1.3 线段的垂直平分线 同步练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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1.3线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③
2．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠DAC的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
3．如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．
4．线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离PA=5,则点P到B点的距离PB等于（ ）
A．PB=5 B．PB>5 C．PB<5 D．无法确定
5．如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（　　）
A． B．
C． D．
6．观查下列作图痕迹，中，为边上的中线是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
9．某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）

A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
10．如图，中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在直线两侧分别交于M，N两点，过M，N作直线与交于点P，交于点D，连接．下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③；
④直线是线段的垂直平分线；
⑤若，则的周长为12．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，、分别垂直平分和，交于点、，若，则 ．
14．如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC＝ ．
16．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
17．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为 ．
三、解答题
18．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=，MB=2MC，求AB的长．
19．如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.
20．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．

21．已知线段a（如图），用直尺和圆规作等边三角形，使它的边长为a．然后作出它的所有对称轴．
22．如图（1），一群小孩以同样的速度同时从A村出发到B村，要过一条公路a,其中只有一个小孩用最快的时间到达B村．你知道这个聪明的小孩的行程路线吗？在图上标出示意图．
如图（2），在公路的同侧有两村庄，要在公路上建立一个站点，使到A、B两村的距离相等，请标出站点位置．
23．如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．
(1)求证：≌；
(2)连接，当，，时，求的长．
24．在△ABC中，∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F，
(1) 如图(1)，连接AM、AN，求∠MAN的度数．
(2) 如图(2)，如果AB=AC, 求证：BM=MN=NC．
《1.3线段的垂直平分线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A B B D D D C
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．
【详解】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．
故①②正确；
在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，
所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．
故③正确；
不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．难度一般．
2．A
【分析】由AB=AC，∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用三角形内角和定理得到∠B=（180°﹣120°）=30°，然后根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，则∠BAD=∠B=30°，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD进行计算．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C，
∴∠B=（180°﹣120°）=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DB=DA，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣30°=90°．
故选A．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
3．C
【分析】先根据得，又因为得，然后证明，从而知道，即可知道的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵的中垂线交于点D，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是等边对等角以及全等三角形的判定等知识内容，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
4．A
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可.
【详解】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，
∴PB=PA=5
故选A.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
5．B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理解答即可．
【详解】如图：
∵点D为边AB，AC的垂直平分线的交点，
∴DA=DB=DC，
∴∠DAB=∠DBA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA=∠A，
在△ABC中，∠DBC+∠DCB=180°-（∠DAB+∠DBA+∠DAC+∠DCA）=180°-2∠A，
在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（180°-2∠A）=2∠A，
即∠BDC=2∠A=100°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
6．B
【分析】中线的定义为：对应顶点到对边中点的连线，所以需要首先找到AB的中点，利用的是线段垂直平分线的做法．
【详解】解：A选项：CD为AB边上的垂线，故错误；
B选项：D点为线段AB与其垂直平分线的交点，所以D点为AB边的中点，所以CD为AB边上的中线，故正确；
C选项：CD为∠ACB的角平分线，故错误；
D选项：画图错误，不属于三角形中的三线，故错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形中线段的画法，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
7．D
【详解】试题解析：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°－40°）＝70°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°．
故应选D．
考点：等腰三角形的性质、垂直平分线的性质
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质与垂直平分线的性质．等腰三角形的两个底角相等；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
8．D
【分析】根据题意，分两种情况：（1）当与x轴正半轴夹角不等于时；当与x轴正半轴夹角等于时；根据等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质及做法求解即可．
【详解】解：（1）当与x轴正半轴夹角不等于时，
①以A为圆心，以为半径画弧交x轴于点（点O除外），此时三角形是以为底的等腰三角形；②以O为圆心，以为半径画弧交x轴于点、，此时三角形和分别是以和为底的等腰三角形；③作的垂直平分线交x轴于一点，此时三角形是以为底的等腰三角形.
则等腰三角形共有4个；
（2）当与x轴正半轴夹角等于时，（1）中的、、重合，此时只有两点符合；
故选D．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义，坐标与图形及垂直平分线的性质，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
9．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．C
【分析】由作图可得：直线是线段的垂直平分线，可判断④，由垂直平分线的性质可得，可判断①，由，证明，可判断②，证明，可判断③，利用含的直角三角形的性质可得，再结合勾股定理可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：直线是线段的垂直平分线，而直线不一定是线段的垂直平分线，故④不符合题意；
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，，
∴的周长为：，故⑤不符合题意；
综上：符合题意的有：①②③；
故选C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，二次根式的化简与加法运算，灵活的运用以上知识解题是关键．
11．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质可得垂直平分，得出，进而得出，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，由是边的中点，得出，进而得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，，
是等边三角形，是中线，
垂直平分，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，
是边的中点，
，
，
的最小值为，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
13．/80度
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据、分别垂直平分和得到，，从而得到，，结合与三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵、分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE=150°，即 180°-∠BAC+2∠DAE=150°，再与∠BAC+∠DAE=150°联立解方程组即可．
【详解】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE=150°，①
∴∠B+∠C+2∠DAE=150°．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°，
即∠BAC-2∠DAE=30°．②
由①②组成的方程组，
解得∠BAC=110°．
故答案为：110°．
【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系．
15．2
【分析】根据垂直平分线性质，知AE=BE=4，从而求得∠AEC＝30°，利用直角三角形中，30°角对边等于斜边的一半求解即可.
【详解】∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE=4，
∴∠B＝∠BAE＝15°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝30°，
∵∠ACB＝90°，AE=4，
∴AC=2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角和定理，直角三角形中，30°角对边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键.
16．13
【详解】解：DE是AB的垂直平分线，
所以EA=EB，
所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
17．垂直
【详解】解：如图，连接、，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，点D在线段的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直．
【点睛】题考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，②两点确定一条直线．
18．AB=2．
【分析】连接MA，可求得MA=2MC，在Rt△AMC中可求得MC，则可求BC，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB．
【详解】解：如图，连接MA，
∵M在线段AB的垂直平分线上，
∴MA=MB=2MC，
∵∠C=90°，
∴AC2+CM2=MA2，即3+MC2=4MC2，
解得MC=1，
∴MB=2MC=2，
∴BC=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，
即AB的长为．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理方程思想，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，求出OD＝DF，求出BF＝DF，即可得出答案；
（2）在AD上截AM＝OF，连接OM，证△AMO≌△OFB，推出MO＝BF＝OD，求出DE＝ME，AD OF＝DM＝2DE，即可证明．
【详解】证明：（1）连接DF，
∵OF⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEO＝90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠FAE＝∠OAE，
在△FAE和△OAE中，
∴△FAE≌△OAE（ASA），
∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，
∵AD⊥OF，
∴FE＝OE，
∴DF＝DO，
∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠AFO＝∠AOF，
∴∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，
∴∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠AFO ∠B＝90° 45°＝45°＝∠B，
∴BF＝DF，
∴OD＝BF；
（2）解：在AD上截AM＝OF，连接OM，

∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAM＝22.5°，
∵OD＝DF，
∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，
∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，
在△AMO和△OFB中，
∴△AMO≌△OFB（SAS），
∴MO＝BF＝OD，
∵OF⊥AD，
∴DE＝ME，
∴AD OF＝DM＝2DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
20．见解析
【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【详解】解：证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE=AC，DE=DC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，且AD平分CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．

【点睛】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
21．见解析
【分析】根据尺规作图的方法和步骤，按要求作出图形即可．
【详解】解：①在射线上以A为圆心，a为半径画弧，截取，
②分别以点A和点B为圆心，a为半径画弧，相交于点C，
③连接，即为所求．
∵为等边三角形，
∴的对称轴为三条边的垂直平分线，
如图所示：
【点睛】本题主要考查了尺规作图，作垂直平分线以及作三角形，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤．注意尺规作图工具是没有刻度的直尺和圆规．
22．0，4
【详解】（1）根据两点之间，线段最短可知，连接AB，线段AB就是小孩的行程路线；
（2）到两村距离相等，即作出线段AB的中垂线与a相交，交点即为站点位置．
23．(1)见解析
(2)的长为
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质；
（1）由题中条件可证≌；
（2）由全等三角形的性质可得，，由中垂线的性质可得，可得结论．
【详解】（1）解：，
∴
点为的中点，
，
≌；
（2）解：∵≌，
，，
，
，
∴
的长为．
24．（1）60 （2）见解析
【分析】（1）由AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=BM，AN=CN，继而求得∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，则可求得∠MAN的大小；
（2）由∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，易证得△AMN是等边三角形，则可证得BM=MN=NC．
【详解】（1）∠MAN=60°．
理由：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=60°；
（2）证明：∵∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∵AM=BM，AN=CN，
∴BM=MN=NC．
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