19.2.3 一次函数与方程、不等式
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为(D)
A.(0,-1) B.
C. D.(0,1)
2.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数),x与y的部分对应值如表:
x -3 -2 -1 0 1 2
y -4 -2 0 2 4 6
则方程ax+b-4=0的解是 x=1 .
知识点2 一次函数与一元一次不等式
3.如图,直线y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b≥0的解集是(D)
A.x≤1 B.x≥1
C.x≥2 D.x≤2
4.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0)的图象与直线y=x的图象都经过点A(3,1),当kx+bA.x>3 B.x<3
C.x<1 D.x>1
5.如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为 x<-1 .
6.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A,B两点.
(1)求此一次函数的解析式;
(2)结合函数图象,直接写出关于x的不等式kx+b>4的解集.
【解析】(1)将点A(3,4),B(0,-2)分别代入y=kx+b中,得,解得,
故一次函数的解析式为y=2x-2;
(2)观察题图可知:关于x的不等式kx+b>4的解集为x>3.
7.如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-2)+b>0的解集是(D)
A.x>-2 B.x>-1
C.x>0 D.x>1
8.一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的部分自变量和对应函数值如表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y1 … 5 2 -1 -4 -7 …
y2 … 1 2 3 4 5 …
则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集是 x<-1 .
9.如图,直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4).
(1)求点D的坐标;
(2)求直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积;
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集.
【解析】(1)将点A(-5,0),B(-1,4)代入y=kx+b中得,,
解得,∴直线AD的解析式为y=x+5,令x=0,则y=0+5=5,∴D(0,5);
(2)在y=-2x-4中,令x=0,则y=0-4=-4,∴E(0,-4),∴DE=5-(-4)=9,
联立,解得,∴C(-3,2),∴S△CDE=DE·|xc|=×9×|-3|=,
即直线CE与直线AB及y轴围成图形的面积为;
(3)由题图可知,直线CE与直线AB交于点C(-3,2),
∴关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集为x>-3.
10.(2024·郴州质检)请你用学习过的知识探究函数y=4|x|-2的图象和性质,并解决问题.
(1)①当x=0时,y=4|x|-2=-2;
②当x>0时,y=4|x|-2= ;
③当x<0时,y=4|x|-2= ;显然,②和③均为某个一次函数的一部分;
(2)在平面直角坐标系中,作出函数y=4|x|-2的图象;
(3)一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0)的图象过点(-1,-3),若方程组无解,结合函数图象,直接写出k的取值范围.
【解析】(1)②当x>0时,y=4|x|-2=4x-2;
③当x<0时,y=4|x|-2=-4x-2;
答案:4x-2 -4x-2
(2)如图所示,即为所求;
(3)如图所示,当k>0时,若一次函数y=kx+b与y轴的交点坐标小于-2,此时一次函数y=kx+b与函数y=4|x|-2的图象不会有交点,即此时方程组无解,
∴,解得k<1,∴0当k<0时,当直线y=kx+b与直线y=-4x-2平行时,一次函数y=kx+b与函数y=4|x|-2的图象不会有交点,即此时方程组无解,
当把直线y=kx+b绕点(-1,-3)逆时针旋转时,一次函数y=kx+b与函数y=4|x|-2的图象不会有交点,即此时方程组无解,∴-4≤k<0;
当把直线y=kx+b绕点(-1,-3)顺时针旋转时,一次函数y=kx+b与函数y=4|x|-2的图象会有交点,即此时方程组有解,不符合题意.
综上所述,-4≤k<0或0第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为( )
A.(0,-1) B.
C. D.(0,1)
2.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数),x与y的部分对应值如表:
x -3 -2 -1 0 1 2
y -4 -2 0 2 4 6
则方程ax+b-4=0的解是 .
知识点2 一次函数与一元一次不等式
3.如图,直线y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b≥0的解集是( )
A.x≤1 B.x≥1
C.x≥2 D.x≤2
4.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0)的图象与直线y=x的图象都经过点A(3,1),当kx+bA.x>3 B.x<3
C.x<1 D.x>1
5.如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为 .
6.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A,B两点.
(1)求此一次函数的解析式;
(2)结合函数图象,直接写出关于x的不等式kx+b>4的解集.
7.如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-2)+b>0的解集是( )
A.x>-2 B.x>-1
C.x>0 D.x>1
8.一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的部分自变量和对应函数值如表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y1 … 5 2 -1 -4 -7 …
y2 … 1 2 3 4 5 …
则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集是 .
9.如图,直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4).
(1)求点D的坐标;
(2)求直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积;
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集.
10.(2024·郴州质检)请你用学习过的知识探究函数y=4|x|-2的图象和性质,并解决问题.
