第十九章 一次函数(45分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若函数y=-7x+m-2是正比例函数,则m的值为(D)
A.0 B.1 C.-2 D.2
2.(2024·广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是(B)
3.将直线y=2x+1向右平移2个单位长度所得直线的解析式为(B)
A.y=2x-1 B.y=2x-3 C.y=2x+3 D.y=2x+5
4.(2024·青海中考)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是(A)
A. (-,0) B. (,0) C.(0,3) D.(0,-3)
5.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-1,-2)和点B(-2,0),一次函数y=2x的图象过点A,则不等式2x≤kx+b的解集为(A)
A.x≤-1 B.x≤-2 C.x≥1 D.-2≤x<-1
6.在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中,y的值随x值的增大而增大,且ab>0,则点A(a,b)在(B)
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
7.(2024·天津期末)已知一次函数y=kx+2(k为常数,k≠0)的图象经过第一、二、四象限,若点A(-1,y1),B(2,y2)在该一次函数的图象上,则k的取值范围以及y1,y2的大小关系分别是(B)
A.k<0,y1y2 C.k>0,y10,y1>y2
8.如图1,在菱形ABCD中,∠A=60°,动点P从点A出发,沿折线AD→DC→CB方向匀速运动,运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,则AB的长为(B)
A. B.2 C.3 D.4
9.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是(C)
A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小 B.当K=0时,R1的阻值为100
C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态 D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
10.如图,函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,C(1,0),点P为直线AB上的动点,连接OP,PC,则△OPC的周长的最小值为(C)
A.3 B.4 C.+1 D.2+1
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.若y是x的一次函数且过(1,0),请你写出一个符合条件的函数解析式: y=x-1(答案不唯一) .
12.函数y=自变量x的取值范围是 x≥1且x≠3 .
13.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2= -6 .
14.我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 250 .
15.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,-1),B(1,-3),在x轴上有一点P,使得|PA-PB|最大,最大值为 2 .
16.如图,将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,AC=BC,点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的负半轴上,点B在第二象限,AC所在直线的函数解析式是y=2x+4,若保持AC的长不变,当点A在y轴的正半轴滑动,点C随之在x轴的负半轴上滑动,则在滑动过程中,点B与原点O的最大距离是 5+ .
三、解答题(共52分)
17.(6分)已知关于x的函数y=(3m+1)x-(m-1).
(1)若函数为正比例函数,求m的值;
【解析】(1)∵关于x的函数y=(3m+1)x-(m-1)是正比例函数,∴m-1=0,解得m=1,∴m的值为1;
(2)若点(1,0)在函数图象上,求m的值;
【解析】(2)∵点(1,0)在函数y=(3m+1)x-(m-1)的图象上,∴0=3m+1-(m-1),解得m=-1,∴m的值为-1;
(3)若y随x的增大而减小,求m的取值范围.
【解析】(3)∵y随x的增大而减小,∴3m+1<0,∴m<-,∴m的取值范围为m<-.
18.(8分)“中国石化”推出促销活动,一张加油卡的面值是1 000元,打九折出售.使用这张加油卡加油,每加一升油,油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)他实际花了多少钱购买会员卡
【解析】(1)由题意知,1 000×0.9=900(元).
答:实际花了900元购买会员卡;
(2)减价后每升油的单价为y元/升,原价为x元/升,求y关于x的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).
【解析】(2)由题意知,y=0.9(x-0.30),
整理得y=0.9x-0.27,
∴y关于x的函数解析式为y=0.9x-0.27;
(3)油的原价是7.30元/升,求优惠后油的单价比原价便宜多少元
【解析】(3)当x=7.30时,y=0.9×7.30-0.27=6.30,
∵7.30-6.30=1.00,∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元.
19.(8分)已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上,文具店离宿舍
0.6 km,体育场离宿舍1.2 km,张强从宿舍出发,先用了10 min匀速跑步去体育场,在体育场锻炼了30 min,之后匀速步行了10 min到文具店买笔,在文具店停留10 min后,用了20 min匀速散步返回宿舍,下面图中x表示时间,y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 1.2
②填空:张强从体育场到文具店的速度为 km/min;
③当50≤x≤80时,请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式;
【解析】(1)①由题中图象可知,张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10=0.12(km/min),
∴当张强离开宿舍1 min时,张强离宿舍的距离为0.12×1=0.12(km);
当张强离开宿舍20 min时,张强离宿舍的距离为1.2 km;
当张强离开宿舍60 min时,张强离宿舍的距离为0.6 km;
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 0.12 1.2 1.2 0.6
答案:0.12 1.2 0.6
②由题中图象可知,张强从体育场到文具店的速度为=0.06(km/min).
