2.5 一元一次不等式与一次函数 同步练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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2.5一元一次不等式与一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线经过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一次函数的图象，若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
4．如图，函数y=ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是（　　）

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
5．如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（　　）

A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜﹣1
6．函数和的图象交于点，则不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象经过，两点，则解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
9．已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ）
A．y＞0 B．y＜0 C．－2＜y＜0 D．y＜－2
10．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
11．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
12．若，关于x的不等式组的解集是（ ）
A． B．无解 C． D．
二、填空题
13．如图是某地气温随着高度的增加而降低的关系图，观察图象可知该地地面气温是 ；当高度超过 时，气温就会低于．
14．如图，利用函像图像回答下列问题：
（1）方程组的解为 ；
（2）不等式2x＞-x＋3的解集为 ．
15．一次函数与的图象如图所示，则当x 时，；当x 时，；当x 时，．
16．直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为 ．
17．如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长．
19．已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；
（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．
20．如图，已知两个一次函数y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值．
21．在平面直角坐标系中，画出函数的图象，并利用图象解下列问题：
（1）求方程的解．
（2）求不等式解集．
22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为．
(1)求的值和一次函数的解析式；
(2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围．
23．在坐标系中作出函数的图象，利用图象解答下列问题：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，且与直线相交于点C（3，2）．
(1)求a和k的值；
(2)求直线与与x轴围成的三角形面积；
(3)直接写出kx＞ax+4≥0的解集．
《2.5一元一次不等式与一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A C D A D C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【解析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0），
结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合；
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据y>0，即为一次函数图像在x轴上方，由此利用函数图像求解即可
【详解】解：如图，由函数图像可知：一次函数图像与x轴交点为（-3，0），当x＞-3时，一次函数图像在x轴的上方，
∴当x＞-3，y＞0，
故选C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，正确利用函数图象分析是解题关键．
3．C
【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选C．
4．B
【分析】观察图象可得当时，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当时，，
观察图象得：当时，，
∴不等式ax﹣1＞2的解集是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与不等式解集，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．A
【分析】根据图象求解不等式，要使x+a＞kx+b，则必须在y1＝x+a在y2＝kx+b上方，根据图形即可写出答案.
【详解】解：因为直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2）
要使不等式x+a＞kx+b，则必须在y1＝x+a在y2＝kx+b上方
所以可得x＞﹣1时，y1＝x+a在y2＝kx+b上方
故选A.
【点睛】本题主要考查利用函数图形求解不等式,关键在于根据图象求交点坐标.
6．C
【分析】先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图得到当时，的图象都在直线的上方，由此得到不等式的解集．
【详解】解：把代入得，
解得，
所以A点坐标为，
把代入得
解得
如图，
∴当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．D
【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，用的数学思想是数形结合思想．由图象可知：，且当时，，即可得到不等式的解集
【详解】解：∵一次函数的图象经过，
根据图象得：当时，，
即：不等式的解集是．
故选D
8．A
【分析】先根据一次函数图象的平移规律画出的图象，并且求出一次函数图象与轴交于点，再结合函数图象即可得．
【详解】解：一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，
一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，
画出函数的大致图象如下：
由函数图象可知，关于的不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
9．D
【详解】试题分析：通过观察图象得到x＜0时，图象在y轴的左边，即可得到对应的y的取值范围．
当x＜0时，图象在y轴的左边，
所以对应的y的取值范围为y＜－2，
故选D.
考点：本题考查了一次函数的图象
点评：解答本题的关键是熟记x＜0时，图象在y轴的左边，x＞0时，图象在y轴的右边.
