16.1 二次根式
第2课时
知识点1 利用二次根式性质进行计算
1.等于(A)
A.3 B.-3 C.±3 D.9
2.计算:
(1);(2);(3).
【解析】(1)原式==0.3;
(2)原式=52×()2=125;
(3)原式==.
3.计算:-+.
【解析】原式=1-+4=1-4+4=1.
4.计算:(-2)2+|-|-+.
【解析】原式=4+-5+1=.
知识点2 实数范围内的因式分解
5.下列各式中,在实数范围内能因式分解的是(B)
A.x2+5 B.x2-5
C.x2+9 D.x2+x+1
6.在实数范围内因式分解x4-6x2+9= (x+)2(x-)2 .
7.在实数范围内因式分解:
(1)3x2y-6y;
(2)y2-2y+6.
【解析】(1)原式=3y(x2-2)=3y(x+)(x-);
(2)原式=y2-2y+=(y-)2.
知识点3 利用二次根式性质进行化简
8.如果=3a-2,那么a的取值范围是(C)
A.a> B.a< C.a≥ D.a≤
9.若a<0,则化简|a-3|-的结果为(B)
A.3-2a B.3
C.-3 D.2a-3
10.计算:= 3- .
11.若某三角形的三边长分别为2,5,n,化简+|8-n|.
【解析】∵三角形的三边长分别为2,5,n,
∴5-212.下列5个数:,,π,()2,,其中无理数有(A)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
13.把4x4-9在实数范围内因式分解,结果正确的是(D)
A.(2x2+3)(2x2-3)
B.(x+)(x-)
C.(2x2+3)(2x+)(2x-)
D.(2x2+3)(x+)(x-)
14.计算(π-3.14)0+= .
15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简代数式:-= b .
16.若化简-的结果为2x-5,求x的取值范围.
【解析】原式=-=|1-x|-|x-4|,
由题意可知|1-x|-|x-4|=2x-5,
当x<1时,1-x>0,x-4<0,
∴原式=(1-x)+(x-4)=-3,不符合题意,
当1≤x≤4时,1-x≤0,x-4≤0,
∴原式=-(1-x)+(x-4)=2x-5,符合题意,
当x>4时,x-4>0,1-x<0,
∴原式=-(1-x)-(x-4)=3,不符合题意,
∴x的取值范围为1≤x≤4.
17.已知:|m-1|+=0,
(1)求m,n的值;
(2)先化简,再求值:m(m-3n)+(m+2n)2-4n2.
【解析】(1)∵|m-1|≥0,≥0,
∴|m-1|+=0,m-1=0且n+2=0,解得m=1,n=-2,
(2)原式=m2-3mn+m2+4mn+4n2-4n2=2m2+mn,
当m=1,n=-2时,原式=2×1+1×(-2)=0.
18.(2023·湖南中考)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2= ,S4-S3= ;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
【解析】(1)S3-S2=-
=[(a+2)+(a+)]·[(a+2)-(a+)]
=(2a+3)·
=2a+3b,
当a=1,b=3时,
原式=2+9;
S4-S3=-
=[(a+3)+(a+2)]·[(a+3)-(a+2)]
=(2a+5)·
=2a+5b,
当a=1,b=3时,原式=2+15;
答案:2+9 2+15
(2)猜想结论:Sn+1-Sn=6n-3+2
证明:Sn+1-Sn=-
=[2+(2n-1)]×
=3(2n-1)+2
=6n-3+2;
(3)T=t1+t2+t3+…+t50
=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50
=S51-S1
=-1
=7 500+100.第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时
知识点1 二次根式的定义
1.在式子,,,x+y中,二次根式有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 二次根式有意义的条件
2.二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为(C)
3.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是(B)
A.x≥-1 B.x>-1
C.x<-1 D.x≤-1
4.若二次根式在实数范围内有意义,那么x的取值范围是 x≤ .
5.已知y=++5,则x= 3 ,y= 5 .
6.已知y=--,则x2 025·y2 024= 2 .
7.当实数x取何值时,下列各式有意义.
(1);
(2);
(3);
(4).
【解析】(1)∵x是实数,
∴x2≥0,∴x2+4>0,
∴当x取任何实数时,都有意义;
(2)要使有意义,
则≥0,解得x≤-;
(3)∵x是实数,∴x2≥0,∴-x2≤0,
要使有意义,x只能等于0,∴x=0;
(4)根据题意得:,
解得0≤x<1.
