19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时
知识点1 正比例函数概念及其应用
1.下列函数是正比例函数的是(D)
A. B.y=2x2
C.y=x+2 D.y=-2x
2.(易错警示题)当k= -1 时,函数y=(k-1)x+k2-1是正比例函数.
3.已知关于x的正比例函数y=(k-1)x+k+1,k为常数.求这个正比例函数的解析式,并求出当x=-4时,y的值.
【解析】根据题意得k+1=0,k-1≠0,
解得k=-1,
∴这个正比例函数的解析式为y=-2x,
当x=-4时,y=-2×(-4)=8.
知识点2 正比例函数的实际应用
4.下列问题中,两个变量成正比例的是(C)
A.圆的面积S与它的半径r
B.三角形面积S一定时,某一边长a和该边上的高h
C.正方形的周长C与它的边长a
D.周长不变的长方形的长a与宽b
5.张叔叔开车自驾游的时间和路程如表:
时间/小时 1 2 3 4 5
路程/千米 80 160 240 320 400
张叔叔开车的时间(x)和路程(y)成正比例关系吗 请说明理由.
【解析】路程÷时间=速度(定值),比值一定,所以时间与路程成正比例关系.
知识点3 应用正比例函数概念求函数解析式
6.y-2与x+1成正比例,比例系数为-2,将y表示成x的函数为 y=-2x .
7.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x-3成正比例,当x=-1时,y=4;当x=1时,y=8,求y与x之间的函数解析式.
【解析】设y1=k1x(k1≠0),y2=k2(x-3)(k2≠0),则y=y1+y2=k1x+k2(x-3),
由题意得,解得,
∴y与x之间的函数解析式为y=4x-2(x-3),即y=2x+6.
8.(2023·柳州期末)已知函数y=2x|a-2|+a2-1是正比例函数,则a=(A)
A.1 B.±1 C.3 D.3或1
9.(2024·南宁期中)若函数y=-7x+b-7是正比例函数,则b的值为 7 .
10.若函数y=(m2-1)x2+(1-m)x是正比例函数,则它的比例系数是 2 .
11.若y与z成正比例,z+1与x成正比例,且当x=1时,y=1;当x=0时,y=-3.则y与x的函数解析式为 y=4x-3 .
12.根据题意,写出相应的函数解析式,并判断y是否为x的正比例函数.
(1)多边形的每个内角都相等,它的每个外角的度数y与边数x之间的关系;
(2)圆柱的底面圆面积为2 cm2,它的体积y(cm3)与高x(cm)之间的关系;
(3)一棵小树现在高度为80 cm,以后每年长高20 cm,x年后,小树的高度y(cm)与生长的年数x之间的关系.
【解析】(1)由题意可得,y=,不符合y=kx(k≠0)的形式,不是正比例函数;
(2)由题意可得,y=2x,符合y=kx(k≠0)的形式,所以是正比例函数;
(3)由题意可得,y=20x+80,不符合y=kx(k≠0)的形式,不是正比例函数.
13.若函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,求+++…+的值.
【解析】∵函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,∴,解得k=25.
∵==1-,==-,==-,…,==-,∴+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-=1-=.19.2.1 正比例函数
第2课时
知识点1 正比例函数的图象
1.若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为( )
A.-2 B.-1
C.- D.2
2.已知点A(-2,4)为正比例函数y=kx上一点,则k= ;若点B(2,a)在此直线上,则a= .
3.已知正比例函数y=(2m+4)x.求:
(1)m为何值时,函数图象经过第一、三象限;
(2)m为何值时,点(1,3)在该函数图象上.
知识点2 正比例函数的性质
4.已知函数y=m是正比例函数,且y随x的增大而增大,则m的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
5.已知如下三个正比例函数:
y1=x,y2=kx(k≠0),y3=-2x.
写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质.
知识点3 正比例函数图象及性质简单应用
6.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,7)在正比例函数图象上.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)点B(1,0)和点C都在x轴上,当△ABC的面积是17.5时,求点C的坐标.
7.(2024·广州质检)正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,4),则此图象一定经过点( )
A.(1,3) B.(-2,-4)
C.(4,2) D.(-4,-2)
8.正比例函数y=(1-m)x的图象如图所示,则化简+m的结果是( )
A.2m-1 B.1-2m C.2m D.1
9.正比例函数y=(2m-6)x中,y随x增大而减小,则m的取值范围是 .
10.若点A(-5,y1),B(-6,y2)都在正比例函数y=-9x的图象上,则y1 y2(填“>”“<”或“=”).
11.对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值等于 .
12.(易错警示题)已知y-2与3x-4成正比例函数关系,且当x=2时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)若点P(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值;
(3)若y的取值范围为-1≤y≤1,求x的取值范围.
13.已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点M,使△AOM是等腰三角形 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时
知识点1 正比例函数概念及其应用
1.下列函数是正比例函数的是( )
A. B.y=2x2
C.y=x+2 D.y=-2x
2.(易错警示题)当k= 时,函数y=(k-1)x+k2-1是正比例函数.
3.已知关于x的正比例函数y=(k-1)x+k+1,k为常数.求这个正比例函数的解析式,并求出当x=-4时,y的值.