答案:0.06
③当50≤x≤60时,y=0.6,
张强从文具店到宿舍的速度为=0.03(km/min),
∴当60综上,y=;
(2)当张强离开体育场15 min时,同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍,如果李明的速度为0.06 km/min,那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少 (直接写出结果即可)
【解析】(2)根据题意,当张强离开体育场15 min时,张强已到达文具店并停留了
5 min,
设李明从体育场出发x min后与张强相遇,
则0.06x=0.03(x-5)+0.6,解得x=15,
∴1.2-0.06×15=0.3(km),
∴李明遇到张强时离宿舍的距离是0.3 km.
20.(10分)(五育并举)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针,内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中,若每位老师带队30名学生,则还剩7名学生没老师带;若每位老师带队31名学生,就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车,它们的载客量和租金如表所示:
项目 甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 35 30
租金(元/辆) 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3 000元.
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人
【解析】(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人,参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人,
根据题意得:30x+7=31x-1,解得x=8,
∴30x+7=30×8+7=247.
答:参加此次劳动实践活动的老师有8人,参加此次劳动实践活动的学生有247人;
(2)每位老师负责一辆车的组织工作,请问有哪几种租车方案
【解析】(2)师生总数为247+8=255(人),
∵每位老师负责一辆车的组织工作,
∴一共租8辆车,
设租甲型客车m辆,则租乙型客车(8-m)辆,
根据题意得:,
解得3≤m≤5.5,
∵m为整数,∴m可取3,4,5,∴一共有3种租车方案:租甲型客车3辆,租乙型客车5辆或租甲型客车4辆,租乙型客车4辆或租甲型客车5辆,租乙型客车3辆;
(3)学校租车总费用最少是多少元
【解析】(3)由(2)知:3≤m≤5.5,设学校租车总费用是w元,
w=400m+320(8-m)=80m+2 560,
∵80>0,∴w随m的增大而增大,
∴m=3时,w取最小值,最小值为80×3+2 560=2 800(元).
答:学校租车总费用最少是2 800元.
21.(10分)(2024·广州中考)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如下表:
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);
【解析】(1)如图所示:
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);
【解析】(2)由图可知,y随着x的增大而增大,
因此选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系,
将点(23,156),(24,163)代入得,
,
解得,
∴y=7x-5;
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.
【解析】(3)将x=25.8代入y=7x-5得,
y=7×25.8-5=175.6,
∴估计这个人的身高为175.6 cm.
22.(10分)如图,设直线l1:y=x-2k,直线l2:y=kx+4.已知l1与x轴交于点A;l2与x轴交于点C与y轴交于点B,与直线l1交于点D(,m).
(1)求直线l1,l2的解析式;
【解析】(1)把D(,m)分别代入y=x-2k和y=kx+4,得,解得,
∴直线l1的解析式为y=x+2,
直线l2的解析式为y=-x+4.
(2)求△ACD的面积;
【解析】(2)∵直线l1的解析式为y=x+2;
令y=0,则x+2=0,
解得x=-4,
∴A(-4,0),
∵直线l2的解析式为y=-x+4,
令y=0,则-x+4=0,
解得x=4,
∴C(4,0),
由(1)知,m=,
∴D(,
∴△ACD的面积=×(4+4)×=.