知识点3 二次根式的双重非负性
8.若|x+2|+=0,则的值为(C)
A.5 B.-6 C.6 D.36
9.若实数a,b,c满足|a-|+=+.
(1)求a,b,c;
(2)若满足上式的a,c为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的周长.
【解析】(1)由题意可得c-3≥0,3-c≥0,解得c=3,∴|a-|+=0,则a=,b=2;
(2)当a是腰长,c是底边时,等腰三角形的腰长之和:+=2<3,不能构成三角形,舍去;
当c是腰长,a是底边时,任意两边之和大于第三边,能构成三角形,
则等腰三角形的周长为+3+3=+6,
综上,这个等腰三角形的周长为+6.
10.如图,已知数轴上A,B两点表示的数分别是a,b,化简+的结果是(A)
A.b-a B.a-b
C.a+b D.-a-b
11.已知x,y是实数,+y2-6y+9=0,则xy的值是(B)
A.4 B.-4 C. D.-
12.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则-(b-a-2)的化简结果是(A)
A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2
13.使是整数的正整数m的最小值为 3 .
14.(易错警示题)若的值为0,则x的值为 2 .
15.已知y=++2.
(1)求式子的值;
(2)求式子-的值.
【解析】(1)由题意得,x-8≥0,8-x≥0,
解得x=8,则y=2,∴xy=16,
∵16的算术平方根是4,
∴==4;
(2)把x=8和y=2代入,原式=-=-=1.
16.先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得
或,
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义
【解析】要使该二次根式有意义,需≥0,
即或,
解得x≥1或x<-2,
∴当x≥1或x<-2时,有意义.第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时
知识点1 二次根式的定义
1.在式子,,,x+y中,二次根式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 二次根式有意义的条件
2.二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为( )
3.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥-1 B.x>-1
C.x<-1 D.x≤-1
4.若二次根式在实数范围内有意义,那么x的取值范围是 .
5.已知y=++5,则x= ,y= .
6.已知y=--,则x2 025·y2 024= .
7.当实数x取何值时,下列各式有意义.
(1);
(2);
(3);
(4).
知识点3 二次根式的双重非负性
8.若|x+2|+=0,则的值为( )
A.5 B.-6 C.6 D.36
9.若实数a,b,c满足|a-|+=+.
(1)求a,b,c;
(2)若满足上式的a,c为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的周长.
10.如图,已知数轴上A,B两点表示的数分别是a,b,化简+的结果是( )
A.b-a B.a-b
C.a+b D.-a-b
11.已知x,y是实数,+y2-6y+9=0,则xy的值是( )
A.4 B.-4 C. D.-
12.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则-(b-a-2)的化简结果是( )
A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2
13.使是整数的正整数m的最小值为 .
14.(易错警示题)若的值为0,则x的值为 .
15.已知y=++2.
(1)求式子的值;
(2)求式子-的值.
16.先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得
或,
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义 16.1 二次根式
第2课时
知识点1 利用二次根式性质进行计算
1.等于( )
A.3 B.-3 C.±3 D.9
2.计算:
(1);(2);(3).
3.计算:-+.
4.计算:(-2)2+|-|-+.
知识点2 实数范围内的因式分解
5.下列各式中,在实数范围内能因式分解的是( )
A.x2+5 B.x2-5
C.x2+9 D.x2+x+1
6.在实数范围内因式分解x4-6x2+9= .
7.在实数范围内因式分解:
(1)3x2y-6y;
(2)y2-2y+6.
知识点3 利用二次根式性质进行化简
8.如果=3a-2,那么a的取值范围是( )
A.a> B.a< C.a≥ D.a≤
9.若a<0,则化简|a-3|-的结果为( )
A.3-2a B.3
C.-3 D.2a-3
10.计算:= .
11.若某三角形的三边长分别为2,5,n,化简+|8-n|.
12.下列5个数:,,π,()2,,其中无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
13.把4x4-9在实数范围内因式分解,结果正确的是( )
A.(2x2+3)(2x2-3)
B.(x+)(x-)
C.(2x2+3)(2x+)(2x-)
D.(2x2+3)(x+)(x-)
14.计算(π-3.14)0+= .
15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简代数式:-= .
16.若化简-的结果为2x-5,求x的取值范围.
17.已知:|m-1|+=0,
(1)求m,n的值;
(2)先化简,再求值:m(m-3n)+(m+2n)2-4n2.
18.(2023·湖南中考)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2= ,S4-S3= ;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