(1)①当x=0时,y=4|x|-2=-2;
②当x>0时,y=4|x|-2= ;
③当x<0时,y=4|x|-2= ;显然,②和③均为某个一次函数的一部分;
(2)在平面直角坐标系中,作出函数y=4|x|-2的图象;
(3)一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0)的图象过点(-1,-3),若方程组无解,结合函数图象,直接写出k的取值范围.19.2.3 一次函数与方程、不等式
第2课时
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A,则关于x,y的二元一次方程组的解是(B)
A. B.
C. D.
2.方程组的解为 时,直线l1:y=2x-2与直线l2:y=ax+b的交点坐标是 (2,2) .
3.已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数,k≠0)的图象的交点坐标是(1,2),则方程组的解是 .
知识点2 应用一次函数解决实际问题
4.如图,射线OA,BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,图中s,t分别表示行驶路程和时间,则这两人骑自行车的速度每小时相差 4 千米.
5.如图,两条直线的交点坐标(-2,3)可以看作两个二元一次方程的公共解,其中一个方程是x+y=1,则另一个方程是(B)
A.2x-y=1 B.2x+y=-1
C.2x+y=1 D.3x-y=1
6.如图,直线y=mx-3m与y=-x+n的交点的横坐标为5,则关于x的不等式组的解集是 37.已知一次函数y=2x+4与y=-x-2的图象都经过点A,且与y轴分别交于点B,C,若点D(m,2)在一次函数y=2x+4的图象上,则△ACD的面积为 3 .
8.(2024·佛山质检)综合与实践
生活中的数学:如何确定单肩包的最佳背带长度
素材1:如图1是一款单肩包,背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,使背带的总长度加长或缩短.总长度为单层部分与双层部分的长度和,其中调节扣的长度忽略不计.
素材2:对该款单肩包的背带长度进行测量,设双层部分的长度是x cm,单层部分的长度是y cm,得到几组数据如下表所示.
双层部分的长度x(cm) 2 6 10 …
单层部分的长度y(cm) 116 108 100 …
素材3:单肩包的最佳背带总长度与身高的比为2∶3.
素材4:小明爸爸准备购买此款单肩包.爸爸自然站立,将该单肩包的背带调节到最短提在手上(背带的倾斜忽略不计),背带的悬挂点离地面的高度为53.5 cm;如图2,已知爸爸的臂展和身高一样,且肩宽为38 cm,头顶到肩膀的垂直高度为身高的.
请根据以上素材,解答下列问题:
(1)如图3,在平面直角坐标系中,以所测得数据中的x为横坐标,y为纵坐标,描出所表示的点,并用光滑曲线连接;根据图象思考y与x之间的函数解析式,并直接写出x的取值范围;
(2)设人的身高为h,当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数解析式;
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时双层部分的长度.
【解析】(1)描点并作图如图所示:
根据图象可知,变量x,y满足一次函数关系.
设y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),
将x=2,y=116和x=10,y=100代入y=kx+b,得,解得,
∴y=-2x+120.
当背带都为单层部分时,x=0;
当背带都为双层部分时,y=0,即-2x+120=0,解得x=60,∴x的取值范围是0≤x≤60;
(2)∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和,
∴总长度为-2x+120+x=-x+120,
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时,得=,
∴h=-x+180(0≤x≤60);
(3)由素材可知,当背包的背带调节到最短时都为双层部分,即x=60,y=0.
∵背包提在手上,且背包的悬挂点离地面高度为53.5 cm,∴手到地面的距离为(+53.5) cm,即83.5 cm.
设小明爸爸的身高为h cm.∵臂展和身高一样,且肩宽为38 cm,
∴小明爸爸一条胳膊的长度为 cm,∴h++83.5=h,解得h=172,
根据(2),得172=-x+180,解得x=,∴此时双层部分的长度为 cm.
素养提升攻略
开放探索
二元一次方程组解的情况与一次函数图象交点个数之间的关系
17世纪的法国数学家费马和笛卡儿在各自的研究中发现,代数方程式可以用图象直观地呈现出来;反之,几何图形也可以用代数方程式表示.他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化.我们曾学过用代入法和加减法解二元一次方程组,学习了本章之后,是否能借助图象解二元一次方程组呢
我们已经学会通过列表、描点、连线作出一次函数y=2x-1的图象,它的图象是一条直线.如果将一次函数y=2x-1变形为2x-y=1,那么此时它是一个二元一次方程的形式,因此一次函数y=2x-1的图象也称为二元一次方程2x-y=1的图象,二元一次方程的图象是一条直线.
一次函数图象 方程组
唯一一组解
无解
无数组解
素养训练17抽象能力,推理能力
(1)①在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程x-y=-1的图象与方程2x+y=1的图象.设两条直线的公共点为P;
②点P的坐标为 ;
③检验点P的坐标是否是方程组的解.
(2)借助图象求解下列方程组:
①;
②.