10．C
【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断．
【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确；
由图象可知，函数经过第一、二、四象限，
，
由图象可知，直线经过第一、三象限，
，
函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误；
直线与直线交于点，点的横坐标为，
，
直线过点，
，
，故说法正确；
，，
，
，
，
解得，
不等式组的解集是故说法正确，
故选：C
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
11．C
【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解．
【详解】解：直线与直线相交于点，
，
解得：，
观察图象可知：关于的不等式的解集为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
12．B
【分析】先根据a，b的取值范围解两个不等式，再判断解集情况．
【详解】∵，
∴
∵，即
∴
又∵
∴
∴不等式组无解
故选B．
【点睛】本题考查解不等式组，熟练掌握不等式两边同乘或同除一个负数，不等号方向改变是解题的关键．
13． 30 5
【分析】本题主要考查函数的图象的知识点，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数与自变量的对应关系是解题的关键．
根据图象的横坐标和纵坐标所表示的意义解答即可．
【详解】解：由图象知：横坐标表示某地高度、纵坐标表示某地空中气温，
观察图象可知该地地面气温是；当高度超过时，气温就会低于．
故答案为：30，5．
14． x>1
【分析】观察函数的图像与相交于（1,2），再根据交点坐标即可求出不等式2x＞－x＋3的解集．
【详解】解：（1）由图像知，直线x+y=3与直线y=2x相交于（1，2），
所以方程组的解为；
（2）∵ x+y=3与y=2x相交于(1，2)，
∴ 由图像知：不等式2x>-x+3的解集为x>1．
故答案为：；x>1．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能根据函数图像的交点解方程组和不等式．一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．
【分析】利用函数图像交点的位置，比较函数值的大小，来确定自变量的范围，
【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为（1，-3），在交点的右侧一次函数的图象在一次函数的图象的下方即
∴x＞1，
当x＞1时，；
一次函数的图象与一次函数的图象相交时，即，
∴x=1，
当x=1时，：
在交点的左侧，一次函数的图象在一次函数的图象的上方即
∴x＜1，
当x＜1时，；
故答案为；；．
【点睛】本题考查根据函数值的大小确定自变量的大小，掌握函数图像的交点左侧与右侧的图像位置确定函数值的大小是解题关键．
16．x≥
【详解】试题解析：∵直线y=2x+b经过点（3，5）， ∴5=2×3+b，
解得：b=﹣1，
∴不等式2x+b≥0变为不等式2x﹣1≥0，
解得：x≥，
故答案为x≥．
17．
【分析】观察图象即可解答.
【详解】∵直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），
∴关于x的不等式-x+a故答案为x＞1.
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图像的交点坐标，再根据图象的位置确定x的取值范围.
18．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式；
（2）根据函数图像，结合B点的坐标即可求得x的取值范围；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长．
【详解】（1）解：当x＝3时，y＝x+2＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
直线y1＝kx+b经过A（5，0）和B（3，4），
则，
解得：，
∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式为y1＝﹣2x+10；
（2）解：由图像以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2；
（3）解：设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），
∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
19．（1）；（2）且.
【分析】（1）解不等式 2x＋2＞x 3即可；
（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx＋2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x 3的上方确定k的范围．
【详解】解：（1）当时，，
根据题意，得，
解得；
（2）当x＝1时，y＝x 3＝ 2，
把（1， 2）代入y1＝kx＋2得k＋2＝ 2，
解得k＝ 4，
当 4≤k＜0时，y1＞y2；
当0＜k≤1时，y1＞y2．
∴k的取值范围是：且．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20．（1） ；（2）；（3）t＝或t＝﹣2．
【分析】（1）联立y=x与y=-2x-2，解方程组即可；
（2）由图象直接写出x＞-；
（3）根据A点坐标分别求出M、N的坐标．然后由MN=4列出t的方程求解即可．
【详解】解：（1）联立，
解得：，
则点P坐标为（，）；
（2）由图象可得，当y1＞y2时，x＞；
（3）设点M（t，t），N（t，-2t-2），
则MN=|t-（-2t-2）|=4，
解得：t=或t=-2．
【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式以及二元一次方程组的应用，关键是联立方程组求交点坐标．
21．（1）；（2）．
【分析】先运用描点法化出函数的图象，（1）函数图象与x轴交点的横坐标即为方程的解；
（2）x轴上方函数图象对应x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：画出函数图象如图所示．
（1）根据图象可知方程的解为．
（2）根据图象可知不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了画一次函数图象、运用函数图象解方程、解不等式，正确化出函数图象成为解答本题的关键．
22．(1)，一次函数解析式为；
(2)自变量x的取值范围是．
【分析】（1）先把代入正比例函数解析式可计算出，然后把代入计算出k的值，从而得到一次函数解析式为；
（2）观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值．
【详解】（1）解：把代入得，
则点A的坐标为，
把代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
（2）解：观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值．
所以自变量x的取值范围是．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
23．(1)作图见解析
(2)
(3)
【分析】利用描点法画出函数的图象．
（1）找出函数图象与轴的交点的横坐标；
（2）找出函数值大于所对应的自变量的取值范围；
（3）观察函数图象，找出当时自变量所对应的取值范围．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，如图，
根据函数图象可知：方程的解为；
（2）根据函数图象可知：当时，，所以不等式的解集为；
（3）根据函数图象可知：当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点分别代入，即可求解．
（2）先求得点的坐标，进而求得即可求解．
（3）根据在上方的部分且在轴上方的部分的的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得；
（2）因为，令，解得，
∴，
∴，
∴直线与与x轴围成的三角形面积即，
（3）解：根据函数图象可知，kx＞ax+4≥0的解集为在上方的部分且在轴上方的部分的的取值范围，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线与坐标轴围成的三角形面积，根据两直线交点以及直线与坐标轴的交点求不等式组的解集是解题的关键．
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