(3)直线BC上是否存在动点P,使得△PAD的面积等于△ACD面积的 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)设点P的坐标为P(x,-x+4),
分两种情况:①当点P在射线DB上时,即在点P1处,如图,
∵=-S△ACD=S△ACD,
∴=S△ACD,∴AC·=×AC×,
∴=,∴=-x+4,解得x=-,
∴P1(-,);
②当点P在射线DC上时,即在点P2处,如图,
∵=S△ACD-=S△ACD,
∴=S△ACD,
∴AC·=×AC×,
∴=,∴=-x+4,解得x=,
∴P2(,);
综上,存在,点P的坐标为(-,)或(,)时,使得△PAD的面积等于△ACD面积的.第十九章 一次函数(45分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若函数y=-7x+m-2是正比例函数,则m的值为( )
A.0 B.1 C.-2 D.2
2.(2024·广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
3.将直线y=2x+1向右平移2个单位长度所得直线的解析式为( )
A.y=2x-1 B.y=2x-3 C.y=2x+3 D.y=2x+5
4.(2024·青海中考)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是( )
A. (-,0) B. (,0) C.(0,3) D.(0,-3)
5.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-1,-2)和点B(-2,0),一次函数y=2x的图象过点A,则不等式2x≤kx+b的解集为( )
A.x≤-1 B.x≤-2 C.x≥1 D.-2≤x<-1
6.在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中,y的值随x值的增大而增大,且ab>0,则点A(a,b)在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
7.(2024·天津期末)已知一次函数y=kx+2(k为常数,k≠0)的图象经过第一、二、四象限,若点A(-1,y1),B(2,y2)在该一次函数的图象上,则k的取值范围以及y1,y2的大小关系分别是( )
A.k<0,y1y2 C.k>0,y10,y1>y2
8.如图1,在菱形ABCD中,∠A=60°,动点P从点A出发,沿折线AD→DC→CB方向匀速运动,运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,则AB的长为( )
A. B.2 C.3 D.4
9.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小 B.当K=0时,R1的阻值为100
C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态 D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
10.如图,函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,C(1,0),点P为直线AB上的动点,连接OP,PC,则△OPC的周长的最小值为( )
A.3 B.4 C.+1 D.2+1
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.若y是x的一次函数且过(1,0),请你写出一个符合条件的函数解析式: .
12.函数y=自变量x的取值范围是 .
13.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2= .
14.我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
15.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,-1),B(1,-3),在x轴上有一点P,使得|PA-PB|最大,最大值为 .
16.如图,将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,AC=BC,点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的负半轴上,点B在第二象限,AC所在直线的函数解析式是y=2x+4,若保持AC的长不变,当点A在y轴的正半轴滑动,点C随之在x轴的负半轴上滑动,则在滑动过程中,点B与原点O的最大距离是 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)已知关于x的函数y=(3m+1)x-(m-1).
(1)若函数为正比例函数,求m的值;
(2)若点(1,0)在函数图象上,求m的值;
(3)若y随x的增大而减小,求m的取值范围.
18.(8分)“中国石化”推出促销活动,一张加油卡的面值是1 000元,打九折出售.使用这张加油卡加油,每加一升油,油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)他实际花了多少钱购买会员卡
(2)减价后每升油的单价为y元/升,原价为x元/升,求y关于x的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).
(3)油的原价是7.30元/升,求优惠后油的单价比原价便宜多少元
19.(8分)已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上,文具店离宿舍
0.6 km,体育场离宿舍1.2 km,张强从宿舍出发,先用了10 min匀速跑步去体育场,在体育场锻炼了30 min,之后匀速步行了10 min到文具店买笔,在文具店停留10 min后,用了20 min匀速散步返回宿舍,下面图中x表示时间,y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 1.2
②填空:张强从体育场到文具店的速度为 km/min;
③当50≤x≤80时,请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式;
(2)当张强离开体育场15 min时,同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍,如果李明的速度为0.06 km/min,那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少 (直接写出结果即可)
20.(10分)(五育并举)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针,内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中,若每位老师带队30名学生,则还剩7名学生没老师带;若每位老师带队31名学生,就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车,它们的载客量和租金如表所示:
项目 甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 35 30
租金(元/辆) 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3 000元.
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人
(2)每位老师负责一辆车的组织工作,请问有哪几种租车方案
21.(10分)(2024·广州中考)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如下表:
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.
22.(10分)如图,设直线l1:y=x-2k,直线l2:y=kx+4.已知l1与x轴交于点A;l2与x轴交于点C与y轴交于点B,与直线l1交于点D(,m).
(1)求直线l1,l2的解析式;
(2)求△ACD的面积;
(3)直线BC上是否存在动点P,使得△PAD的面积等于△ACD面积的 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
