19.1.2 函数的图象
第1课时
知识点1 函数图象的识别
1.一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后开始匀速行驶.过了一段时间,汽车到达下一车站.乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是(B)
知识点2 函数图象的分析
2.(2023·郴州中考)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是(D)
A.途中修车花了30 min
B.修车之前的平均速度是500 m/min
C.车修好后的平均速度是80 m/min
D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
3.如图,这是某辆火星车在测试时的速度—时间的关系图象,则下列说法错误的是(C)
A.测试时前10 s火星车行驶的速度越来越快
B.测试时火星车匀速行驶的时间为30 s
C.测试时火星车匀速行驶时,行驶的路程为60 m
D.测试时火星车第5 s行驶的速度与第50 s行驶的速度相等
知识点3 函数图象的绘制
4.一个长方形的周长是8厘米,它的长是x(单位:厘米),宽是y(单位:厘米),
(1)若x=3,则这个长方形的面积是 平方厘米;
(2)写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)画出y关于x的函数图象.
【解析】(1)由题意得:2x+2y=8,
当x=3时,6+2y=8,∴y=1,
∴这个长方形的面积是3×1=3(平方厘米);
答案:3
(2)∵2x+2y=8,∴x+y=4,
∴y=-x+4(0(3)如图所示:
5.洗衣机在洗涤衣服时,每洗涤一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水).在这三个过程中,洗衣机内的水量y(升)与时间x(分)之间函数关系的图象大致为(B)
6.现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务,分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行.甲、乙两组清洗的长度y(米)与清洗时间x(时)之间的函数关系的部分图象如图所示.下列说法不正确的是(C)
A.甲组清洗速度为每小时10米
B.清洗4小时,甲、乙两组清洗的长度相同
C.乙组工作5小时共清洗护栏46米
D.清洗6小时时,甲组比乙组多清洗了10米
7.(2024·济南质检)用充电器给某手机充电时,其屏幕画面显示目前电量为20%(如图1),经测试,在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时,其电量y(单位:%)与充电时间x(单位:h)的函数图象分别为图2中的线段AB,AC.先用普通充电器充电a h后,再改为快速充电器充满电,若一共用时4 h,则a的值为 3 .
8.如图1,在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止,设点R运动的路程为x,三角形MNR的面积为y,如果y随x变化的图象如图2所示,则三角形MNR的最大面积是 12 .
9.如图1,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为
4 cm,CA与MN在同一条直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后点A与点N重合.
(1)试写出两图形重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)当点A向右移动2 cm时,重叠部分的面积是多少
(4)请在如图所示的坐标系中画出此函数的图象,并结合图象指出重叠部分面积的最大值.
【解析】(1)由题意知,△ABC是等腰直角三角形,∠AMQ=90°,
∴重叠部分是等腰直角三角形.
∵线段MA=x cm,
∴y=x2.
(2)∵开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后让点A与点N重合,
∴0≤MA≤4,即0≤x≤4,
故自变量x的取值范围是0≤x≤4.
(3)点A向右移动2 cm,即x=2,
∴y=×22=2,
∴重叠部分的面积是2 cm2.
(4)由y=x2列表得:
x 0 2 4
y 0 2 8
如图:
重叠部分面积的最大值是8.19.1.2 函数的图象
第2课时
知识点1 列表法表示函数
1.一个蓄水池有水50 m3,打开放水闸门匀速放水,水池中的水量和放水时间的关系如表,则放水14 min后,水池中还有水( )
放水时间/min 1 2 3 4 …
水池中水量/m3 48 46 44 42 …
A.22 m3 B.24 m3 C.26 m3 D.28 m3
知识点2 解析式法表示函数
2.某市出租车起步价为8.5元(路程小于或等于3千米),超过3千米每增加1千米加收2元,出租车费y(元)与行程x(千米)(x>3)之间的函数解析式是 .
3.有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是15 cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以0.3 cm/s的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度h(cm)与对应的注水时间t(s)之间的关系式是 .
知识点3 图象法表示函数
4.如图是y关于x的完整函数图象,请你根据所学函数知识,观察函数图象,直接写出当y<0时,自变量x的取值范围是 .
