16.2 二次根式的乘除
第2课时
知识点1 二次根式的除法运算
1.方程x=的解为( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=2
2.计算÷的结果是( )
A. B. C. D.
3.计算÷的结果是 .
4.若一个长方形的长为 cm,面积为8 cm2,则它的宽为 cm(保留根式).
知识点2 最简二次根式
5.下列根式是最简二次根式的是( )
A. B. C.- D.
6.把化成最简二次根式为 .
7.下列根式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1);(2);(3);(4).
知识点3 二次根式的乘除混合运算
8.计算:÷×= .
9.计算:÷×.
10.计算:×÷.
11.下列计算正确的是( )
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
12.若=成立,则x的取值范围是 .
13.△ABC的面积S=18cm2,底边a=2 cm,则底边上的高为 cm.
14.(易错警示题)化简的结果是 .
15.化简:
(1);(2);(3)-;(4).
16.计算:×÷.
17.先来看一个有趣的现象:===2,这里根号里的因数2经过适当的演变,2竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一性质的数还有许多,如=3,=4等.
(1)请你写一个有“穿墙”现象的数,并验证;
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗 证明你找到的规律.
素养提升攻略
涨知识了
二次根式与算术平方根
二次根式与算术平方根既有联系又有区别.首先,二次根式是一种含有“”的代数式,是建立在开平方运算上的一种代数式,算术平方根也与开平方运算有关.其次,二次根式必须含有“”,而且被开方数必须为非负数,算术平方根不一定带有根号.二次根式可以看作是算术平方根,用根号表示的算术平方根也是二次根式.
二次根式是算术平方根的一般形式,因为二次根式的被开方数可以是字母表示的抽象的数.用二次根式的形式表示非负数的算术平方根具有简约、一般化的优点,具有更广泛的应用.
素养训练1抽象能力、运算能力
下列各式中,哪些是二次根式 若是二次根式,表示的是哪个数或式子的算术平方根
①;②2+3=b-4;③;④;⑤(x≤3);
⑥(x>0);⑦;⑧;⑨;⑩.
涨知识了
利用“平方法”比较二次根式的大小
素材一:比较a=2和b=3的大小,我们可以把a和b分别平方,∵a2=12,b2=18,则a2 素材二:整式中的完全平方公式在二次根式的运算中照样应用.即=a±2+b.
素养训练2抽象能力、运算能力
(1)比较c=4,d=2的大小,c d(填“>”“<”或“=”).
(2)猜想m=2+,n=2+的大小,并证明.
(3)化简+= . 16.2 二次根式的乘除
第1课时
知识点1 二次根式的乘法运算
1.计算×的结果是(B)
A. B.2 C.3 D.4
2.化简·=(A)
A.4y B.16y
C.4x D.16x
3.计算:5×2= 30 .
4.计算:
(1)×;
(2)3×;
(3)×.
【解析】(1)×=
===12.
(2)3×
=-×
=-6=-30.
(3)×
=
=
=6 000.
知识点2 二次根式的化简
5.(2024·太原质检)计算×的结果为 2 .
6.化简:
(1);
(2)5;
(3)(a>0);
(4).
【解析】(1)==×=2;
(2)5=5×2=10;
(3)(a>0)=5a;
(4)原式=××=3×8×=24.
7.设长方形的面积为S,相邻两边分别为a,b.
(1)已知a=,b=,求S;
(2)已知a=2,b=3,求S.
【解析】(1)∵a=,b=,
∴S=ab=×=2×2=4;
(2)∵a=2,b=3,
∴S=2×3=10×12=120×2=240.
知识点3 二次根式大小的比较
8.下列大小关系正确的是(D)
A.>2 B.2>3
C.-<- D.8<
9.比较大小3 > 4(填写“>”“<”或“=”).
10.下列化简正确的是(B)
A.=×=6
B.=×=18
C.=+=
D.=×=
11.已知m=(-)×,若a,b为两个连续的整数,且aA.13 B.14 C.12 D.11
12.当a<0时,化简a·的结果是(C)
A.-4a B.4a C.-4a2 D.4a2
13.比较大小: > (填写“>”“<”或“=”).
14.在等式“( )÷=”中,括号内应填入的最简根式为 2 .
15.计算:(1)6×(-2);
(2)×(a>0,b>0);
(3).
【解析】(1)6×(-2)=-2×6×=-48;
(2)×==4ab2;
(3)原式===.
16.我们已经学习了整式、分式和二次根式,当被除数是一个二次根式,除数是一个整式时,求得的商就会出现类似的形式,我们把形如的式子称为根分式,例如,都是根分式.
(1)下列式子中①,②,③, 是根分式(填写序号即可);
(2)写出根分式中x的取值范围 ;
(3)已知两个根分式M=,N=.若M2-N2=1,求x的值.
【解析】(1)①的分子不是二次根式,不是根分式,②的分母不是整式,不是根分式,③是根分式.
答案:③
(2)由题意得:x-1≥0且x-2≠0,解得x≥1且x≠2,
故x的取值范围是x≥1且x≠2;
答案:x≥1且x≠2
(3)∵M2-N2=1,
∴-=1,
∴-=1,∴=1,∴x2-8x+8=x2-4x+4,
解得x=1,经检验,x=1是原方程的解.16.2 二次根式的乘除
第1课时
知识点1 二次根式的乘法运算
1.计算×的结果是( )
A. B.2 C.3 D.4
2.化简·=( )
A.4y B.16y
C.4x D.16x
3.计算:5×2= .
4.计算:
(1)×;
(2)3×;
(3)×.
知识点2 二次根式的化简
5.(2024·太原质检)计算×的结果为 .
6.化简:
(1);
(2)5;
(3)(a>0);
(4).