知识点2 正比例函数的实际应用
4.下列问题中,两个变量成正比例的是( )
A.圆的面积S与它的半径r
B.三角形面积S一定时,某一边长a和该边上的高h
C.正方形的周长C与它的边长a
D.周长不变的长方形的长a与宽b
5.张叔叔开车自驾游的时间和路程如表:
时间/小时 1 2 3 4 5
路程/千米 80 160 240 320 400
张叔叔开车的时间(x)和路程(y)成正比例关系吗 请说明理由.
知识点3 应用正比例函数概念求函数解析式
6.y-2与x+1成正比例,比例系数为-2,将y表示成x的函数为 .
7.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x-3成正比例,当x=-1时,y=4;当x=1时,y=8,求y与x之间的函数解析式.
8.(2023·柳州期末)已知函数y=2x|a-2|+a2-1是正比例函数,则a=( )
A.1 B.±1 C.3 D.3或1
9.(2024·南宁期中)若函数y=-7x+b-7是正比例函数,则b的值为 .
10.若函数y=(m2-1)x2+(1-m)x是正比例函数,则它的比例系数是 .
11.若y与z成正比例,z+1与x成正比例,且当x=1时,y=1;当x=0时,y=-3.则y与x的函数解析式为 .
12.根据题意,写出相应的函数解析式,并判断y是否为x的正比例函数.
(1)多边形的每个内角都相等,它的每个外角的度数y与边数x之间的关系;
(2)圆柱的底面圆面积为2 cm2,它的体积y(cm3)与高x(cm)之间的关系;
(3)一棵小树现在高度为80 cm,以后每年长高20 cm,x年后,小树的高度y(cm)与生长的年数x之间的关系.
13.若函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,求+++…+的值.19.2.1 正比例函数
第2课时
知识点1 正比例函数的图象
1.若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为(D)
A.-2 B.-1
C.- D.2
2.已知点A(-2,4)为正比例函数y=kx上一点,则k= -2 ;若点B(2,a)在此直线上,则a= -4 .
3.已知正比例函数y=(2m+4)x.求:
(1)m为何值时,函数图象经过第一、三象限;
(2)m为何值时,点(1,3)在该函数图象上.
【解析】(1)∵函数图象经过第一、三象限,
∴2m+4>0,解得m>-2;
(2)∵点(1,3)在该函数图象上,
∴2m+4=3,解得m=-.
知识点2 正比例函数的性质
4.已知函数y=m是正比例函数,且y随x的增大而增大,则m的值为(A)
A.1 B.-1 C.±1 D.0
5.已知如下三个正比例函数:
y1=x,y2=kx(k≠0),y3=-2x.
写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质.
【解析】这三个正比例函数的图象都具有以下性质:
①都是直线,②都经过原点,③都只经过两个象限(一条即可).
知识点3 正比例函数图象及性质简单应用
6.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,7)在正比例函数图象上.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)点B(1,0)和点C都在x轴上,当△ABC的面积是17.5时,求点C的坐标.
【解析】(1)设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
∵点A(3,7)在正比例函数图象上,
∴7=3k,∴k=,
∴正比例函数的解析式为y=x;
(2)设C(a,0),∵S△ABC=17.5,点B(1,0),
∴×|1-a|×7=17.5,
∴a=6或a=-4,
∴点C的坐标为(-4,0)或(6,0).
7.(2024·广州质检)正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,4),则此图象一定经过点(B)
A.(1,3) B.(-2,-4)
C.(4,2) D.(-4,-2)
8.正比例函数y=(1-m)x的图象如图所示,则化简+m的结果是(D)
A.2m-1 B.1-2m C.2m D.1
9.正比例函数y=(2m-6)x中,y随x增大而减小,则m的取值范围是 m<3 .
10.若点A(-5,y1),B(-6,y2)都在正比例函数y=-9x的图象上,则y1 < y2(填“>”“<”或“=”).
11.对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值等于 12 .
12.(易错警示题)已知y-2与3x-4成正比例函数关系,且当x=2时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)若点P(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值;
(3)若y的取值范围为-1≤y≤1,求x的取值范围.
【解析】(1)设y-2=k(3x-4)(k≠0),
将x=2,y=3代入,得2k=1,解得k=,
∴y-2=(3x-4),即y=x;
(2)将点P(a,-3)代入y=x,
得a=-3,解得a=-2;
(3)当y=-1时,x=-1,解得x=-,
当y=1时,x=1,解得x=,
故-≤x≤.
13.已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点M,使△AOM是等腰三角形 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵点A的横坐标为3,△AOH的面积为3,点A在第四象限,
∴点A的坐标为(3,-2).
将A(3,-2)代入y=kx,
得-2=3k,解得k=-,
∴正比例函数的解析式为y=-x;
(2)存在,分三种情况考虑:
①当OM=OA时,如图1所示,
∵点A的坐标为(3,-2),
∴OH=3,AH=2,OA==,
∴点M的坐标为(-,0)或(,0);
②当AO=AM时,如图2所示,
∵点H的坐标为(3,0),∴点M的坐标为(6,0);
③当OM=MA时,如图3所示,
设OM=x,则MH=3-x,
∵OM=MA,∴x=,解得x=,
∴点M的坐标为(,0).
综上所述:当点M的坐标为(-,0),(,0),(6,0)或(,0)时,△AOM是等腰三角形.