5.已知某一函数的图象如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)当y=0时,x的值是多少
(2)当-2≤x≤1.5时,y随x的增大而怎样变化
6.如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为( )
A.(4,2) B.(4,4) C.(4,2) D.(4,5)
7.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据:
鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180
若鸭的质量为3.7 kg,则烤制时间为 min.
8.(易错警示题)甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上跑步.甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s,起跑前乙在起点,甲在乙前面100 m处,两人同时同向起跑.
(1)两人出发后 s乙追上甲;
(2)从起跑至其中一人先到达终点的过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数关系式为 .
9.某校为了选拔百米运动员,让学生进行百米比赛,小明和小亮同时起跑,比赛情况如图所示其中横轴表示时间t(s),纵轴表示距起跑点的距离s(m),根据图象回答下列问题.
(1)小明和小亮的百米成绩各是多少
(2)两人的速度各是多少
(3)当小明到达终点时,小亮所跑的路程是多少
(4)小明和小亮到达终点后,如果各自继续以原速度往前跑,他们能否相遇
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,M为AB边上一动点,BN⊥CM,垂足为N.设A,M两点间的距离为x cm(0≤x≤5),B,N两点间的距离为y cm(当点M和B点重合时,B,N两点间的距离为0).
小明根据学习函数的经验,对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整.
(1)列表:根据对A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值:
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算,补全表格:a= ;
(2)描点、连线:在平面直角坐标系中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x的图象;
(3)探究性质:随着自变量x的不断增大,函数值y的变化趋势: .
素养提升攻略
涨知识了
函数图象应用中的数形结合思想
函数的图象是函数关系的一种表示,它能够凭借形状直观地揭示函数的变化规律.其实函数的图象与解析式在本质上是相同的,在解决问题时应当学会互相转化,特别是在解答比较复杂的题型时应充分利用函数图象的直观性.
素养训练14几何直观,推理能力
1.已知A,B两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,乙骑自行车,甲骑摩托车.图中DE,OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,则甲与乙的速度之差为 ,甲出发后经过 h追上乙.
2.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城,在整个行驶过程中,甲、乙离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示,根据图象信息解答下列问题:
(1)甲车的速度是 ;
(2)乙车用了 h到达B城;
(3)求乙车出发后多长时间追上甲车
(4)求甲车出发多长时间,两车相距50 km
链接生活
车速与刹车距离
安全行车常识里有一个保持车距的原则,即保持车距为车速的千分之一,如车速为50 km/h,保持车距50 m,车速为120 km/h,保持车距120 m,对照上面计算结果可知,这个车距是非常安全的,而且车速<100 km/h时,人们有足够的反应时间.只要在反应时间之内动作了,即便前车突然停住(追尾或撞上障碍物),后车也能刹住,因此这个反应时间称为安全反应时间.
素养训练15抽象能力,推理能力
为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对这种型号的汽车进行了测试,测得的数据如表:
刹车时车速(km/h) 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离(m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是 ,自变量的函数是 ;
(2)该型号汽车发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为17.5 m,则刹车时的车速是 km/h;
(3)若该种型号汽车的刹车距离用y(m)表示,刹车时车速用x(km/h)表示,根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式: ;(不必写出x的取值范围)
(4)若该种型号汽车在车速为110 km/h的行驶过程中,前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31 m的地方,司机亦立即刹车,该汽车会不会和前车追尾 请你说明理由.19.1.2 函数的图象
第1课时
知识点1 函数图象的识别
1.一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后开始匀速行驶.过了一段时间,汽车到达下一车站.乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( )
知识点2 函数图象的分析
2.(2023·郴州中考)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是( )
A.途中修车花了30 min
B.修车之前的平均速度是500 m/min
C.车修好后的平均速度是80 m/min
D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
3.如图,这是某辆火星车在测试时的速度—时间的关系图象,则下列说法错误的是( )
A.测试时前10 s火星车行驶的速度越来越快
B.测试时火星车匀速行驶的时间为30 s
C.测试时火星车匀速行驶时,行驶的路程为60 m
D.测试时火星车第5 s行驶的速度与第50 s行驶的速度相等
知识点3 函数图象的绘制
4.一个长方形的周长是8厘米,它的长是x(单位:厘米),宽是y(单位:厘米),
(1)若x=3,则这个长方形的面积是 平方厘米;
(2)写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)画出y关于x的函数图象.