(3)问题探究:直线l1:y1=k1x+b1与直线l2:y2=k2x+b2(k1,b1,k2,b2是常数且k1,k2≠0)的位置关系与系数的关系.
①直线l1与l2可能有怎样的位置关系
②如果二元一次方程组(a1,a2,b1,b2均不为零)有唯一的解,系数应满足怎样的条件
【解析】(1)①作图如图所示.
②根据图象可知P(0,1);
答案:(0,1)
③当x=0时,代入①得y=1,代入②得y=1,
∴既是方程①的解,也是方程②的解,∴点P的坐标是方程组的解.
(2)①观察图象可知方程组有无数组解;
②观察图象可知方程组无解;
(3)①直线l1与l2可能平行,可能相交,可能重合;
②,变形得:,
①-②得:(b1a2-b2a1)y=c1a2-c2a1,
∵二元一次方程组(a1,a2,b1,b2均不为零)有唯一的解,
∴b1a2-b2a1≠0,∴≠.19.2.3 一次函数与方程、不等式
第2课时
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A,则关于x,y的二元一次方程组的解是( )
A. B.
C. D.
2.方程组的解为 时,直线l1:y=2x-2与直线l2:y=ax+b的交点坐标是 .
3.已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数,k≠0)的图象的交点坐标是(1,2),则方程组的解是 .
知识点2 应用一次函数解决实际问题
4.如图,射线OA,BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,图中s,t分别表示行驶路程和时间,则这两人骑自行车的速度每小时相差 千米.
5.如图,两条直线的交点坐标(-2,3)可以看作两个二元一次方程的公共解,其中一个方程是x+y=1,则另一个方程是( )
A.2x-y=1 B.2x+y=-1
C.2x+y=1 D.3x-y=1
6.如图,直线y=mx-3m与y=-x+n的交点的横坐标为5,则关于x的不等式组的解集是 .
7.已知一次函数y=2x+4与y=-x-2的图象都经过点A,且与y轴分别交于点B,C,若点D(m,2)在一次函数y=2x+4的图象上,则△ACD的面积为 .
8.(2024·佛山质检)综合与实践
生活中的数学:如何确定单肩包的最佳背带长度
素材1:如图1是一款单肩包,背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,使背带的总长度加长或缩短.总长度为单层部分与双层部分的长度和,其中调节扣的长度忽略不计.
素材2:对该款单肩包的背带长度进行测量,设双层部分的长度是x cm,单层部分的长度是y cm,得到几组数据如下表所示.
双层部分的长度x(cm) 2 6 10 …
单层部分的长度y(cm) 116 108 100 …
素材3:单肩包的最佳背带总长度与身高的比为2∶3.
素材4:小明爸爸准备购买此款单肩包.爸爸自然站立,将该单肩包的背带调节到最短提在手上(背带的倾斜忽略不计),背带的悬挂点离地面的高度为53.5 cm;如图2,已知爸爸的臂展和身高一样,且肩宽为38 cm,头顶到肩膀的垂直高度为身高的.
请根据以上素材,解答下列问题:
(1)如图3,在平面直角坐标系中,以所测得数据中的x为横坐标,y为纵坐标,描出所表示的点,并用光滑曲线连接;根据图象思考y与x之间的函数解析式,并直接写出x的取值范围;
(2)设人的身高为h,当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数解析式;
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时双层部分的长度.
素养提升攻略
开放探索
二元一次方程组解的情况与一次函数图象交点个数之间的关系
17世纪的法国数学家费马和笛卡儿在各自的研究中发现,代数方程式可以用图象直观地呈现出来;反之,几何图形也可以用代数方程式表示.他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化.我们曾学过用代入法和加减法解二元一次方程组,学习了本章之后,是否能借助图象解二元一次方程组呢
我们已经学会通过列表、描点、连线作出一次函数y=2x-1的图象,它的图象是一条直线.如果将一次函数y=2x-1变形为2x-y=1,那么此时它是一个二元一次方程的形式,因此一次函数y=2x-1的图象也称为二元一次方程2x-y=1的图象,二元一次方程的图象是一条直线.
一次函数图象 方程组
唯一一组解
无解
无数组解
素养训练17抽象能力,推理能力
(1)①在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程x-y=-1的图象与方程2x+y=1的图象.设两条直线的公共点为P;
②点P的坐标为 ;
③检验点P的坐标是否是方程组的解.
(2)借助图象求解下列方程组:
①;
②.
(3)问题探究:直线l1:y1=k1x+b1与直线l2:y2=k2x+b2(k1,b1,k2,b2是常数且k1,k2≠0)的位置关系与系数的关系.
①直线l1与l2可能有怎样的位置关系
②如果二元一次方程组(a1,a2,b1,b2均不为零)有唯一的解,系数应满足怎样的条件
