三角形的性质时，一定要先证明角所在的三角形是直角三角形，此性质也常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，是求线段长度或证明线段倍分关系的重要依据．
19．或
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，理解题意，掌握等腰三角形的定义，数形结合分析是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当为锐角三角形时；当为钝角三角形时；结合等腰三角形的定义，边上的高与另一腰的夹角为，数形结合分析即可求解．
【详解】解：如图所示，当为锐角三角形时，
由题意可知，
∴；
如图所示，当为钝角三角形时，
由题意可得，
∴，
∴.
综上所述，顶角的度数为或.
20．（1）见解析；（2）80°
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵B＝∠ACF＝30°，
∵∠AEB＝130°，
∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝80°．
答：∠ADC的度数为80°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．(1)点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）
(2)B点坐标为（0， 8）或（0，16）或（0， 2）
(3)2秒或4秒或（3+）秒
【分析】（1）点A和点C是函数与坐标轴的交点，分别让给x＝0，y＝0，求其对应的值即可；
（2）根据题意，分类讨论即可；
（3）当点P在OA上，当点P经过点O之后，分别计算即可．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
当y＝0时，x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴线段OA＝6，线段OC＝8；
（2）解：①当AC＝AB时，
此时x轴为线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC＝8，
∴点B的坐标为（0， 8）；
②当AC＝CB且点B在点C上方时，
由勾股定理可知，
AC＝，
∴BC＝10，
∴点B的坐标为（0，16）；
③当BC＝AC且点B在点C下方时，
∴BC＝AC＝10，
∵OC＝8，
∴OB＝2
∴点B的坐标为（0， 2）；
综上，B点坐标为（0， 8）或（0，16）或（0， 2）；
（3）解：设经过t秒后，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＜6时，
OP＝6 t，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（6 t）×2t＝8，
解得t＝2或4，
∴当t为2秒或4秒时，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＞6时，
OP＝t 6，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（t 6）×2t＝8，
解得t＝3+或3 （舍去），
∴当t为（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位．
综上，当t为2秒或4秒或（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位，
【点睛】本题为一次函数综合题，能够根据题意将所有情况考虑到是关键．
22．问题1：反证法；问题2：见解析
【分析】问题1：由假设可知本题的证明方法；
问题2：按照正确的方法写出过程即可．
【详解】问题1：由假设可知本题的额证明方法为反证法．
故答案为：反证法；
问题2：改正：
假设，则，
又，
，这与矛盾，
不成立，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．
23．等腰三角形其他两边的长均为
【分析】本题考查等腰三角形的概念，解题的关键是根据等腰三角形的概念得出腰和底的长都有可能是．分两种情况讨论解答即可．也考查了三角形的三边关系．
【详解】解：分两种情况讨论：
（1）当长的边是底边时，设腰长为，
依题意，得：，
解得：，
又∵长分别为，，的三条线段能构成三角形，
∴此时三角形其他两边的长均为；
（2）当长的边是腰时，另一腰长也是，
则底边长为：，
又∵，
∴长分别为，，的三条线段不能构成三角形，
∴此情况不存在，
综上所述，等腰三角形其他两边的长均为．
24．(1)，5
(2)
(3)或
(4)存在，点P的坐标为或或
【分析】（1）利用一次函数解析式直接求出其图象与x轴和y轴的交点坐标，即为A，B的坐标，再根据两点的距离公式即可求出的长；
（2）由折叠知，从而可求出．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出C点坐标；
（3）由三角形面积公式可求出．设，则，从而得出关于t的方程，解出t即可得出M点坐标；
（4）分类讨论：①当，时，过点P作轴于点G．易证，得出，，从而得出；②当，时，过点P作轴于点H．由①同理可求出；③当，时，过点P作轴于点M，轴于点N．易证，得出，．即可设，得出，解出a，即得出P点坐标．
【详解】（1）对于，令，则，
解得：，
∴．
令，则，
∴，
∴．
故答案为：，5；
（2）由折叠知：，
∴．
设，则．
∵在中，,
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴．
设，
∴，
∴，
∴，
解得：或20，
∴或；
（4）分类讨论：①当，时，如图，过点P作轴于点G．
∴，，
∴．
即在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当，时，如图，过点P作轴于点H．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴；
③当，时，如图，过点P作轴于点M，轴于点N．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
∴可设，
∴，，
∴，
解得：．
∴；
综上可知，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)