5.洗衣机在洗涤衣服时,每洗涤一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水).在这三个过程中,洗衣机内的水量y(升)与时间x(分)之间函数关系的图象大致为( )
6.现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务,分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行.甲、乙两组清洗的长度y(米)与清洗时间x(时)之间的函数关系的部分图象如图所示.下列说法不正确的是( )
A.甲组清洗速度为每小时10米
B.清洗4小时,甲、乙两组清洗的长度相同
C.乙组工作5小时共清洗护栏46米
D.清洗6小时时,甲组比乙组多清洗了10米
7.(2024·济南质检)用充电器给某手机充电时,其屏幕画面显示目前电量为20%(如图1),经测试,在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时,其电量y(单位:%)与充电时间x(单位:h)的函数图象分别为图2中的线段AB,AC.先用普通充电器充电a h后,再改为快速充电器充满电,若一共用时4 h,则a的值为 .
8.如图1,在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止,设点R运动的路程为x,三角形MNR的面积为y,如果y随x变化的图象如图2所示,则三角形MNR的最大面积是 .
9.如图1,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为
4 cm,CA与MN在同一条直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后点A与点N重合.
(1)试写出两图形重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)当点A向右移动2 cm时,重叠部分的面积是多少
(4)请在如图所示的坐标系中画出此函数的图象,并结合图象指出重叠部分面积的最大值.19.1.2 函数的图象
第2课时
知识点1 列表法表示函数
1.一个蓄水池有水50 m3,打开放水闸门匀速放水,水池中的水量和放水时间的关系如表,则放水14 min后,水池中还有水(A)
放水时间/min 1 2 3 4 …
水池中水量/m3 48 46 44 42 …
A.22 m3 B.24 m3 C.26 m3 D.28 m3
知识点2 解析式法表示函数
2.某市出租车起步价为8.5元(路程小于或等于3千米),超过3千米每增加1千米加收2元,出租车费y(元)与行程x(千米)(x>3)之间的函数解析式是 y=2x+2.5 .
3.有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是15 cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以0.3 cm/s的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度h(cm)与对应的注水时间t(s)之间的关系式是 h=15+0.3t .
知识点3 图象法表示函数
4.如图是y关于x的完整函数图象,请你根据所学函数知识,观察函数图象,直接写出当y<0时,自变量x的取值范围是 -12 .
5.已知某一函数的图象如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)当y=0时,x的值是多少
(2)当-2≤x≤1.5时,y随x的增大而怎样变化
【解析】由题中图象可知,
(1)当y=0时,x的值是-3,-1,4;
(2)当-2≤x≤1.5时,y随x的增大而增大.
6.如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为(C)
A.(4,2) B.(4,4) C.(4,2) D.(4,5)
7.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据:
鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180
若鸭的质量为3.7 kg,则烤制时间为 168 min.
8.(易错警示题)甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上跑步.甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s,起跑前乙在起点,甲在乙前面100 m处,两人同时同向起跑.
(1)两人出发后 50 s乙追上甲;
(2)从起跑至其中一人先到达终点的过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数关系式为 y= .
9.某校为了选拔百米运动员,让学生进行百米比赛,小明和小亮同时起跑,比赛情况如图所示其中横轴表示时间t(s),纵轴表示距起跑点的距离s(m),根据图象回答下列问题.
(1)小明和小亮的百米成绩各是多少
(2)两人的速度各是多少
(3)当小明到达终点时,小亮所跑的路程是多少
(4)小明和小亮到达终点后,如果各自继续以原速度往前跑,他们能否相遇
【解析】(1)根据题中图象,当距起跑点的距离为100 m时,小明用时12 s,小亮用时12.5 s.
(2)小明的速度是=(m/s);
小亮的速度是=8(m/s).
(3)∵小明和小亮同时起跑,小明到达终点时用时12 s,∴当小明到达终点时,小亮所跑的路程是12×8=96(m).