7.设长方形的面积为S,相邻两边分别为a,b.
(1)已知a=,b=,求S;
(2)已知a=2,b=3,求S.
知识点3 二次根式大小的比较
8.下列大小关系正确的是( )
A.>2 B.2>3
C.-<- D.8<
9.比较大小3 4(填写“>”“<”或“=”).
10.下列化简正确的是( )
A.=×=6
B.=×=18
C.=+=
D.=×=
11.已知m=(-)×,若a,b为两个连续的整数,且aA.13 B.14 C.12 D.11
12.当a<0时,化简a·的结果是( )
A.-4a B.4a C.-4a2 D.4a2
13.比较大小: (填写“>”“<”或“=”).
14.在等式“( )÷=”中,括号内应填入的最简根式为 .
15.计算:(1)6×(-2);
(2)×(a>0,b>0);
(3).
16.我们已经学习了整式、分式和二次根式,当被除数是一个二次根式,除数是一个整式时,求得的商就会出现类似的形式,我们把形如的式子称为根分式,例如,都是根分式.
(1)下列式子中①,②,③, 是根分式(填写序号即可);
(2)写出根分式中x的取值范围 ;
(3)已知两个根分式M=,N=.若M2-N2=1,求x的值.16.2 二次根式的乘除
第2课时
知识点1 二次根式的除法运算
1.方程x=的解为(B)
A.x= B.x=
C.x= D.x=2
2.计算÷的结果是(C)
A. B. C. D.
3.计算÷的结果是 7 .
4.若一个长方形的长为 cm,面积为8 cm2,则它的宽为 4 cm(保留根式).
知识点2 最简二次根式
5.下列根式是最简二次根式的是(C)
A. B. C.- D.
6.把化成最简二次根式为 .
7.下列根式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1);(2);(3);(4).
【解析】(1)是最简二次根式,
(2)=6,(3)=5a,
(4)=,
(2),(3),(4)不是最简二次根式.
知识点3 二次根式的乘除混合运算
8.计算:÷×= 4 .
9.计算:÷×.
【解析】原式====2.
10.计算:×÷.
【解析】×÷=÷=7÷2=.
11.下列计算正确的是(B)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
12.若=成立,则x的取值范围是 x>2 .
13.△ABC的面积S=18cm2,底边a=2 cm,则底边上的高为 6 cm.
14.(易错警示题)化简的结果是 - .
15.化简:
(1);(2);(3)-;(4).
【解析】(1)==;
(2)===;
(3)-=-=-=-=-;
(4)==.
16.计算:×÷.
【解析】原式====12.
17.先来看一个有趣的现象:===2,这里根号里的因数2经过适当的演变,2竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一性质的数还有许多,如=3,=4等.
(1)请你写一个有“穿墙”现象的数,并验证;
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗 证明你找到的规律.
【解析】(1),
验证:===5(答案不唯一);
(2)规律:=n(n为正整数,n≥2),
证明:===n.
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涨知识了
二次根式与算术平方根
二次根式与算术平方根既有联系又有区别.首先,二次根式是一种含有“”的代数式,是建立在开平方运算上的一种代数式,算术平方根也与开平方运算有关.其次,二次根式必须含有“”,而且被开方数必须为非负数,算术平方根不一定带有根号.二次根式可以看作是算术平方根,用根号表示的算术平方根也是二次根式.
二次根式是算术平方根的一般形式,因为二次根式的被开方数可以是字母表示的抽象的数.用二次根式的形式表示非负数的算术平方根具有简约、一般化的优点,具有更广泛的应用.
素养训练1抽象能力、运算能力
下列各式中,哪些是二次根式 若是二次根式,表示的是哪个数或式子的算术平方根
①;②2+3=b-4;③;④;⑤(x≤3);
⑥(x>0);⑦;⑧;⑨;⑩.
【解析】①符合二次根式的定义,属于二次根式;表示7的算术平方根;
②2+3=b-4,被开方数里有负数,不符合二次根式的定义,不是二次根式;
③的根指数是3,不符合二次根式的定义,不是二次根式;
④,-=-<0,不符合二次根式的定义,不是二次根式;
⑤(x≤3),被开方数是非负数,符合二次根式的定义,属于二次根式;表示3-x的算术平方根;
⑥(x>0),被开方数是负数,不符合二次根式的定义,不属于二次根式;
⑦,被开方数是非负数,符合二次根式的定义,属于二次根式;表示(a-3)2的算术平方根;
⑧,被开方数是负数,不符合二次根式的定义,不属于二次根式;
⑨,当a,b异号时,被开方数是负数,不符合二次根式的定义,不属于二次根式;
⑩,当a,b异号时,被开方数是负数,不符合二次根式的定义,不属于二次根式.
涨知识了
利用“平方法”比较二次根式的大小
素材一:比较a=2和b=3的大小,我们可以把a和b分别平方,∵a2=12,b2=18,则a2 素材二:整式中的完全平方公式在二次根式的运算中照样应用.即=a±2+b.
素养训练2抽象能力、运算能力
(1)比较c=4,d=2的大小,c d(填“>”“<”或“=”).
(2)猜想m=2+,n=2+的大小,并证明.
(3)化简+= .
【解析】(1)∵c=4,d=2,
∴c2=48,d2=28,
∴c2>d2,
∴c>d;
答案:>
(2)n>m,证明如下,
∵m=2+,n=2+,
∴m2==+2××2+=20+6+4=26+4,
n2==+2××2+
=12+14+4=26+4,
∵4>4,∴n2>m2,∴n>m;
(3)+
=
+
=+
=+,
当≤1,即1≤p≤2时,
+=1-+1+=2,
当>1,即p>2时,
+=-1+1+=2.
答案:2或2