(4)∵当小明到达终点时小亮尚未到达终点,而且小明的速度大于小亮的速度,∴小亮不会追上小明,∴小明和小亮到达终点后,如果各自继续以原速度往前跑,他们不能相遇.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,M为AB边上一动点,BN⊥CM,垂足为N.设A,M两点间的距离为x cm(0≤x≤5),B,N两点间的距离为y cm(当点M和B点重合时,B,N两点间的距离为0).
小明根据学习函数的经验,对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整.
(1)列表:根据对A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值:
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算,补全表格:a= ;
(2)描点、连线:在平面直角坐标系中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x的图象;
(3)探究性质:随着自变量x的不断增大,函数值y的变化趋势: .
【解析】(1)如图,
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,根据勾股定理得,AB=5,
过点C作CM'⊥AB于M',
∴S△ABC=AC·BC=AB·CM',∴CM'=.
在Rt△ACM'中,根据勾股定理得,AM'==1.8,
当x=1.8时,点M与点M'重合,∴CM⊥AB.
∵BN⊥CM,∴点M,N重合,
∴a=BN=BM=AB-AM=3.2.
答案:3.2
(2)如图所示,
(3)由图象知,y随x的增大而减小.
答案:y随x的增大而减小
素养提升攻略
涨知识了
函数图象应用中的数形结合思想
函数的图象是函数关系的一种表示,它能够凭借形状直观地揭示函数的变化规律.其实函数的图象与解析式在本质上是相同的,在解决问题时应当学会互相转化,特别是在解答比较复杂的题型时应充分利用函数图象的直观性.
素养训练14几何直观,推理能力
1.已知A,B两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,乙骑自行车,甲骑摩托车.图中DE,OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,则甲与乙的速度之差为 km/h ,甲出发后经过 0.8 h追上乙.
2.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城,在整个行驶过程中,甲、乙离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示,根据图象信息解答下列问题:
(1)甲车的速度是 ;
(2)乙车用了 h到达B城;
(3)求乙车出发后多长时间追上甲车
(4)求甲车出发多长时间,两车相距50 km
【解析】(1)由题意得,甲车的速度是:300÷5=60(km/h);
答案:60 km/h
(2)由题意可知,乙车用了3 h到达B城;
答案:3
(3)乙车的速度为:300÷3=100(km/h),
设乙车出发后x h追上甲车,根据题意得:100x=60(x+1),解得x=1.5,
答:乙车出发后1.5 h追上甲车;
(4)设甲车出发a h,两车相距50 km,根据题意得:60a=50或60a-100(a-1)=50或100(a-1)-60a=50或60a=300-50,解得a=或1.25或3.75或.
答:甲车出发 h、1.25 h、3.75 h或 h,甲、乙两车相距50 km.
链接生活
车速与刹车距离
安全行车常识里有一个保持车距的原则,即保持车距为车速的千分之一,如车速为50 km/h,保持车距50 m,车速为120 km/h,保持车距120 m,对照上面计算结果可知,这个车距是非常安全的,而且车速<100 km/h时,人们有足够的反应时间.只要在反应时间之内动作了,即便前车突然停住(追尾或撞上障碍物),后车也能刹住,因此这个反应时间称为安全反应时间.
素养训练15抽象能力,推理能力
为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对这种型号的汽车进行了测试,测得的数据如表:
刹车时车速(km/h) 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离(m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是 ,自变量的函数是 ;
(2)该型号汽车发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为17.5 m,则刹车时的车速是 km/h;
(3)若该种型号汽车的刹车距离用y(m)表示,刹车时车速用x(km/h)表示,根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式: ;(不必写出x的取值范围)
(4)若该种型号汽车在车速为110 km/h的行驶过程中,前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31 m的地方,司机亦立即刹车,该汽车会不会和前车追尾 请你说明理由.
【解析】(1)由题意得,自变量是刹车时车速,因变量是刹车距离;
答案:刹车时车速 刹车距离
(2)现场测得刹车距离为17.5 m,则刹车时的车速是70 km/h;
答案:70
(3)由题中表格可知,刹车时车速每增加10 km/h,刹车距离增加2.5 m,
∴y与x之间的关系式为y=0.25x;
答案:y=0.25x
(4)该汽车不会和前车追尾.理由:当x=110时,y=110×0.25=27.5(m),
∵27.5<31,∴该汽车不会和前车追尾.
